新教材新高考一轮复习人教B版 第三章 第二节　第三课时　思维能力加强课(一)　利用导数证明不等式 作业

1、第三章 第二节第三课时思维能力加强课(一)利用导数证明不等式综合提升练1(2021宁波期末测试)已知函数f(x)aexln x1(e2.718 28是自然对数的底数)(1)设x2是函数f(x)的极值点，求实数a的值，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当aeq f(1,e)时，f(x)0.解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)aexeq f(1,x).由题设知，f(2)0，所以aeq f(1,2e2).从而f(x)eq f(1,2e2)exln x1，f(x)eq f(1,2e2)exeq f(1,x).令f(x)0，得x2，故当0 x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.所以f(x

2、)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增(2)证明：当aeq f(1,e)时，f(x)eq f(ex,e)ln x1.设g(x)eq f(ex,e)ln x1，则g(x)eq f(ex,e)eq f(1,x).由g(1)0且g(x)在(0，)上为增函数可知：当0 x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值点故当x0时，g(x)g(1)0.因此，当aeq f(1,e)时，f(x)0.2(2021威海模拟)已知函数f(x)1eq f(ln x,x)，g(x)eq f(ae,ex)eq f(1,x)bx，若曲线yf(x)与曲线yg(x)的一个公共点是A(1,1)，且在

3、点A处的切线互相垂直(1)求a，b的值；(2)证明：当x1时，f(x)g(x)eq f(2,x).解：(1)因为f(x)1eq f(ln x,x)，所以f(x)eq f(ln x1,x2)，f(1)1.因为g(x)eq f(ae,ex)eq f(1,x)bx，所以g(x)eq f(ae,ex)eq f(1,x2)b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直，所以g(1)1，且f(1)g(1)1，从而g(1)a1b1，且g(1)ab11，解得ab1.(2)证明：g(x)eq f(e,ex)eq f(1,x)x，则f(x)g(x)eq f(2,x)1e

4、q f(ln x,x)eq f(e,ex)eq f(1,x)x0.令h(x)1eq f(ln x,x)eq f(e,ex)eq f(1,x)x(x1)，则h(1)0，h(x)eq f(1ln x,x2)eq f(e,ex)eq f(1,x2)1eq f(ln x,x2)eq f(e,ex)1.因为x1，所以h(x)eq f(ln x,x2)eq f(e,ex)10，所以h(x)在1，)上单调递增，所以h(x)h(1)0，即1eq f(ln x,x)eq f(e,ex)eq f(1,x)x0.故当x1时，f(x)g(x)eq f(2,x)成立3已知函数f(x)x2aln xeq f(1,x)(a

5、R)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若x1，x2为函数f(x)的两个极值点，证明：eq f(fx1fx2,x1x2)24a.解：(1)f(x)eq f(x22ax1,x2)，x0，令x22ax10，4a24，当0，即1a1时，f(x)0，则f(x)在(0，)上单调递增；当0，即a1或a1时，当a0，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，令f(x)0，得x1aeq r(a21)，x2aeq r(a21).x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，f(x)在(0，

6、aeq r(a21)，(aeq r(a21)，)上单调递增，在(aeq r(a21)，aeq r(a21)上单调递减(2)证明：由(1)知a1时f(x)有两个极值点x1，x2，且x1x22a，x1x21，不妨设x21x10，eq f(fx1fx2,x1x2)eq f(blc(rc)(avs4alco1(x12aln x1f(1,x1)blc(rc)(avs4alco1(x22aln x2f(1,x2),x1x2)eq f(x1x22alnf(x1,x2)f(x1x2,x1x2),x1x2)2eq f(2alnf(x1,x2),x1x2)，要证eq f(fx1fx2,x1x2)24a，即证eq

7、f(lnf(x1,x2),x1x2)2，即证eq f(ln xoal(2,2),x2f(1,x2)2，即证ln x2x2eq f(1,x2)1)，由(1)知当aeq f(1,2)时，f(x)在(0，)上单调递增，又g(t)f(t)，则g(t)在(1，)上单调递减，g(t)g(1)0，原式得证创新应用练4(2021烟台期末)已知函数f(x)ln(xa)x2x在x0处取得极值(1)求实数a的值；(2)证明：对于任意的正整数n，不等式2eq f(3,4)eq f(4,9)eq f(n1,n2)ln(n1)都成立解：(1)f(x)eq f(1,xa)2x1，因为x0为f(x)的极值点所以f(0)eq f(1,a)10，解得a1.经检验，a1满足条件，a1.(2)证明：下面求f(x)ln(x1)x2x的单调区间f(x)eq f(1,x1)2x1eq f(x2x3,x1)，令f(x)0 x0，令f(x)0 x0，x(1,0)0(0，)g(x)0g(x)单调递增极大值单调递减所以x0时，f(x)f(0)0即ln(x1)x2x.令xeq f(1,n)，则lneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,n)1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,n)2eq f(1,n)，即