相关与回归分析定义和公式

1、相关与回归分析定义和公式1STATStatistics in Practice消费者应该留下多少小费？在西方国家餐饮等服务行业有一条不成文的规定，即发生餐饮等服务项目消费时，必须给服务员一定数额的小费，许多人都听说小费应该是账单的16%左右，是否真的如此呢？让我们来考察表10-1，表中的数据是经过调查所得的样本数据，通过对这几组数据的分析与观察，我们能发现两者之间的数量关系。2第九章 相关与回归分析STAT问题是：1、是否有足够的证据断定：在账单与小费数额之间存在某种联系？2、如果存在某种联系，怎样使用这种联系来确定应该留下多少小费？本章的重点就是基于成对出现的样本数据做出一些推论。如上例，我

2、们想要确定账单与小费数额之间是否存在某种联系，如果存在，我们就想用一个公式描述它，这样就能找出人们留小费时遵循的规则。类似这样的问题还有很多，如：（1）犯罪率与偷窃率；（2）香烟消费与患癌症率；（3）个人收入水平与受教育年限；（4）血压与年龄；（5）父母身高与子女身高；（6）薪金与酒价；（7）人的手掌生命线的长度与人的寿命长短。3第九章 相关与回归分析STAT本章重点1、相关关系与回归方程概述；2、相关关系的测定；3、回归方程的拟合；4、回归方程的应用。本章难点1、积差法相关系数的计算；2、总离差平方和及其分解。4第一节 相关关系概述一、变量间的相互关系（一）函数关系 定义：完全确定的（数量）

3、关系。（1）某一（组）变量与另一变量间存在着一一对应的关系；例计件工资（y）与产量（x） y=f(x)=10 x； x0=1件， y0=10元； x1=2件， y1=20元 （2）原材料消耗总额（y）与产量（x1）、单位产量消耗（x2）和原材料价格（x3） y=x1x2 x3。（二）相关关系、定义：不完全确定的关系。（1）某一（组）变量与另一变量间有关系但并非一一对应；例身高y与体重x； A：x=60kg、y=170m； B： x=60kg、； C：x=60kg、； D： x=60kg、。（2）表述：y=f(x)+。 影响身高的因素：体重、遗传、锻炼、睡眠质量STAT5 2、成因（1）某些影响

4、因素尚未被认识；（2）虽已认识但无法测量； （3）测量误差。例某种水果2元/斤： 购买额 y=2x 购买量 y=4元、x=2斤 3、数量关系的形式（1）单一因果关系 ； （2）互为因果关系；（3）伴随关系 。二、相关关系的种类（一）按相关的程度分1、完全相关：函数关系；2、不相关：没有关系；3、不完全相关。（二）按相关的方向分1、正相关：变量的变动方向一致（同增同减）；2、负相关：变量的变动方向相反（一增一减）。STAT6第九章 相关与回归分析（三）按相关的形式分1、线性相关；2、非线性相关。STAT7第九章 相关与回归分析（四）按影响因素的多少分1、单（简）相关：只有一个自变量；例学习成绩与

5、学习时间；血压与年龄；亩产量与施肥量。2、复（多元）相关：两个或两个以上的自变量 ；例经济增长与人口增长、科技水平、自然资源、管理水平等之间的关系； 体重与身高、胖瘦之间的关系。3、偏相关：就多个变量测定其中两个变量的相关程度而假定其他变量不变。 例就y=ax1+bx2+ ，研究y与x1之间的关系，假定x2不变。STAT8第九章 相关与回归分析第二节 线性相关关系的测定目的测定变量间的相关方向与密切程度。一、相关图表（一）相关表1、单变量分组相关表：自变量分组且计算次数，因变量只计算平均数。STAT9第九章 相关与回归分析2、双变量分组相关表：对自变量与因变量均进行分组。注：自变量X轴；因变量

6、Y轴。 （二）相关图：散点图（P220）。不足难以精确反映相关的密切程度。STAT10第九章 相关与回归分析二、（线性）相关系数（一）积差法计算公式STAT11第九章 相关与回归分析（二）协方差xy的作用1、显示x与y之间的相关方向。STAT12第九章 相关与回归分析负相关STAT13第九章 相关与回归分析2、显示x与y之间的相关程度。STAT14第九章 相关与回归分析负相关STAT15第九章 相关与回归分析不相关STAT16第九章 相关与回归分析归纳 xy的作用第一、显示x与y之间的相关方向STAT第二、显示x与y之间的相关密切程度17第九章 相关与回归分析（三）x、y的作用1、使不同变量的

7、协方差标准化直接对比。STAT18第九章 相关与回归分析例甲、乙两人有关食量与体重资料如下（单位：斤）STAT19第九章 相关与回归分析STAT 150 152 160 20第九章 相关与回归分析2、使STAT21第九章 相关与回归分析（四）积差法相关系数的简捷计算公式STAT22第九章 相关与回归分析简捷计算公式STAT23r的简捷计算式STAT24第九章 相关与回归分析（五）线性相关的判断准则STAT例为了解营业员每人月平均销售额（万元）和利润率（%）之间的关系，特从100家商店中随机抽取10家，得到如下资料，试计算样本相关系数。25例计算过程。STAT26解STAT答：人均销售额与利润率

8、之间存在着高度的正相关关系。27问：若令人均销售额为y，利润率为x，则r的取值是否改变 ?STAT28一些人相信他们的手掌生命线的长度可以来预测他们的寿命。和在美国医学协会学报上发表的一封信中，通过对尸体的研究对此给予了驳斥。死亡时的年龄与手掌生命线的长度被一起记录下来。作者得出死亡时的年龄与生命线的长度不存在显著相关的结论。手相术失传了，手也就放下了。看手相：29第九章 相关与回归分析（六）样本相关系数的特性1、两变量均为随机变量。2、两变量的地位是平等的 rxy= ryx。3、其接近于1的程度与样本容量n有关。 n小，r 1。特例：当n = 2时，r = 1。 例样本（x,y）为（6,12

9、.6）,（1,3.0）, n = 2。STAT30第三节 回归分析一、回归分析概述（一）概念1、线性相关分析：计算线性相关系数 r 确定两变量之间的相关方向与密切程度。不足无法表明两变量之间的因果关系 无法从一个变量（x）的变化来推测另一个变量（y）的变化情况。STAT31第九章 相关与回归分析2、回归分析：通过一个（些）变量的变化解释另一变量的变化 y = a+bx 、 y=ax1+bx2 。回归英国生物学家 F Galton 首次提出。 父辈身高 子辈身高 x y y = f（x）+ 人类的平均身高。（二）回归分析的种类1、按自变量的多少分（1）简单（一元）回归：自变量只有一个 。例 y

10、= a+bx 一元回归方程（2）复（多元）回归：自变量为2个或2个以上。例 y=0+ 1x1+ 2x2+ nxnSTAT32第九章 相关与回归分析2、按回归方程式的特征分（1）线性回归：因变量为自变量的线性函数。例 y = a+bx 一元线性回归方程（2）非线性回归：因变量为自变量的非线性函数。例 STAT33第九章 相关与回归分析（三）回归分析的步骤1、确定自变量和因变量；例粮食产量（y） 施肥量（x）； 消费支出（ y ） 国民收入（ x ）； 火灾损失额（ y ） 火灾发生地与最近一个消防站之间的距离（ x ）。2、确定样本回归方程；3、统计检验；4、预测或控制。例 消费与收入的回归方程

11、： 已知 x确定y：估计或预测 已知y确定x：控制STAT34第九章 相关与回归分析二、一元线性回归方程的拟合（一）总体回归方程STAT35第九章 相关与回归分析图示STAT36第九章 相关与回归分析假定所有Y分布的均值都正好在一条直线上。STAT37第九章 相关与回归分析 Yi/Xi=条件均值+i =+Xi+ iSTAT38第九章 相关与回归分析拟合思想抽样 N n,STAT39第九章 相关与回归分析（二）样本回归方程的拟合 从总体中随机取样，获取一组样本观察值。STAT40第九章 相关与回归分析图示STAT41第九章 相关与回归分析步骤：1、利用样本数据拟合样本回归直线，尽量减少误差；2、

12、检验样本回归直线对总体回归直线的代表程度。STAT42第九章 相关与回归分析（三）样本回归方程的拟合方法1、绝对值拟合法STAT2、最小二乘法（OLS法）基本思路：使残差平方和最小的直线“最优直线”。43第九章 相关与回归分析 总可以设法找到一对a、b的取值，使Q为最小值。STAT44第九章 相关与回归分析将a代入（2）式得STAT45第九章 相关与回归分析简捷计算式STAT46第九章 相关与回归分析相关系数r与回归系数b之间的关系STAT（1）两者是同向的；（2）r反映变量的相关方向与密切程度； b反映某一变量变动一个单位时另一变量的平均变动量。47第九章 相关与回归分析例为研究收入与食品支出的关系，随机抽取了10户家庭的样本STAT请拟合样本回归方程48第九章 相关与回归分析解：通过散点图可近似看出收入与食品支出之间呈线性关系，故设两者有关系STAT经济意义：当收入为0时，亦须有元的食品支出，收入每增加100元，食品支出平均增加元。49第九章 相关与回归分析解：STAT50第九章 相关与回归分析三、回归方程的方差分析STAT（一）总离差平方和的分解51第九章 相关与回归分析由：STAT52第九章 相关与回归分析离差