东南大学数字逻辑电路第一章逻辑代数基础

1、东南大学远程教育数字逻辑电路第一讲主讲教师:王晓蔚1第一章 逻辑代数基础11 概述1.1.1 数字量与模拟量 模拟量 数字量取值： 连续 离散随时间变化： 连续变化 不连续变化tX21）数字信号：指用二进制表示的信号，即信息用0，1来表示。 0 1 0 1 0 1 0 10 0 10V5V例：10011.1.2 数字电路的定义： 使用数字信号，并能对数字量进行算术运算和逻辑运算的电路。31.1.3 教学目标：1）掌握基本理论。2）掌握这一领域的基本分析方法和 基本设计方法。3）能很熟练地运用集成电路手册。4）会调试、测试数字电路。2）逻辑运算功能：对不同的输入条件，电路能作出相应的逻辑推理和判

2、断，从而得到正确的结果。4文字符号采用一定位数的二进制码来表示，这个特定 二进制码称为 “代码” ，建立这种代码与十 进制数值、字母、符号的一一对应关系称为 “编码”。1.1.4 数制与码制数字系统中信息的分类数值信息文字符号（含控制符）数值信息用二进制、八进制、十六进制等表示。51十进制数的二进制编码（二十进制码或称BCD码）为什么要用BCD码？（5）10=（101）224 + 22 =（10100）2（20）10= 8421BCD码（8）10 = （1000）2= （1000）8421BCD （5）10 = （101）2 = （0101）8421BCD 1010 1111 无效6 BCD码

3、不是二进制的记数体制，它是将09十个十进制数符用固定的四位二进制数表示。（9）10 =（1 0 0 1）8421BCD1 8 + 1 1 = 9权（7）10 =（0 1 1 1）8421BCD 14+12+11=7权7？ 80 + 8 + 1=89 权（89）10 = （1000 1001）BCD十进制数 BCD码（89）10 = 64 + 16 + 8 + 1 =26 + 24 + 23 + 20 =（01011001）BCD8BCD 十进制数（1000 0001）BCD = （81）10（1001 0110）BCD = （96）109 2 4 2 1 码 0 0 0 0 0 0 0 1 0

4、 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 5 2 1 1 码 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 余 3 码 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 无权码有权码（恒权码）10格 雷 码011000111 01 10 10 000001111三位格雷码11东南大学远程教育

5、数字逻辑电路第二讲主讲教师:王晓蔚121.2 逻辑代数中的三种基本运算1.2.1 逻辑变量用字母表示变量，一个命题只能有两种逻辑值：逻辑真用“1”表示条件具备，事件发生。逻辑假用“0”表示条件不具备，事件不发生。逻辑问题逻辑变量逻辑运算逻辑函数化简逻辑电路13逻辑变量A=1灯亮0灯灭 0、1仅仅是被定义的两种逻辑值，无任何数量的概念。例：命题：信号灯是亮着的。什么时事物可定义为一个逻辑变量？该事物只有两种完全对立的可能性14普通代数逻辑代数变量取值+范围内的任意值，有数量的概念。0，1无数量的概念基本运算+、 、 、 、平方、开方与（）、或（+）、非相同点均用字母表示变量，研究变量之间的关系。

6、151.2.2逻辑运算1.逻辑与YAB。逻辑表达式： Y=A B或 Y=A B&YA B逻辑符号真 值 表A B Y0 0 00 1 01 0 01 1 1162. 逻辑或Y。AB逻辑表达式： Y=A + B或 Y=A V B1YA B逻辑符号A B Y0 0 00 1 11 0 11 1 1真 值 表17AY0110真 值 表逻辑表达式： Y = A 3. 逻辑非RAY1AY逻辑符号184.与非逻辑表达式： Y=A BA B Y0 0 10 1 11 0 11 1 0真 值 表YAB&逻辑符号195. 或非A B Y0 0 10 1 01 0 01 1 0真 值 表逻辑表达式： Y=A +

7、BYAB1逻辑符号206. 与或非逻辑表达式：Y = AB+CD7. 异或逻辑表达式：Y = AB =AB+ABYABYAB=1逻辑符号ABCDY&1逻辑符号21Y=A B C ABCY？A B Y0 0 00 1 11 0 11 1 0真 值 表ABCYA 1=AA 1+A 1=AA 0=AA 0+A 0=AA A=0A A+A A=0A A=1A A+A A=1228. 同或逻辑表达式： Y =A B =AB+ABA B Y0 0 10 1 01 0 01 1 1真 值 表优先级：非、与、或Y=A+BC D+E+E GYABYAB=12313逻辑代数的基本公式和常用公式1.3.1 基本定律

8、（1）01律： 0+A=A1 A=A 1+A=10 A=0（2）重叠律： A+A=AA A=A（3）互补律： A+A=1A A=0（4）交换律：A+B=B+AA B=B A24（6）分配律：A (B+C)=A B+A C A+B C=(A+B) (A+C)（5）结合律：A+(B+C)=(A+B)+C A (B C)=(A B) C（7）反演律：A+B=A BA B=A+B（8）否定律：A = A251.3.2 常用公式吸收定理: 1. A+A B=A证明：左式= A（1+B）=AA+AB=A+B证明：由分配律 A+BC=(A+B)(A+C)得： A+AB=(A+A)(A+B)=A+BAB+AB

9、=A证明: 左式=A(B+B)=A26摩根定理: 4. A+B=A B A B=A+B证明: 利用互补律证明定理(1).若: X+Y=1则X、Y互补，即：X=Y X Y=0(1)(2)27X Y=(A+B) A B =A A B+B A B=0 X与Y互补即 A+B=A B设：X=A+B，Y=A B设：X=A+B，Y=A BX+Y=A+B+A B =A+B+B利用 (A+AB)=A+B =A+1=128多余项定理:5.多余项定理指出:当变量A分别以不同形式(A、A)出现在两个乘积项中时,这两个乘积项中的其余因子组成第三个乘积项为多余项,可以略去。29证明:推广:问题1：？问题2：若已知 BXY

10、=BXZ问：Y=Z ？为什么？30东南大学远程教育数字逻辑电路第三讲主讲教师:王晓蔚311.4 逻辑代数的三个规则1. 代入规则定义: 在任何一个逻辑等式中,如果 将等式两边出现某一变量A的地方都代之以一个 函数Z,则等式仍然成立。用途： 在等式变换中导出新公式。32例：已知 A(B+E)=AB+AE，试证明 将所有出现E的地方用(C+D)代 替，等式仍成立。证明：原式左边=AB+(C+D) =AB+A(C+D) =AB+AC+AD 原式右边=AB+A(C+D) =AB+AC+AD332. 反演规则定义：对任意一个函数表达式Z， 如果将Z中所有的换成+， +换成，0换成1，1换成0，原变量换成

11、反变量， 反变量换成原变量，且保持原先的逻辑优先顺 序，则可得到Z的反函数Z。用途：求逻辑函数的反函数34直接对F求反：例1：35例2：1.不属于单个变量上的反号应保留不变。2.运算顺序：括号 乘 加36对偶规则定义：对任意一个函数表达式Z，如果 将Z中所有的换成+，+换成， 0换成1，1换成0，但原变量和反变量都不变， 并保持原先的逻辑优先顺序，则可得到Z函数 的对偶式Z* 。 若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。用途：可以导出新公式，且使要证明的公式减少一半。 （见P22）371.5 逻辑函数及表示方法1.5.1 逻辑函数逻辑函数以逻辑变量为输入， 运算结果为输出。 输出随输入的变化而

12、变化。 逻辑函数只能取0、1两种值。例：为控制安装在楼梯上的电灯，常在楼上、楼下各 装一个单刀双掷开关。楼下开灯后可在楼上关掉， 反之亦然。实现这一要求的电路如图：38Y。AB。设：A为楼上的开关，B为楼下的开关，A、B为输入 变量；Y表示灯，为输出变量。 A=1、B=1时，开关向上； A=0、B=0时，开关向下； Y=1灯亮 Y=0灯灭391.5.2 逻辑函数的表示方法：1.真值表ABY001010100111特点：直观，一目了然，五变量以上不实用。402.逻辑函数表达式：特点：简洁方便，便于用逻辑图实现函数。 没有真值表直观。3.卡诺图（后面介绍）4.逻辑图以电路图的形式来描述输出函数与输

13、入变量取值组合之间的关系。(1)已知逻辑函数表达式，画出逻辑图41例1：1&ABABAY例2.Y=AB+BC+AC&1YAABBCC42(2)已知逻辑电路图,写出逻辑函数表达式 1& 1&ABABABABABY=AB+AB43东南大学远程教育数字逻辑电路第四讲主讲教师:王晓蔚44函数表达式真值表卡诺图逻辑图1.6 逻辑函数的公式法化简 技巧性强，要求灵活应用定理和定律。1.6.1 逻辑函数表达式的分类 与或表达式45与非与非或非或非与或非或非或非的求法：1. 由反演规则求Y462.471.6.2 公式法化简：一.最简“与或”表达式标准：乘积项的个数最少。 满足的条件下，每个乘积项中变量的个数

14、最少。48二.化简方法4950吸收法 利用A+AB=A的公式 消去多余项。513.消项法 利用A+AB=A+B消去多余因子A； 利用AB+AC+BC=AB+AC消去多余项。3.消项法 利用A+AB=A+B消去多余因子A； 利用AB+AC+BC=AB+AC消去多余项。525354554.配项法 利用A+A=A、A(B+B)=A 配项,以消去更多的项。 或：56另一答案：57综合练习：5859东南大学远程教育数字逻辑电路第五讲主讲教师:王晓蔚601.7 逻辑函数的卡诺图法化简 1.7.1 最小项定义：N 变量 P 乘积项，由N个因子组成，每个因子以原 变量或反变量的形式在 P 中仅出现一次， 称P

15、为“最小项”。 1. 最小项编号：61m0m1m2m3 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0010000100001编号最小项变量取值A BA BA BA B62最小项的性质1). 每一个最小项对应一组变量的取值， 任何一个最小项，只有一种变量取 值使它为1。2). 全体最小项之和恒为1。3). 任意两个最小项的乘积恒为0。 mi mi=063例：设 ABC=100求标准“与或”表达式(最小项表达式)641.7.2 卡诺图1.构成： 卡诺图是按最小项原则构成的最小项方块图。卡诺图中变量的排列是有原则的，变量取值按Gray（循环码）排列，目的是为了获得“逻辑相邻”。652. 画法：m3

16、m2m1m001 0 1AB两变量卡诺图m6m7m5m4m2m3m1m0BCA01 00 01 11 10三变量卡诺图66m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m1000011110 00 01 11 10ABCDm4、 m5相邻01000101m4、 m6相邻0100011010000000m8、 m0相邻四变量卡诺图673. 作逻辑函数的卡诺图：1) 由真值表直接画卡诺图。2) 由逻辑函数画卡诺图。11000110BCA01 00 01 11 106800110000BCA01 00 01 11 104.化简：依据: 1)相邻性。2)691111化简步骤：1

17、)画出函数的卡诺图; 2)合并最小项对“1”块画圈。 3)写出最简与或表达式。11BCA01 00 01 11 10BCAB7011111111BCA01 00 01 11 10C71东南大学远程教育数字逻辑电路第六讲主讲教师:王晓蔚721100011110 00 01 11 10ABCD1111111100011110 00 01 11 10ABCD1111117311111111111100011110 00 01 11 10ABCD74111BCA01 00 01 11 10111BCA01 00 01 11 101）合并时只能按 2n 将小方格圈起来，这样才能消去N个变量。751111

18、BCA01 00 01 11 101111BCA01 00 01 11 107611111100011110 00 01 11 10ABCD2）圈越大越好。圈越大，合并时消去的变量越多，乘积项越简单。771111111100011110 00 01 11 10ABCD111111100011110 00 01 11 10ABCD781111111100011110 00 01 11 10ABCD3）每个圈至少包含一个新的最小项。若一个圈中所有的小方格均被别的圈包围了，则该圈为多余圈。蓝圈是多余的79111111111100011110 00 01 11 10ABCD蓝圈是多余的。8011111

19、111100011110 00 01 11 10ABCD11111111100011110 00 01 11 10ABCD8111111111111100011110 00 01 11 10ABCD11111111111100011110 00 01 11 10ABCD821111111100011110 00 01 11 10ABCD1111111100011110 00 01 11 10ABCD4. “1”块允许被一个以上的圈包围。83111111BCA01 00 01 11 10111111BCA01 00 01 11 10最小项与或表达式可以有不同的圈法，得到的结果除输入变量不一样外，项数相同。84111111101110111100011110 00 01 11 10ABCD采用包围 “0” 的方法。851.8 具有无关项的逻辑函数及