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文档简介

1、2.5 行列式依行（列）展开1 上一节我们利用行列式的性质把一个行列式化为上三角或下三角行列式，然后根据定义算出行列式的值，或者把一个行列式化成其中含有尽量多个零的行列式，然后算出行列式的值。本节我们沿着另一条思路来计算行列式的值，即通过把高阶行列式转化为低阶行列式来计算行列式的值。例如2 如果我们能把n阶行列式转化为n-1阶行列式，把n-1阶行列式转化为n-2阶，而行列式的阶数越小越容易计算，我们就可以化繁为简，化难为易，从而尽快算出行列式的值。为了这个目的，我们需引进如下概念：一、余子式和代数行列式定义1（余子式）：在一个n阶行列式中，划去元素所在的行和列，余下的元素构成一个n-1阶子式，

2、称为元素 的余子式，记为3定义2（代数余子式）：的余子式附以符号后，称为元素的代数余子式，记为。 例2.5.1. 在行列式中，求元素p和s的余子式和代数余子式。二、行列式依行（列）展开 先考虑比较特殊的情况，即一个n阶行列式中某一行（列）除一个元素外，其余元素都为零的情况，这时有以下引理。4引理：如果行列式中，第i行（或第j列）中元素除了外其余都是零，则 证明：1、D中第一行元素除外其余皆为零，这时52、假设D中第i行除外其余皆为零，这时6此时 把D中的第i行依次与第i-1行，第i-2行，第1行对换，再把第j列依次与第j-1列，第j-2列，第1列对换，这样共经过（i-1）+（j-1）次行与列的

3、对换，则D转化为注意到行列式中任两行（列）的对换改变行列式的符号，故73、行列式依行（列）展开定理2.5.1 行列式等于它的任意一行（列）中所有元素与其代数余子式乘积的和，即有或 证：8定理2.5.2. 行列式中，某一行（列）中元素与另一行（列）中对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即有9考察行列式然后按第j行展开即知。例2.5.2. 计算行列式10解：11例2.5.3 计算行列式解： 计算行列式的一个基本方法是：先利用行列式的性质把某行（列）化成有尽可能多的零，然后把行列式按这行（列）展开，这样计算要简单。如果不分青红皂白把行列式降阶，由于要计算的行列式个数成倍增多，则计算量未必减少。12例2.5.

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