2019-2020年高二数学两个向量的数量积的应用

1、2019-2020年高二数学两个向量的数量积的应用教学目的：1 巩固空间向量数量积的概念；2熟练应用空间向量数量积解决立体几何中的一些简单问题教学重点：应用空间向量数量积解决问题教学难点：应用空间向量数量积解决问题授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体教学过程：一、复习引入：师：上节课，我们一起学习了空间向量的数量积的定义、性质和运算律，我们先来作个简单的 回顾。空间向量的数量积有哪些性质？提问：利用可以处理几何中哪些问题? 师：下面我们从具体例题中来感受一下。二、讲授新课例1已知空间四边形中，求证：分析：这个题目应该说我们比较熟悉，曾经在讲线线、线面垂直时已证过， 过A做平面BCD的

2、垂线，垂足为O,这个方法比较复杂，而且添了较多的辅助线，辅助线添不出来，题目更无法入手。现在我们利用空间向量来证明该题。证明：(法AD BCBD) (AC AB)=AB AC BD AC AB -AB BD=0 (法二)选取一组基底，设,即,同理：,即.说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向 量，然后通过向量运算取计算或证明 例2 如图，已知线段 AB在平面内，线段，线段，线段, 分析：求两点间的距离，一般有两种方法(1 )转化到三角形中，利用余弦定理或其它定理求边长 (2 )添、拆字母利用求解。略解：，= (CD)2 =(CA AB BD)2展开计

3、算即得说明：要求C、D的距离，大家容易想到这个性质，但 难点在于如何把已知的几何条件转化为向量表示，这 结合已知条件和大家对题目的一种敏锐性，下面，我DC 再来看一个线段长度问题。例3已知平行六面体中，AB = 4, AD = 3, AA = 5, . BAD 二 90。,.BAA 乙 DAA = 60，求的长分析：利用来求解：| AC f =(AB AD AA)2=|AB|2 |AD|2 |AA |2 2Ab AD 2AB AA 2AD AA2 2 2=4352 0 10 7.5 =85说明：此题根据已知条件，选择恰当的基向量，把表示出来，但用已知向量表示未知向量时， 一定要结合图形，以图形

4、为指导来解题。例4已知S边长为1的正三角形所在平面外一点，且SA=SB=SC=1 M N分别是AB SC的中点,求异面直线SM与 BN所成角的余弦值。分析：要求异面直线 SM与BN所成角的余弦值，只要求与所成角的余弦值，利用数量积性质， 因此要求以及，从题目已知条件ABC为边长为1正三角形，且 SA=SB=SC=1所以这空间四边形中所有三角形为边长为 1正三角形，取基底，用用基向量来表示。SA 二 a, SB 二 b, SC 二 c1 a*b=b*c = a*c = _2:SM BN 二丄 SA SB SN SB2异面直线SM与 BN所成角的余弦值为 2/3三、学生练习1.已知空间四边形 ABCD勺每条边和对角线的长都等于a,点M N分别是边AB CD的中点，求证：MNL AB , MN 丄 CD四、小结：这节课我们学习了利用数量积性质来解决几何问题，主要应用于求异面直线所成的 角、距离和垂直问题。从以上四例可看到：利用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化 为向量