人教版八年级数学上册第12章轴对称同步练习题全套

1、（第一课时）随堂检测 ，联系是 图形对称轴点A直线l线段AB角等腰三角形3.在下列各电视台的台标图案中，是轴对称图形的是（ ） A B C D4.下列四副图案中，不是轴对称图形的是（ ）典例分析ABOCD例：如图，校圆有两条路OA、OB，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置P，并说明理由解析：根据轴对称和角平分线的性质即可画出P离两块宣传牌一样远，只须画CD的垂直平分线；到两条路的距离也一样远，只须画AOB的角平分线，两线的交点即是所求课下作业拓展提高1.下列说法中，正确的个数有（ ）

2、个（1）角的对称轴是这个角的平分线（2）圆的对称轴是直径（3）正方形的对角线是它的对称轴 （4）线段的垂直平分线是它的对称轴A1 B2 C3 D4图22.把一张正方形纸片按如图2对折两次后，再挖去一个小圆孔，那么展开后的图形应为（ ）A B C D3.如果两个图形的大小、形状完全一样，放在一起能够完全重合，那么这两个图形一定关于某条直线对称这种说法 （填正确或不正确）4.如图所示的图案，在不考虑颜色的情况下是一个轴对称图形，如何求阴影部分的面积？l l m5.某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地上建花坛，现征集设计方案，要设计的图案由圆和正方形组成（圆和正方形的个数不限），并且使整个矩形场地成轴

3、对称，请在下边矩形中画出你的设计图案体验中考1.(2009年湖北黄冈) 如图，ABC与ABC关于直线l对称，且A=78，C=48，则B的度数为（）A48 B54 C74 D782（2009年河北省）如图，等边ABC的边长为1 cm，D、E分别是AB、AC上的点，将ADE沿直线DE折叠，点A落在点处，且点在ABC外部，则阴影部分图形的周长ABCDEA为 cm参考答案：随堂检测：1.解析：抓住轴对称和轴对称图形的定义是关键区别：轴对称是说两个图形的位置关系；轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形。联系：（1）定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠，图形重合如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这

4、两个图形关于这条直线或轴对称；反过来，如果把两个或轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形，可见它们在一定的条件下，可以相互转化，由轴对称的性质能研究轴对称图形的性质2.解析：理解对称轴的定义是关键过点A的任意直线；（1）直线l本身（2）直线l的垂线；（1）直线AB（2）线段AB的中垂线；角平分线所在直线；底边上的中垂线3.解析：由轴对称定义，我们可以知道选项C是正确的解：选择C4.解析：判断一个图形是否是轴对称图形，关键是要抓住轴对称图形的本质特征：对于这个图形来说，能够找到某条直线，并沿着这条直线对折，对折后的两部分能够完全重合观察每一个图案发现， B、C、D都能找到这样的直线，

5、因此它们都是轴对称图形，只有A找不到这样的直线，故应选A拓展提高：1.解析：对称轴都是“直线”，而（1）中的角平分线是射线，（2）中的直径是线段，（3）中的对角线也是线段，因此（1）、（2）、（3）都是错误的，只有（4）是正确的解：A2.解析：折叠轴对称图形产生的一个典型操作，对于这类折叠题，同学们可以通过实际操作或空间想象，便可得出正确答案本题的答案是C3.解：不正确解析：若认为正确，那么错误原因是没有真正理解轴对称的概念，对成轴对称的两个图形的必备条件理解不彻底，认为只要两个图形的大小、形状完全一样就成轴对称，忽视了两个图形的位置关系如图中的两个三角形，虽然它们的大小、形状完全一样，但它们

6、并不关于某条直线对称，即找不到这样的一条直线，沿着该直线对折，使它们完全重合，因此它们并不成轴对称4.解析：利用轴对称可将所有的阴影部分的图形全翻到对称轴的一边，故阴影部分的面积即为半圆面积5.解：参考图案如图：体验中考：1.B2.3. 解析：想象把图形再翻折过去，就会发现阴影部分图形的周长为就是三角形的周长。12.1轴对称（第二课时）随堂检测1设A、B两点关于直线MN轴对称，则直线MN与线段AB的关系是 .2若直角三角形是轴对称图形，则其三个内角的度数为_.3在平面镜里看到背后墙上,电子钟示数如图所示,这时的实际时间应该是_.4给出以下两个定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相

7、等；和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上应用上述定理进行如下推理，如图，直线是线段MN的垂直平分线点A在直线上，AM=AN（ ）BM=BN，点B在直线上（ ）CMCN，点C不在直线上（ ）如果点C在直线上，那么CMCN（ ）这与条件CMCN矛盾 以上推理中各括号内应注明的理由依次是（ ）A.(B) B. C. D.典例分析例： 已知如图，AD是ABC的角平分线，过点A的直线MNAD，CHMN。求证：HB+CHAB+AC。解析：本例是一类比较解决的几何问题，由AD是ABC的角平分线MNAD，CHMN。，想到延长CH、BA交于点E，构造线段CE的垂直平分线。解：延长CH交BA的

8、延长线于E，因为AD平分BAC，MNAD，CHMN,所以ADCH，所以BAD=E，DAC=ACH，由AN平分CAE得BAD=DAC，故E=ACH，因为CHMN，AHC=AHE=900，因为AH=AH，所以ACHAEH，所以CH=EH，由CHMN，易知MN是CE的垂直平分线。所以ACAE，在BHE中，BH+HEBE，即BH+HCBE，所以HB+CHAB+AC。规律总结：由角平分线想到构造线段的垂直平分线，将所要求证的线段转化到同一个三角形中，利用三角形的三边关系证明线段的不等问题是常用的转化方法。课下作业拓展提高1如图，在ABC中，BC8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，BCE

9、的周长等于18cm，则AC的长等于（ ）A6cm B8cm C10cm D12cm2已知Rt ABC中，斜边AB2BC，以直线AC为对称轴，点B的对称点是，如图所示，则与线段BC相等的线段是_，与线段AB相等的线段是_和_，与 B相等的角是_和_，因此 B_.3在ABC中，ABAC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50，求底角B的大小4如图，AB=AD，BC=CD，AC，BD相交于E由这些条件可以得出若干结论，请你写出其中三个正确结论(不要添加字母和辅助线，不要求证明)如图，ABC的边BC的中垂线DF交BAC的外角平分线AD于D, F为垂足, DEAB于E，且ABAC，求证：BEAC

10、=AE 体验中考1（2009年湖北荆门）如图，RtABC中，ACB=90，A=50，将其折叠，使点A落在边CB上A处，折痕为CD，则ADB=( )A40 B30 C20 D10第1题图参考答案：随堂检测：1垂直平分解析：利用对称图形的性质245，45，90解析：直角三角形只有一个直角，不能是轴对称的对应角，只能是其他的两个锐角是轴对称的对应角，它们应相等，而其和为90，所以每个锐角都是45321:05.解析：由于镜子是垂直摆放，因此，实际数字与镜中的实际像是左右相反的，所以这时的实际时间应该是21:05.4分析：本题是一道阅读理解题，考查对线段的垂直平分线的性质与判定的区分，解答时一定要认真阅

11、读文字，正确写出理由答案：选D拓展提高1解析：要求AC的长，即求AE+EC的长，由于DE是AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质，可得AEBE，所以只需 求出BE+EC的长而BCE的周长等于18cm，BC8cm，易知BE+EC18-8=10cm，即AC=10cm故应选C2； 、 ； 、 ； 60 解析：点A的对应点仍为A，点C的对应点仍为C，线段BC与是对应线段，则与线段BC相等的线段是，而，故与线段AB相等的线段为而线段与AB是对应线段，因此与线段AB相等的线段还有与B对应的角是，故与B相等的角是又由AB、，三边相等知是等边三角形，故其三个内角相等，因此与B相等的角还有因为三个内角之和等于

12、180，所以B60图1点悟：本题主要考查对称图形的性质及其判定充分利用轴对称的性质，找出轴对称的对应点，对应线段与对应角即可3解：（1）当AB的中垂线MN交AC边时，如图1，DEA50，A905040，ABAC，B（18040）70；（2）当AB的中垂线MN交CA的延长线时，如下图2，图2DEA50，BAC9050140，B（180140）20解析：本题考察分类讨论的思想，其关键是当图形未给定时，要画出所有符合条件的图形，并加以解答4解析：由AB=AD，根据线段垂直平分线的判定，知点A在线段BD的垂直平分线上，由BC=CD，知点C也在线段BD的垂直平分线上，所以直线AC是线段BD的垂直平分线，

13、即DE=BE，ACBD还可以得出DAC=BAC等5证明：过D作DNAC, 垂足为N, 连结DB、DC则DN=DE，DB=DC，又DEAB, DNAC, RtDBERtDCN， BE=CN又AD=AD，DE=DN，RtDEARtDNA，AN=AE，BE=AC+AN=AC+AE，BEAC=AE体验中考1解析：ADC与ADC关于CD轴对称，A=CAD=50，ACB=90，B=40，则ADB=50- 40=10选C（第一课时）随堂检测1.作五角星关于与某条直线对称的图形时，最多要选 个关键点。2.把如图（实线部分）补成以虚线为对称轴的轴对称图形，。你会得到一只美丽蝴蝶的图案（不写作法，保留作图痕迹）3

14、. 如图，在ABC中，C，用直尺和圆规在AC上作点P，使P到A、B的距离相等(保留作图痕迹，不写作法和证明)4.学校团委向大家征集板报报头图案，图案设计要求如下：（1）是轴对称图形；（2）在你学过的几何图形中任意选几种（不少于3种，每个图形的个数不限），组成一个美观且有实际意义的图案，请根据以上要求画出图案，并用简练的语言表达你所设计的图案的含义.典例分析例：ABC和ABC关于直线MN对称，ABC和ABC关于直线EF对称.画出直线EF；（2）直线MN与EF相交于点O，试探究BOB 与直线MN、EF所夹锐角的数量关系.解析:(1)利用轴对称的性质:两个图形关于某直线对称,则对称轴是对称点连线的垂

15、直平分线来画出直线EF. (2)利用关于轴对称的两个图形是全等形的性质来探究角的关系. 图2ANMBCAABBCCFEO解：(1)如图，连结BB. 作线段BB的垂直平分线EF. 则直线EF是ABC和ABC的对称轴.(2)结BO. ABC和ABC关于MN对称，BOM=BOM又ABC和ABC关于EF对称，BOEBOE.BOB=BOM+BOM+BOE+BOE =2（BOMBOE） 2.即BOB2说明：画对称轴的关键是要找出对称轴的两边的对称点，由对称轴是对称点连线被垂直平分线，从而画出所要画的直线.课下作业拓展提高1如图，一轴对称图形画出了它的一半，请你以点画线为对称轴画出它的另一半.2如图，已知点

16、A、B在直线l的异侧，在l上找点P，使PA+PB最小.3如图所示，已知三个村庄的位置如图3所示，经过商量，三个村庄决定联合打一眼机井向三个村庄供水，要想使机井到三个村庄的距离相等，机井应该设在何处？并说明你的理由。4.已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲。若甲站在角AOB内的P点，乙站在OA上，丙站在OB上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同。问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少？5. 如图，两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加

17、油站，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.6.如图，小河边有两个村庄、要在河边建一自来水厂向村与村供水（）若要使水厂到、村的距离相等，则应选择在哪建厂？（）若要使水厂到、村的水管最省料，应建在什么地方？ 体验中考北东BACDl1.(2009年临沂)如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄,为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）2.（2008年湖北宜昌）如图，在ABC与ABD中，BCBD设点E是B

18、C的中点，点F是BD的中点（1）请你在图中作出点E和点F；(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法与证明）（2）连接AE，AF若ABCABD，请你证明ABEABF。参考答案：随堂检测“1. 10个 解析：画轴对称图形关键是作关键点的对称点2.解析:再作出另外五个关键点3.解：分别以A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧交于M、N，过M、N作直线交AC于点P，则点P即为所求作的点或作线段AB的垂直平分线MN，交边AC于点P，点P就是AC上到A、B的距离相等点。解析:到A、B距离相等的点都在AB的垂直平分线上,又要求这样的点在AC上,故是AB的垂直平分线与AC的交点说明：在以A、B为圆心画弧时，一

19、定要以大于AB的长为半径作弧，否则由于两弧不相交而得不到交点盼望2008神六升空：本题是一道开放性轴对称图形设计问题，充分发挥你的想象能力，选用不同的图形，可设计出很多的图案.但要注意一点，所设计的图案一定要符合题目要求，现给出两种图案供参考.拓展提高：1.解析:由于所给图形在正方形的网格中，所以很容易画出这个轴对称图形的另一半，如图2.解析:作图中的最短问题,通常是利用“两点之间线段最短”.作法:连接AB交直线于点P,则P即为所求3.解析：可以分开考虑，与A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，与A、C距离相等的点在线段AC的垂直平分线上。因为同时需要满足到A、B、C三点的距离相等，所以

20、机井应该设在这两条垂直平分线的交点处。解：如图所示，（1）连结AC、AB；（2）作AC的垂直平分线交AC于点F，作AB的垂直平分线交AB于点E，两条垂直平分线相交于点M，点M就是机井的位置。理由：因为ME垂直平分AB，所以MA=MB；因为MF垂直平分AC，所以MA=MC；所以MA=MB= MC，所以点M到三个村庄的距离相等4.解析：本道题目求最短路程可以看成求线段之和最小，往往转化为轴对称问题进行考虑。解：如图所示，（1）分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2；（2）连结P1P2，与OA、OB分别相交于点M、N。 因为乙站在OA上，丙站在OB上，所以乙必须站在OA上的M处，丙必须站在OA上

21、的N处。5.解析： 这是一个实际问题，我们需要把它转化为数学问题，经过分析，我们知道此题是求运油车所走路程最短，OA与OB相交，点P在AOB内部，通常我们会想到轴对称，分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2 ，连结P1P2分别交OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程最短，而建加油站的地点，那么是不是最短的呢？我们可以用三角形的三边关系进行说明.解：分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2 ，连结P1P2分别交OA、OB于C、D，则C、D就是建加油站的位置.若取异于C、D两点的点，则由三角形的三边关系，可知在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短.6解析：（）到、两点距

22、离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”（）要使水厂到村、村的距离和最短，可联想到“两点之间线段最短”解：（）如图，画线段的中垂线，交与，则到、的距离相等 （）如图，画出点关于河岸的对称点，连结交于，则到的距离和最短体验中考1作法：分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于两点，作直线；直线交于点，点即为所求BACDlNMOP2解：(1)能看到“分别以B，C为圆心，适当长为半径画弧，两弧交于点M、N，连接MN，交BC于E”的痕迹，)能看到用同样的方法“作出另一点F(或以B为圆心，BE为半径画弧交BD于点F)”的痕迹.(2)BCBD，E，F分别是BC，BD的中点，BEB

23、F，ABAB，ABCABD,ABEABF.（第二课时）随堂检测1用坐标表示轴对称的点的坐标变换规律：点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x ，y）2点（2， b）与（a，- 4）关于y轴对称，则a= ，b= 3如图，正方形ABCD的中心为O，ADx轴,CDy轴,若点A的坐标为（1，1），说出点B、C、D的坐标(根据什么？) 4如图，ABC，求顶点A、B、C关于y轴对称点的坐标。 典例分析如图，已知ABC四个顶点的坐标分别为A(0,3),B(-3,1),C(2,0),作出与ABC关于x轴对称的轴对称图形.分析: 要作与ABC关于x轴的对称的三

24、角形,根据关于x轴对称的点的坐标规律,得出点A、B、C关于x轴对称的点的坐标,然后描出对称点并顺次连接即可。解：点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y),ABC的顶点关于x轴对称点的坐标分别是A(0，-3),B(-3，-1),C(2，0),依次连接AB,BC,CA,就可得到与ABC关于x轴对称的ABC评注:作与已知图形关于x轴或y轴成轴对称的对称图形,其关键是找出已知图形上的一些特殊点,然后确定这些特殊点的坐标,描出并连接这些特殊点.课下作业拓展提高1如图，如果与关于轴对称，那么点的对应点的坐标为（ ）yxCABO1234-1-2-3-412345A（1，-3） B（-1，-3） C（

25、-1，3） D（3，-1）2关于直线x=m(或直线y=n)对称的点的坐标变换关系：点(a,b)关于直线x=m对称的点的坐标为 ；点(a,b)关于直线y=n对称的点的坐标为 3如图，在平面直角坐标系中，求出的面积在图中作出关于轴的对称图形（3）写出点的坐标xyABCO5246-5-24阿里巴巴在一个秘密的山洞里发现了一张藏宝图，可图上很多字迹都已模糊不清，依稀可辨的是山洞A坐标是（-2，3），山洞B坐标是（2，3），藏宝点与A关于x轴对称你能想个办法帮阿里巴巴在图上找到藏宝点吗？ A（-2，3）. .B（2，3）5如图，从ABC到ABC是进行的平移变换还是轴对称变换，如果是轴对称变换，找出对称轴

26、，如果是平移变换，是怎样平移的？体验中考1.（2009年湖南郴州）点关于轴对称的点的坐标为（）A B C D 2（2008年河南）如图，阴影部分组成的图案既是关于轴成轴对称的图形，又是关于坐标原点成中心对称的图形若点的坐标是，则点和点的坐标分别为（ ）ABCD 3（2008年湖北省咸宁市）如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线实验与探究：由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点的坐标为（2，0），请在图中分别标明B(5,3) 、C(-2,5) 关于直线l的对称点、的位置，并写出他们的坐标: 、 ；归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a,b

27、)关于第一、三象限的角平分线l的对称点的坐标为 （不必证明）；运用与拓广：已知两点D(1,-3)、E(-1,-4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小参考答案：随堂检测1（x，-y）；（-x ，y）2解析：点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x ，y）故a= - 2，b= - 43解析：点A与B关于x轴对称，点A与D关于y轴对称，点C与B关于y轴对称，点D与C关于x轴对称。故B（1，-1），C（-1，-1），D（-1，1）4解析：要确定点A、B、C关于y轴对称点的坐标，首先要写出A、B、C点的坐标，然后根据关于y轴对称点之间的坐标规律求对称点的坐标。解：A、B、C点的

28、坐标分别是A(-3，2),B(-4，-2),C(-2，-3),因为点(x,y)关于y轴对称点的坐标为(-x,y),所以点A、B、C关于y轴对称点的坐标分别是A(3,2),B(4,-2),C(2,-3). 课下作业拓展提高1解析：点A坐标是（1，3），与A关于y轴对称，故的坐标为（-1，3）选C2点(a,b)关于直线x=m对称的点的坐标为（2m-a,b）；点(a,b)关于直线y=n对称的点的坐标为（a,2n-b）3（1）53xyABCO5246-5-2A1C1B1见图的坐标分别是(1，5)、（1，0）、（4，3）4解析：由点A和点B的坐标可以的得出它们关于y轴对称，所以线段AB的垂直平分线就是y

29、轴，又AB=2-（-2）=4，所以AB的四分之一就是单位长度，故将A沿y轴负方向平移3个单位长度，再沿着与y轴垂直的方向、向B点所在y轴的那一侧平移2个单位长度即是原点，过原点作y轴的垂线就得到x轴，最后利用藏宝点与A关于x轴对称，就能帮阿里巴巴在图上找到藏宝点。5解析： 要确定从ABC到ABC是哪种变换，需要先确定ABC和ABC各顶点的坐标，然后找出对应点的坐标之间的存在的规律，根据规律确定变换。解：根据图形可知A(-2,2),B(1,1）,C(2,-3),A(-2,-2),B(1,-1),C(2,3),对应点A与A,B与B,C与C之间的关系是:横坐标不变，,纵坐标变成原来的相反数.根据关于

30、x轴称点之间的坐标规律: 点(x,y)关于x轴对称点的坐标为(x,-y),可知ABC与ABC关于x轴对称.注意：我们学习过的图形的变换有两种,一是平移,二是轴对称;根据已知图形确定变换关系,其关键是找出两个图形上对应点的坐标,如果对应点的坐标满足(x,y)(x+m.y+n)(m,n不为0),则图形之间是平移变换; 如果对应点的坐标满足(x,y)(-x,y)或(x,y)(x,-y),则图形之间是轴对称变换.体验中考 2. 3.解：（1）如图：，(2) (b，a) (3)由(2)得，D(1,-3) 关于直线l的对称点的坐标为(-3,1)，连接E交直线l于点Q，此时点Q到D、E两点的距离之和最小 （

31、第一课时）随堂检测1.等腰三角形中，AB=AC，70，= ，= 2在等腰三角形中，有一个角为80，则另外两个角的度数为 3.已知等腰三角形两边长分别为4和9，则第三边的长为 4.如图，在ABC中，AB=AC，A30，DE垂直平分AC，则BCD的度数为（ ）A80 B75 C65 D45典例分析例 如图，ABAC，DBDC，P是AD上一点求证： ABP ACP解析：本题如果用三角形全等来证明两角相等，则至少需要证明两次三角形全等，若用线段垂直平分线的判定和性质以及等腰三角形的性质就会显得较为简单证明：连结BC ABAC， ABC ACB又 点A、D在线段BC的垂直平分线上， AD就是线段BC的垂

32、直平分线 PBPC PBC PCB ABC PBC ACB PCB即 ABP ACP课下作业拓展提高1已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长为 2已知在等腰三角形中，有一个角的度数为120,则另外两个角的度数为 3等腰三角形底边为5，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3，则腰长为（ ）A.8 B.2 C.8或2 D.以上都不对4. 如图，等腰ABC中，ABAC，AD是顶角BAC的外角的平分线。证明：ADBC5等腰三角形中，一边与另一边之比为：，该三角形周长为，求腰长是多少？6.如图，等腰ABC中，ABAC，D是AB边上一点，E是AC延长线上一点，且BDCE，DE

33、交BC于F。说明：DFEF7.已知，如图， ABC中，ABAC，E在CA的延长线上， AEF AFE求证：EF BC体验中考DCBEAF1（2009年浙江湖州）如图：已知在中，为边的中点，过点作，垂足分别为.求证：；2.（2009年大兴安岭）在边长为4和6的矩形中作等腰三角形，使等腰三角形的一条边是矩形的长或宽，第三个顶点在矩形的边上，求所作三角形的面积参考答案：随堂检测1.解析：AB=AC，2.解析：此题中只给了一个角的度数，这个角即可以为等腰三角形的顶角，又可以为等腰三角形的底角。当此角为等腰三角形的顶角时，根据等腰三角形两个底角相等的性质可知两个底角是（180-80）2=50；当已知角为

34、底角时，则另一个底角也是80，所以可知这个等腰三角形的顶角为（180-802）=180-160=20。通过以上分析可知此题的答案为50，50或80，20。3.解析：根据已知的条件可知此等腰三角形的腰长可能是4也可能是9，但是由于三角形的任意两边之和大于第三边，所以当腰长是4时，不符合要求，所以此等腰三角形的腰长只能是9，所以第三边的长为9。4.解析：此题主要考查了线段垂直平分线和等腰三角形有关知识。因为DE是AC的垂直平分线，所以AD=DC，所以DCA=A30。因为AB=AC，A30，所以ACB=ABC=（180-30）=75。所以BCD=ACB-DCA=75-30=45。故应选D课下作业拓展

35、提高1.解析：此题用到的知识点是三角形三边的关系与等腰三角形的性质。根据等腰三角形的性质可知腰长可以是5或7，根据等腰三角形的三边关系可知腰长是5或7都符合要求，因此当腰长为5时，等腰三角形的周长是17；当腰长为7时，等腰三角形的周长为19。所以此题的答案为17或19。2.解析：当此角是顶角时，等腰三角形的两个底角的度数分别为30，但是当120为底角时，由于三角形的内角和为180，所以120为底角不行，所以此题答案为：30，30。3.解析：此题应该分两种情况进行讨论（如图所示），第一种情况：根据题意可知AB+AD-（BC+CD）=3，得AB+AD-CD=8，又因为D为AC的中点，所以AD=CD

36、，可得AB=8；第二种情况：BC+CD-（AB+AD）=3，得CD-AB-AD= -2，所以AB=2，当腰长为2时，根据三角形三边的关系可知，AB=2不符合要求，所以此等腰三角形的腰长为8。选A4.解析：要证ADBC，只需说明同位角1B（或内错角2C）即可，竟有什么关要说明这些角相等，应考虑已知条件ABAC，得到BC。又因AD平分BAC的外角，得12，又12BC（三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和）,由这三个相等关系即可得：1B。故ADBC成立。解：因为 AD是顶角BAC的外角的平分线 所以12 因为 ABAC所以BC 又因为 12BC 212B 所以1B5.解析：此题有两种情况解：设腰长

37、为，则底为，则，腰长为，设当腰为时，底为，则有，腰长为6.解析：要证DFEF，只需设法说明DF与EF所在的三角形全等，又因为DFB与EFC不是全等的三角形，因此应考虑添加辅助线。过点D作DGAC，即可得到DFG，然后通过说明能得到DFG与EFC全等，从而证得DFEF。解：过点D作DGAC，交BC于G，得DGBACB所以DGFECF（等角的补角相等）因为ABAC，所以BACB所以DGBB所以DGBD又因为BDCE所以CE=DG在DFG与EFC中，因为DGFECF，DFGEFC（对顶角相等）DGCE所以DFGEFC（AAS）所以DFEF7.解析：本题主要考查等腰三角形和平行线的性质及其应用解决问题

38、的关键是通过添加辅助线，建立EF与BC的联系本题由于添加不同的辅助线，可以得到以下四种不同的证法图1证法一：如图1，作BC边上的高AD，D为垂足， ABAC，ADBC， BADCAD又 BACEAFE，AEFAFE CADE， ADEF ADBC， EFBC证法二：如图2，过点A作AGEF于G图2 AEFAFE，AGAG，AGEAGF90， AGEAGF ABAC， BC又 EAFBC， EAGGAFBC EAGC， AGBC AGEF， EFBC证法三：如图3过点E作EHBC交BA的延长线于H图3 ABAC， BC， HBCAEH， AEFAFE，HAFEFEH180， HAEHAEFAFE

39、180， AEFAEH90，即 FEH90， EFEH，又EHBC， EFBC证法四：如图4延长EF交BC于K图4 ABAC， BC B(180BAC) AEFAFE， AFE(180EAF) BFKAFE BFK(180EAF) BBFK(180BAC)(180EAF)360(EAFBAC) EAFBAC180， BBFK90，即FKB90. EFBC体验中考1.解析：连接AD，为边的中点AD平分BAC， DE=DF，是的中点，.2.解析：利用等腰三角形的性质分两张情况：面积是12 面积是8和12（第二课时）随堂检测中，=，的垂直平分线与所在的直线相交所成的角为，则底角的度数为_2.已知等腰

40、三角形一腰上的中线把等腰三角形的周长分成9和12两部分，则等腰三角形的腰长为_ 3.如图，已知AB=AC，A=36，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，求证：（1）BD平分ABCBCD为等腰三角形4沿矩形ABCD的对角线BD翻折ABD得A/BD,A/D交BC于F,如图所示,BDF是何种三角形？请说明理由.典例分析已知，如图所示，在ABC中，B=2C，AD是ABC的角平分线，请说明AC=AB+BD。分析：利用线段的截长补短，构造全等三角形，把分散的条件集中到一起，来解决此题。方法一：采用截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段。解：在线段AC上截取点E，使AE=AB，连结DE。 A

41、D平分BACBAD=DAE在ABD和AED中AB=AEBAD=DAEAD=AD ABDAEDBD=DE B=AEDB=2CAED=2CAED=C+EDCC=EDCED=ECBD=EC AC=AE+ECAC=AB+BD方法二：采用补短法：延长较短线段和较长线段相等。解：延长线段AB至点F，使AF=AC，连结DF。AD平分BAC FAD=CAD又AC=AF AD=ADAFDACDF=CABC=2CABC=2F又ABC=F+BDFF=BDFBF=BDAF=AB+BF AF=AB+BDAC=AB+BD点评：利用构造全等三角形来解决一些问题是我们在做题过程中经常遇到的解题方法，下面就利用一例题来说明一下

42、利用三角形全等来证明一条线段等于另外两条线段和的方法。课下作业拓展提高1.如图，已知线段a，h作等腰ABC，使ABAC，且BCa，BC边上的高ADh. 张红的作法是：（1）作线段BCa；（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；（3）在直线MN上截取线段h；（4）连结AB，AC，ABC为所求的等腰三角形. 上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（ ）A. （1）B. （2）C.（3） D. （4） 2.已知点A和点B，以点A和点B为两个顶点作等腰直角三角形，则一共可作出（ ）A.3个 B.4个 C.6个 D.7个DNMCBA3. ABC中，ABAC，AB的垂直平分线MN交AC

43、于D，若A36，则下列结论中成立的有_，并且证明结论的正确性C72BD是ABC的平分线ABD是等腰三角形BCD的周长AC+BC4.如图，在ABC中，ACB=90，D是BC延长线上一点，E是BD垂直平分线与AB的交点，DE交AC于F.求证：点E在AF的垂直平分线上. A E 1 F 2 B C D5.如图所示，在ABC中，D为BC上的一点，连结AD，点E在AD上，并且1=2，3=4。求证：AD垂直平分BC。6.如图所示，点是的交点，点是的中点试判断和的位置关系，并给出证明COEABD7.如图，在ABC中，BP、CP分别是ABC和ACB的平分线，且PD/AB，PE/AC，BC=5cm求PED的周长

44、8.已知：三角形ABC中，A90，ABAC，D为BC的中点，如图1，E，F分别是AB，AC上的点，且BEAF，试说明DEF为等腰直角三角形若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BEAF，其他条件不变，那么，DEF是否仍为等腰直角三角形？请说明理由.9.小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到（如图）小明认为是等腰三角形，你同意吗？请说明理由ACDB图ACDB图FE（2）实践与运用将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图）；再沿过点E的直线折叠，

45、使点D落在BE上的点处，折痕为EG（如图）；再展平纸片（如图）求图中的大小EDDCFBA图EDCABFGADECBFG图图体验中考1（2009年山东泰安市）如图，ABC中，D是BC的中点，DEAB，BF平分ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是A.2 B.3 C.2.(2008新疆乌鲁木齐市)在一次数学课上，王老师在黑板上画出图，并写下了四个等式：，要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出是等腰三角形请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由（写出一种即可）BEDAC参考答案：随堂检测1.解析：已知条件中的垂直平分线相交的具体位置不确定，从题意上看，故只考虑的垂直平分线与另一腰（或另

46、一腰的延长线）相交时，会掉进命题“陷阱”，出现漏解现象所以此问题应分为的垂直平分线与另一腰相交和的垂直平分线与另一腰的延长线相交两种情形，如图1所示，即（1）当的垂直平分线与腰相交，且时，底角B的度数为；（2）的垂直平分线与腰的延长线相交，且时，则，所以底角的度数为ACBDEEADBC（1）（2）图1：已知条件中未具体指明等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形周长分成的哪两部分的大小，从题意上看，故只考虑一部分长度为9（或12）时，会掉进命题“陷阱”，出现漏解现象所以此问题应分为一部分长度为9 和12两种情形，如图2所示，即（1）当+=12、+=9时，解得=8、=5；（2）当+=9、+=12时，解

47、得=6、=9所以它的腰长为8或6图2ADBC（2）ACBD（1）总之，解等腰三角形问题时，若题中未给出图形，则应考虑按一定标准进行分类讨论，获取完整的解答，更应尽量避免因思维定势造成漏解的情形3.证明：AB=AC，A=36ABC=C=72MN为AB的中垂线AD=BD则A=1=362=36，BDC=180-36-72=72，因此，BD平分ABCBCD为等腰三角形4.解:BDF是等腰三角形ABD翻折后得A/BDABDA/BD12四边形ABCD是矩形ADBC1323BFDF（等角对等边）BDF是等腰三角形课下作业拓展提高“在射线DA上截取一点A，使DA=h”.解：选（C）.析：本题没有指明AB的腰还

48、是底边，所以需分类讨论（1）以AB为底边，有C1、C2两个点符合要求，如图2；（2）以AB为腰，有C3、C4、C5、C6四个点符合条件，如图3综合（1），（2）可知一共可作出6个等腰三角形，所以选（C）3.分析：这是课本上例题改编的，平时的学习要注意把课本知识知识学扎实，本题考查的知识点较多需要综合运用知识解决问题的能力要求较高正确的结论有4.分析：本题可运用线段垂直平分线的性质定理证明BE=DE，再结合等腰三角形两底角相等、对顶角相等及等角的余角相等推出EA=EF，从而运用线段垂直平分线的判定定理获证.证明：E是BD的垂直平分线上的一点，EB=ED. A又ACB=90， EA=90B，2=9

49、0D. 1 F2=A. 2又1=2， B C D1=A. EF=EA.点E在AF的垂直平分线上.5.解析：通过条件得出EB=EC，AB=AC，从而证明出AD垂直平分BC。证明：因为1=2，所以EB=EC，所以点E在线段BC的垂直平分线上。又因为1=2，3=4，所以ABC=ACB，所以点A也在线段BC的垂直平分线上。所以AD垂直平分BC。6.解析：通过所给条件可以证出，得出，利用三线合一即可解： 证明：在和中，又7.解析：因为BP是ABC的平分线，CP是ACB的平分线，所以1=2，3=4，因为PD/AB，所以1=5，所以2=5，所以BD=PD（等角对等边）因为PE/AC，所以4=6，所以6=3，

50、所以PE=EC，（等角对等边）所以PDE的周长等于PD+PE+DE=BD+DE+EC=BC=5cm点评：“等角对等边”是等腰三角形识别的重要方法，本题主要通过角的平行线以及平行线特征，运用“等边对等角”来解决问题的8.解析：第（1）问要说明DEF为等腰直角三角形，就要说明DE=DF且EDF=900，这就要构造两个三角形全等，由题意BEAF，再加上三角形ABC是等腰直角三角形，图1D为BC的中点的条件，显然要连接AD而达到目的；第（2）问，只要在第（1）问的基础上很容易猜想到，说明方法也类似解：连结，因为 BAC90，为BC的中点，所以ADBC ，BDAD ，所以BDAC45，又BEAF，所以B

51、DEADF （S.A.S）所以EDFD BDEADF所以EDFEDAADFEDABDEBDA90图2所以DEF为等腰直角三角形若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图2所示连结AD因为ABAC BAC90，D为BC的中点 ，所以ADBD ，ADBC ，所以DACABD45所以DAFDBE135，又AFBE，所以DAFDBE （S.A.S），所以FDED，FDAEDBEDFEDBFDBFDAFDBADB90，所以DEF仍为等腰直角三角形ACDBFEG9.解：（1）同意如图，设与交于点由折叠知，平分，所以又由折叠知，所以，所以所以，即为等腰三角形（2）由折叠知，四边形是正方形，所以又由折叠知，所

52、以从而体验中考1.解析：由DEAB得ABF=BFD，由BF平分ABC得ABF=FBD，所以FBD=BFD，故BD=DF，因为D是BC的中点，故DF=3，选B2.解析：此题答案不唯一，条件可以是、已知：，求证：是等腰三角形证明：在和中，即是等腰三角形12.3等腰三角形（第三课时）随堂检测1一个等边三角形的角平分线、高、中线的总条数为_. 2.如图 ，已知线段，分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点C、Q，连结CQ与AB相交于点D，连结AC，BC那么：（1）_度； CBDAQ（2）当线段时， _度，周长= 3 如图，在ABC中，C=90，B=15，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，BD=8，则AC=_.CABE D典例分析例 已知，如图，ABC中，ABAC，BAC120，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E求证：解析：本题有两种不同的证法证法一利用线段的垂直平分线是常见的对称轴，证得BFAF后，再利用直角三角形的性质即可得证证法二利用垂直平分线的对称性得AFBF，再证得 AFG为等边三角形即可证法一：如图1:图1连结AF，则AFB