2019-2020年高二数学直线和平面平行的判定和性质同步教案新人教A版

1、2019-2020年高二数学直线和平面平行的判定和性质同步教案新人教A版一、本讲进度第九章 直线、平面、简单几何体9. 4直线和平面平行的判定和性质二、主要内容1、直线和平面垂直的定义，判定及性质；2、三垂线定理及逆定理。三、学习指导1 、直线和平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊位置关系。其定义为：该直线与平面 内任意一条直线都垂直。也就是用线线垂直去定义线面垂直，体现了线线与线面关系的转化 思想。若直线 和平面a垂直，符号表示为 丄a。图形表示为：其中： 和a的交点称为垂足。；直线叫平面的垂线，平面 a叫直线的垂面。注意概念中的“任意一条”可以用“所有条”代替，但不能用“无数条”代替。直线

2、和平面垂直的判定有两种方法；一是定义，二是判定定理。判定定理是用定义证明 的。判定定理的证明充分运用了平面几何的知识，强调了平面几何知识是学好立体几何的基 础。在证明过程中，构造了若干平面（等腰三角形）。直线和平面垂直的性质是定义，即：如果丄a , ma ,则 丄数学中概念的定义既可以作为判定定理使用，也可以作为性质定理使用。2、两个唯一性的命题。过一点和已知平面垂直的直线只有一条；过一点和已知直线垂直的平面只有一个。借助于反证法很容易得到证明。3、三垂线定理及其逆定理是立体几何的重要定理之一。其用途是证明线线垂直。运用三 垂线定理及逆定理的难点是具体问题中的变式图形。为了解决这个难点，首先要

3、加深对课本上基本图形的认识，其次要找到一个基本平面（即基本图形中的a ）,分清平面内的直线与平面的斜线，再次找平面的垂线，这是很关键的一步。三垂线定理及其逆定理实质上是把从线线垂直到线面垂直再到线线垂直的模式固定下 来，其模式为：T PA丄a , A为垂足PO为a的斜线，O为斜足a a , a 丄 AO a 丄 PO课本P.23例4是一个很重要的真命题。与这个命题类似的还有：“若PA与AB AC所成角相等，则PA在平面a上的射影为/ BAC的平分线。”距离的另一种方法，即利用三垂线4、 课本P.24例5给出了求直线外一点P到直线 定理构造直角三角形。具体步骤为：作POL a , O为垂足作OH

4、L , H为垂足 连PH贝U PHL , PH长度为点P到 的距离。5、本节主要方法有反证法、构造法、化归的思想等。四、典型例题例 1、已知 MNLa, MNL b, a、b为异面直线，a / a , b / a ,求证：MNL a。分析：只要将a、b平移到a内去即可。设 MNP a =0,设a与O确定的平面交a于a, 则由线面平行的性质定理 a / a设b与O确定的平面交a于b,贝U b / b/ MNL a, a/ a MNL a同理：MNL b/ aP b =0, a a , b a MNL a例2、(1) P是厶ABC所在平面外一点， PAL PB, PB丄PC PCL PA, H是厶

5、ABC的垂心，求证：PHL平面ABC(2) P是厶ABC所在平面外一点， PAL PB PB丄PC PCL PA PH!平面 ABC H为垂足,求证：H为垂心。分析：从线线垂直与线面垂直的相互转化入手v PA 丄 PB, PAL PCPA丄平面PBCPA 丄 BC/ HABC垂心BC 丄 AH/ PA P AH=ABC丄平面PAHBC 丄 PH同理：ABL PH/ AB P BC=BPH丄平面ABC由(1)得：PAL BC/ PH丄平面ABC AH为PA在平面 ABC上的射影/ BC 平面 ABC BC丄 PABC 丄 AH同理：AB丄CHH为仏ABC垂心PA PB PC两注：本题中的两个小问

6、题可以看成是一对逆命题。在过同一顶点的三条棱 两都垂直的条件下，P在平面ABC上的射影与厶ABC的垂心为同一点。例3、已知aa , a丄b, b丄a，求证：a a。分析：设法构造经过直线 a的辅助平面3，使得B与a相交，则只要证 明a平行于交线即可。/ b 丄 ab 垂直于a内任一条直线又a丄b，从把a、b转移到由此联想到平面几何中的定理“垂直于同一条直线的两条直线平行” 同一平面内着手。a (请同学们思考如何证明)任取点Aa,过A作b/b,设bna =B,则b丄设由a, b确定的平面3交a于c,则b丄c/ a 丄 b, b/ bb丄 a a , b, c均在平面3内a / ca / a例4、

7、正方体 ABCABQD中求证：AC丄 BD, AC丄 GD, AC丄 BiA;求证：AC丄平面BDC; 设O是正方形 BCCB的中心，求证：BG丄DO分析：(1 )本题中的三组线线垂直都是异面垂直，若用定义证明，则繁顼。考虑用三垂 线定理及逆定理。在正方体AiBCD ABCD中，由每一个面都是正方形，禾U用线面垂直的判定定理，易证：AA、BB、CC、DD都与平面 ABCD及平面 AiBCD垂直；AB DC ABi、DC都与平面 BBCC 平面AAiDD垂直；AiD、AD BQ、BC都与平面 AABiB、平面CCDD垂直。这些垂直关系应熟 记，可直接作为结论使用。/ AiA丄平面ABCDAC为A

8、C在平面 ABCD上的射影/ BD 丄 AC, BD平面 ABCDBD 丄 AiC在这里选取基本平面为 ABCD同理，选取平面 CCDD为基本平面，证 AC丄CiD选取AABiB为基本平面，证 AC丄BiA由(1), AiC 丄 BD AC 丄 CiD/ BD n CiD=D AiC丄平面BDC： DC丄平面 BBCCOC为DO在平面 BBGC上的射影/ BCi 平面 BBCiC, BC丄 OCBCi 丄 DO注：在垂直关系的证明中，应有意识地培养线线垂直与线面垂直转化的思想。三垂线定 理及逆定理是证明异面直线垂直的重要方法。例5、正方体 ABCD-ABQD中，M为AA中点，P为正方形 AiB

9、QD的中心求证：MPL BiC; 线段 AiBi上的点N满足AiN=NB,求证：MNL MC分析：(i)法一：直接利用三垂线定理，选平面BBGC为基本面。找 MP在平面BBCiC上的射影。作MM/ AiBi交BB于点M作 PPi / AiBi 交 BiCi 于点 Pi贝U MM丄平面BBC C, PR丄平面BBC CMi Pi为MP在平面BBC C上的射影 M为AA中点，P为A Ci中点Mi、Pi分别为BB、BiC的中点Mi Pi / BC又BCi丄Bi CMi Pi 丄 B C由三垂线定理：MPL B C法二：把MP平移，转化利用三垂线定理矩形AA Ci C中，M P分别为AA、AiG的中点

10、MP / AC由上题知AC丄B CMP丄 Bi C(2)选平面 AAB B为基本面/ CB丄平面AABi BBM为CM在平面AABi B上的射影下面只要证明 BML MN即可/ BM与 MN在同一平面内利用勾股定理设正方体棱长为 a，贝U BM=A+AM=a2+MN2=MA12+A1N2=BN2=BB12+B1N2=/ BM2+MN=BhfBM丄 MNMC MN 注：利用勾股定理证明线线垂直，体现了数量关系与位置关系的联系。同步练习（一）选择题1、 空间四边形 ABCFD勺四边相等，则它的对角线 AC与BD的关系是A、垂直相交B相交但不一定垂直C、垂直但不相交D、不垂直不相交2、矩形ABCD中

11、, AB=3, BC=4 PA丄平面ABCD PA=1,则P到对角线BD的距离为A、B 、C 、D 、3、 ABC中，AB=AC=5 BC=6 PA丄平面 ABC PA=8 贝U P 到 BC的距离是A、B 、 C 、 D 、P是厶ABC所在平面a外一点，P到厶ABC三边的距离相等， POL a , O为垂足,O在 ABC内部，贝U O是厶ABC的A、 外心 B 、内心 C 、垂心 D 、重心、P是平行四边形 ABCD所在平面外一点，若 P到ABCD四边距离相等，贝U ABCD一定是A、菱形B 、矩形 C、正方形D 、以上都不是6、异面直线在同一平面上的射影不可能是A、两平行直线 B 、同一直

12、线C 、两相交直线D 、一点与一直线7从平面外一点P引与a相交的直线，使点 P与交点的距离等于 1,则满足条件 直线条数一定不可能是A、0条B、 1条C、 2条D、无数条8、已知PHLa，H 为垂足， HEa,EFa , HE!EF,连PE、PF、HF,则图中直角三角形的个数是A、1个B、 2个C、 3个D、 4个9、已知PE垂直于O O所在平面，EF是O O的直径,点G 为圆周上异于 E、 F 的任一点，贝下列结论不正确的是A、FG丄平面PEGB、PGL FGC 、EG! PFD、PEL GF10、如果/ APB=Z BPC=/ CPA=60, PA=a, PA 在平面/ BPC上的射影为

13、PQ 贝U cos / APO等于A、（二）填空题11、PO丄平面 AOB / AOB=90, AB=a / PAO2 PBOa , C是 AB中点，则PC=（X O12、若 a/ b , aL a ,贝U ba ;若 a丄b , aL a ,贝U b13、空间四边形 ABCD中 , AB=AD BC=CD 若 BD=5 AC=4, M N、P、Q分 别是AB BC CD DA的中点，贝U MNP啲面积是14、A ABC中，/ ACB=90 , P 是平面 ABC外一点，PA=PB=PC 若 AC=12, P 到平面 ABC的 距离为8,贝U P到BC的距离等于15、正三角形 ABC的边长为a

14、 , ADL BC, D为垂足,沿 人。将厶ABC折起，使/ BDC=90 , 则B到AB的距离为（三）解答题16、四面体 ABCD中，已知 AB丄CD AC丄BD,求证：AD丄BG17、Rt ABC中，/ ACB=90, AC=3 BC=4, PC!平面 ABC PC=求点 P到直线 AB的距离。18、若直角ABC的一边BC平行于平面a ,另一边AB与平面a斜交，求证：/ ABC在平面 a上的射影仍是直角。19、空间四边形 PABC中 , PAL平面ABC若/ BAO 90 ,求证：A在平面PBC上的射影 A 不可能是厶PBC的垂心。20、A是厶 ABC所在平面外一点，/ ABD2 ACD=

15、9, AB=AC E 是 BC中点，求证：（1） AD 丄BC; （2） AED是钝角三角形。参考答案（一）选择题1、 Co 取 BD 中点 M 贝y BD丄 AM BD丄CM 二 BDL平面 ACM 二 BD丄AC2、 Bo 作 AH丄 BD, H 为垂足,连 PH,贝U PH丄 BD AH= PH= TOC o 1-5 h z 3、Do4、Bo O到厶ABC三边距离相等5、 Ao P在平面ABCD上的射影为 ABCD内切圆圆心，平行四边形 ABCD有内切圆，从而 为菱形6、Bo7、 Co 当P到平面距离大于1时，直线不存在；当 P到平面距离等于1时，直线只有 一条；当P到平面距离小于1时，

16、直线有无数条8、Do9、Co10、 Do PO 为/ BPC平分线，作 OHL PC H为垂足，连 AH,贝U PH=AP- cos60=,OP= cos / APO=（二）填空题11、 连 CO I / PAO2 PBO 二 PA=PB OA=OB PCL AB, OCL AB, a CO= AO=BO=CO= PO= PC=12、丄 ,/,或。13、_5_ o MNPQ为矩形14、 10 o P在平面ABC上的射影 OABC外心 ,即为斜边 AB中点，作 OD/ AC交BC于 D,连 PD,贝U PDL BC PO=8 OD=6 PD=1015、 。 作 DHL AC, H 为垂足，连 B

17、H , / BDL平面 HCD - BHL AC, BD=a DH=CDsin6C=, BH=（三）解答题16、作AC丄平面BCD O为垂足,连 BO CO DQ贝U BO为AB在平面 ACD上的射影/ CDL ABCDLBO同理：BD丄COOBCD垂心DO BC/ DO为AD在平面 ABCDk的射影BC 丄 AD17、作CHL AB, H为垂足，连PH/ PC丄平面ACBCH为PH在平面 ABC上的射影/ AB 丄 CH AB 丄 PH PH长度就是点P到直线AB的距离 ACB中, AC- BC=AB CH CH= PH= . PC2 CH2 二(9)2(12)2 =3 55点P到AB的距离为318、分别过B、C作平面a的垂线，设垂足分别为 A、B,连AB、B C贝U BB / CC平面 BB C CP a =B C/ BC / aBC / B C/ AB 丄 BCAB 丄 B C/ AB 为AB在 a上的射影AB 丄 B C/ AB，C =9019、假设人为厶PB