现代控制理论的知识

1、现代控制理论基础1-1 线性系统的状态空间描述一、系统描述中常用的基本概念1.输入与输出：由外部施加到系统上的全部激励称为输入，能从外部测量到的来自系统的信息称为输出。2.松驰性：系统的输出 由输入 唯一确定，则称系统在t0时刻是松驰的。3.因果性：系统在t时刻的输出仅取决于t时刻和t之前的输入，而与t时刻之后的输入无关。4.线性:一个松弛系统,当且仅当对任何输入 及任意常数 , 均有 (可加性), (齐次性),则该系统称为线性的,否则为非线性.二、状态、状态变量与状态空间例：电压ei电路的输入量，电容上的电压eo为电路的输出量，R、L、C分别为电路的电阻、电感和电容。 求解这个微分方程组，出

2、现两个积分常数，它们由初始条件，我们要知道i(t)和eo(t)的变化规律，必须知道他们的初始值及电路在t=t0时的输入量ei(t)。 因此i(t)和eo(t)就可以表征这个电路的行为，这组信息量就称为状态。2. 状态空间的基本概念1).状态:表征系统运动的信息和行为4).状态空间：以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间.3).状态向量：把n个状态变量看作向量x(t)的分量，即 2).状态变量：完全表征系统运动状态的最小一组变量 状态空间中的每一个点，对应于系统的某一特定状态。反过来，系统在任意时刻的状态都可用状态空间中的一个点来表示。显然，系统在不同时刻下的状态，可用状态空间中的一条轨迹表示

3、。轨迹的形状完全由系统在 时刻的初态 ， 时的输入函数，及系统本身的动力学特性所决定。 3. 状态空间表达式1).定义：描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组。书写方便，如下形式2)状态方程：描述系统状态变量与输入量之间的关系，它是由状态变量、输入量等构成的一阶微分方程给，如我们上图的方程给可改写：3)输出方程：描述系统状态变量与输出量之间的关系，换为电路的输出方程或观测方程，它是一个矩阵代数方程。状态方程和输出方程合起来称作系统的状态空间表达式。令：改写为A为2x2型系统矩阵，b为2x1型输入矩阵，C为1x2型输出矩阵.可将这个例子推广到一般情况，x为n维状态向量,u为m维输入向量，y

4、为p维输出向量，如下图所示：系统方程为：A为nxn型系数矩阵，B为nxr型输入矩阵， C为mxn型输出矩阵，D为mxr型直接传输矩阵。4. 其它系统线性时变系统线性定常系统线性定常离散系统5.状态变量的选择 要建立状态空间表达式，必须先选取状态变量，状态变量一定要是系统中相互独立的变量。对于同一系统，状态变量选取的不同，所建立的状态空间表达式也不同，通常选取状态变量采取以下三种途径： 1、选择系统中贮能元件的输出物理量作为状态变量，然后根据系统的结构用物理定律列写出状态方程。 2、选择系统的输出及其各阶导数作为状态变量。 3、选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作为状态变量。 注意：状态变量

5、选取的非唯一性。同一个系统可以选取不同变量作为状态变量。但状态变量的数目是唯一的。例1.如下图所示的电路，试以电压u为输入，以电容C上的电压uC为输出变量，列写其状态空间表达式。 解： 图电路的贮能元件有电感L1，L2和电容C。根据基尔霍夫定律列写电路方程： 考虑到i1、i2、uc这三个变量是独立的，故可确定为系统的状态变量，经整理上式变为 现在令x1=i1，x2=i2，x3=uc，将上式写成矩阵形式即为状态方程。 由于前面已指出电容上的电压uc为输出变量，故系统的输出方程为: 例2求图示机械系统的状态空间表达式解：由牛顿力学 可知令动态方程如下状态空间表达式为： 例3.机械平移系统 如下图所

6、示为一加速度仪的原理结构图。它可以指示出其壳体相对于惯性空间（如地球）的加速度 。设:xi 为壳体相对于惯性空间的位移;x0 为质量m相对于惯性空间的位移;y= xi - x0 为质量m相对于壳体的位移.解：此题目的在于用m相对于壳体的位移计算加速度。此题的加速度为 根据牛顿第二定律，这个系统的运动方程为:将 x0 = xi- y代入,我们就可以得到关于加速度仪以变量y为输出的微分方程:以质量m相对于壳体的位移y作为状态变量x1，m相对于壳体的速度为状态变量x2，并将质量m相对于加速度仪外壳的位移y作为系统输出，以加速度仪外壳相对于地面的加速度 作为系统输入u，那么有：写成矢量形式为：当加速度

7、 为常数，且系统达到稳定状况时，由前式 ，可得所以我们可以通过y的读数，确定运动物体的加速度值。例4 多输入多输出系统（MIMO） 如下图所示机械系统,质量m1，m2各受到f1，f2的作用，其相对静平衡位置的位移分别为x1，x2。解：根据牛顿定律，分别对m1，m2进行受力分析，我们有：取x1、x2、v1、v2为系统四个状态变量x1、x2、x3、x4，f1(t)、f2(t)为系统两个控制输入u1(t)、u2(t)，则有状态方程：如果取x1、x2为系统的两个输出，即 动态方程如下:常用拉氏变换表 实微分定理 积分定理 当初始条件为零时：1-2状态空间模型的图示法 一、概念： 1. 状态结构基本元件

8、 K (a) 积分器 (b)加法器 (c) 比例器2. 一阶标量微分方程 的一阶系统状态结构图 bau 3.多输入多输出状态方程 BADC状态方程表达式为4.单输入单输出（SISO）线性定常系统微分方程的标准形式为 例1.状态空间表达式如下，求状态图。解：作状态图时，首先确定有几个积分器。由题可得： 故由题可得 的表达式，可由加法器和比例器实现。例2.状态空间表达式如下，求状态图。解：作状态图时，首先确定有几个积分器。由题可得 的表达式，可由加法器和比例器实现。例3.电路如下图所示，如果电压u1,u2为输入量，UA为输出量，选择i1(t)和i2(t)为状态变量，建立电路的状态空间表达式。解：

9、图电路的贮能元件有电感L1，L2。根据基尔霍夫定律列写电路方程： 整理：令i1(t)为x1,i2(t)为x2,则由上式可得：则状态方程为：输出方程为：1-3线性定常系统的状态空间表达式 一、求解方法:微分方程、结构图、传递函数二、由系统微分方程建立状态空间表达式1.系统输入量中不含导数项选取系统输出变量 为状态变量，令状态空间表达式：例1： ，求状态空间表达式解：选则： 状态空间表达式为 状态图为：那么对于方程：2.系统输入量中含导数项如果单输入单输出系统的微分方程为： 如果此时同输入量中无导数项一样选取状态变量，则在最后一个方程中包含有u的导数项。一般输入量中导数项的次数小于或等于系统的次数

10、n。为了避免在状态方程中出现u的导数项，可以选择如下的一组状态变量。即：将y(n)表达式代入，可得： 选择 ，使得上式中u的各阶导 数项的系数都等于0，即可解得：最后可得系统的状态方程：可写成向量-矩阵的形式：例1： ， 试写出它 的状态空间表达式。 解： 则：状态空间表达式为 则结构图为：那么对于方程：例2 求方程 ，状态空间表达式。解：此题首先整理为标准型:三、由动态结构图建立状态空间表达式例：动态结构图如图所示，取x1,x2,x3为状态变量，试建立系统的状态空间表达式。解：由图中各量的关系可写出以下方程：(P2)1-2上题是利用微分方程的关系来解题，我们也可将动态结构图进行等效转换来求状

11、态空间表达式。其步骤如下：第一步：在系统方块图的基础上，将各环节通过等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器（1/s）、比例器（k）及其综合器（加法器）组成，这三种基本器件通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。第二步：将上述调整过的方块图中的每个标准积分器（1/s）的输出作为一个独立的状态变量xi，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数dxi/dt。第三步：根据调整过的方块图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。根据需要指定输出变量，即可以从方块图写出系统的输出方程。例1、某控制系统的方块图如下图所示，试求出其状态空间表达式。解：该系统主要有一个一阶

12、惯性环节和一个积分器组成。对于一阶惯性环节，我们可以通过等效变换，转化为一个前向通道为一标准积分器的反馈系统。如下所示：则上图可等效为：我们取每个积分器的输出端信号为状态变量x1和x2，积分器的输入端即 和 。从图可得系统状态方程：取y为系统输出，输出方程为：y=x1 写成矢量形式，我们得到系统空间表达式：例2、某控制系统的方块图如下图所示，试求出其状态空间表达式。解：该系统主要有两个一阶惯性环节和一个二阶振荡环节组成。上图可等效为：进一步，我们可以得到由标准积分器组成的等效动态结构图。依次取各个积分器的输出端信号为系统状态变量x1、x2、x3、x4，由可得系统状态方程：系统输出方程：y=x1

13、。空间表达式为：四、由传递函数建立状态空间表达式设单输入/输出系统的传递函数：不失一般性，我们假设m=n，则代入上式： 上式中的系数整理得到： 如果把 写成串联分解的形式引入中间变量Z选取状态变量则状态方程为：输出方程为：选取状态变量则状态方程为：输出方程为：写成向量-矩阵形式为：例：P3页 图1-2系统的状态空间表达式。解：由题可得：故状态方程为：故输出方程为：例：P3页 图1-3系统的状态空间表达式。解：由题可得：故状态方程为：故输出方程为：例.求方程 状态空间表达式。解：可直接求解：则状态空间表达式：作业：1.求下列微分方程的状态空间方程。2.求下列传递函数的状态空间方程1-4传递函数矩

14、阵 一、传递函数 经典控制理论中，传递函数是系统初始松驰条件下，系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。 若给出系统的状态空间表达式，如何求传递函数？例：单输入-单输出系统状态空间表达式如下：解：等式两边同时进行拉普拉斯变换，得到其中，x(0)为系统初态，整理可得：例1.系统状态空间表达式如下：解：由题可得：二、传递函数矩阵解：等式两边同时进行拉普拉斯变换，方法同上，可得到：例2.系统状态空间表达式如下：解：由题可得：三、闭环系统传递函数矩阵闭环系统结构如图所示：四、传递函数的极点、零点，见书P10五、正则有理传递函数定义：当s为 时， 是有限常量，则有理函数是正则的。若0，则是严

15、格正则的。非正则有理函数描述的系统在实际的控制中是不能应用的。例如：1-5离散系统的数学描述 一、离散系统的状态空间模型 1、定义：离散时间系统就是系统的输入和输出信号只在某些离散时刻取值的系统。与离散时间系统相关的数学方法有差分方程，信号Z变换，以及系统脉冲传递函数。 假定离散时间是等间隔的并以T记之，T称为采样周期。用u(k)代表u(kT)，y(k)表示y(kT)。2、差分方程中不含有输入量差分项，如下：若选取y(k)，y(k+1)，y(k+2)作为状态变量，令则系统状态方程：记成向量、矩阵形式：输出方程：结论可以推广到n阶线性差分方程所描述的系统 ：其状态方程、输出方程如下：例： 已知离

16、散系统方程如下，试求其状态空间表达式。 解：由题可得：3、差分方程中含有输入量差分项，如下：采取类似于连续系统选择状态变量的方法：系统状态方程为：系统输出方程为：结论可以推广到n阶线性差分方程所描述的系统例：求下列方程的状态空间表达式解：由题可得：则状态空间表达式：二、脉冲传递函数矩阵对于差分方程，能过Z变换，可得到系统的脉冲传递函数。我们也可通过状态空间表达式，得到系统的脉冲传递函数。离散系统状态空间表达式如下：对等式两边进行Z变换，可得：例：线性定常离散系统方程为：解：由题可得：1-6线性变换 一、等价系统方程对同一个系统，选择不同的状态变量，其状态空间表达式也不相同。它们都是系统的状态空

17、间描述，其之间必然存在着某种关系。引入一个n x n型非奇异变换矩阵P二、线性变换基本性质1、线性变换不改变系统特征值。2、线性变换不改变系统的传递函数矩阵。三、化系数矩阵A为标准形选择适当的变换阵，可以使系数矩阵A化为特征值为其元素的对角形（特征值为互异），约当形（特征值有重根），共轭模态形（特征值具有共轭复根）。变换矩阵由A的特征值所对应的特征向量来构成。1、化A阵为对角阵解：计算各特征值的特征向量，并构成变换矩阵P计算特征向量解：计算特征值及特征向量典型矩阵底友矩 阵左友矩阵若A的特征值是复数，计算方法类似。2、化A阵为约当阵若n x n矩阵A有n个重特征值 ，并且 中对应一特征向量，很

18、显然，此时A阵不能化成对角阵。只能通过线性变换化成如下形式的约当阵。q2,q3,qn为对应于的广义特征向量。解：求特征值：3、状态方程的共轭模态形1-7组合系统的数学描述 一、定义：由一些子系统按照一定的规律联结构成的系统称之为组合系统。子系统的联结方式有并联、串联和反馈三种联结形式。为了简便并不失一般性，我们来讨论两个子系统构成的组合系统。二、联结：1、并联联结2、串联联结故S1在前，S2在后串联连接而成的组合系统的系统方程为：G2(s)与G1(s)的次序不能随意改变。3、反馈联结故反馈后的组合系统的状态空间表达式为：故组合系统的传递函数为：例1：求下式关联系统状态空间表达式。例2：已知系统

19、的输出输入方程为：求状态空间表达式。解：对于此系统可看作是两个子系统串联组成。对于子系统S1其状态空间表达式为：按照串联的组合系统的状态模型式：于是组合系统的状态方程为：例3.求如图所示系统的状态空间表达式。解：对于子系统S1，其状态方程和输出方程为：对于子系统S2，其状态方程和输出方程为：状态空间表达式为：1-8线性定常系统齐次状态方程的解 一、齐次状态方程:系统输入量为0时的状态方程，如下式所示：表示初始时刻t0=0,初始状态为x0先复习标量微分方程的解。设标量微分方程为 拉氏变换 拉氏反变换 标量微分方程可以认为是矩阵微分方程当n=1时的特征 ，可仿照微分方程求解的形式求状态方程的解，可

20、参看P5。n阶线性定常齐次状态方程的解为： n阶线性定常齐次状态方程的解为 齐次状态方程解的物理意义是 将系统从初始时刻的初始状态 转移到 时刻的状态 。故 又称为定常系统的状态转移矩阵。 由于系统无输入量，系统的运动x(t)是由系统的初始状态x(t0)来激励的，因此运动可称为自由运动，而运行的轨线是由 决定的， 包含了系统自由运动形态的全部信息，完全表征了系统自由运动的动态特征。 例：齐次状态方程的解。解：由定义可得：二、状态转移矩阵的基本性质例：已知某系统的转移矩阵 ， 求A。解：由性质1及性质4，可得：三、状态转移矩阵的求解1、定义法:2、应用拉普拉斯变换法计算 ：例：线性定常系统齐次状

21、态方程为的状态转移矩阵(t)和状态转移矩阵的逆-1(t）。 解：对于该系统 其状态转移矩阵由下式确定 由于 其逆矩阵为 因此 由于-1（t）=(-t)，故可求得状态转移矩阵的逆为3、应用凯莱-哈密顿定理计算 ：哈密顿定理：nxn矩阵A满足自身的特征方程，即A阵的特征多项式是A的零化多项式。显然对A的n个特征值 ，有 根据Cayley-Hamilton定理有 :这里可以看出矩阵A与 具有同等地位。 移项 上式表明， 的线性组合。 显然有：因此：那我们就需要计算系数，就可确定转移矩阵1)特征值互异时，应用凯莱-哈密顿定理， 和A均是特征多项式的零根，因此 满足下式： 当i=1,2n时，则有下式：例：线性定常系统齐次状态方程为的状态转移矩阵(t) 。 解：计算特征值：2)A的特征值均相同时，设A的特征值为 ，则ai(t)的计算公式如下：3)当A的n个特征值有重特征值又有互异特征值时，ai(t)由上两式确定。例：求下式的转移矩阵。解：