2022年人教A版高中数学专题37数学归纳法名师精编单元测试

1、 名校名师举荐 专题 37 数学归纳法1用数学归纳法证明“ 3nn 3 n3, nN ” 时,第一步证明中的初始值为 An1 B n2 Cn3 D n4 【答案】： C 【解析】：由题意知n03. nk kN *2用数学归纳法证明1222 2n 12 n1 nN * 的过程中, 其次步假设当时等式成立,就当nk1 时应得到 A122 2 2k 22k12k11 B122 2 2k2k 12k 112 k1C122 2 2k 12k12k11 D122 2 2k 12k2k12k【答案】： D 【解析】：由nk 到 nk1 等式的左边增加了一项,应选D. 11 221 231 2 41 2 n3

2、观看以下式子： 11 32 2 2,11 221 53 2 3,11 221 231 74 2 4. 就可归纳出12小于 nA.2n1 B 2nn1n1C2n1D2n1n2n3【答案】： A 4对于不等式n2nn1 nN * ,某同学应用数学归纳法证明的过程如下：1 当 n 1 时,1 2111,不等式成立k 2k k1,就当nk 1 时,2 假设当nk kN *,且k1 时,不等式成立,即k2kk 23k2k 23kkk2 k1 - 1 - 名校名师举荐 1,当 nk1 时,不等式成立依据 1 和2 可知对任何nN *,n2nn1 都成立就上述证法 A过程全部正确 Bn1 验得不正确 C归纳

3、假设不正确 D从 n k 到 nk1 的推理不正确【答案】： D 【解析】：在证明nk1 时,没有用到归纳假设,所以选D. 5在数列 an 中, a11 3,且 Snn2 n1 an,通过求 a2,a3,a4,猜想 an 的表达式为 A.n1nB2n1nC.n1nDn1n【答案】： C 6用数学归纳法证明不等式11 21 4 1 2 n 1127 64 nN * 成立,其初始值至少应取A7 B B8 C9 D10 【答案】- 2 - 名校名师举荐 11 1 1 12 n1【解析】左边 124 2 n1122 n1,代入验证可知 n 的最小值是 8. 127用数学归纳法证明命题“ 当 n 是正奇

4、数时, x ny n能被 x y 整除” ,在其次步时,正确的证法是 A假设 nk kN,证明 nk 1 命题成立B假设 nk k 是正奇数 ,证明 nk1 命题成立C假设 n2k1 kN ,证明 nk1 命题成立D假设 nk k 是正奇数 ,证明 nk2 命题成立【答案】D 【解析】A、B、C中, k1 不肯定表示奇数,只有 D中 k 为奇数, k2 为奇数1 1 1 1 1 1 1 18用数学归纳法证明 1234 2n12nn1n2 2n,就当 nk 1 时,左端应在 nk 的基础上加上 1 1A. 2k2 B2k21 1 1 1C. 2k12k2 D. 2k12k2【答案】C 9对于不等

5、式 n 2nn1 nN * ,某同学用数学归纳法的证明过程如下：1 当 n 1 时,1 2111,不等式成立k 2 kk 1,就当n k 1 时,2 假设当n k kN * 且 k1 时,不等式成立,即k2kk 2 3k2k23kkk2 k 1 1,所以当 nk1 时,不等式成立,就上述证法 A过程全部正确Bn1 验得不正确- 3 - 名校名师举荐 C归纳假设不正确D从 n k 到 nk1 的推理不正确【答案】D 【解析】在 nk1 时,没有应用 nk 时的假设,故推理错误10用数学归纳法证明 123 n 2n 4n2,就当 nk1 时左端应在 n k 的基础上加 2上 Ak 2 1 2B k

6、1k4k2C. 2D k 21 k 22 k 23 k1 2【答案】D 11 已知 12 33 3 24 3 3 n 3 n1 3 n nab c 对一切 nN * 都成立, 就 a、b、c 的值为 时 等 式 成 立 , 即Aa1 2,b c1Ba bc144Ca0,b c1 4D不存在这样的a、b、c【答案】A 【 解 析 】 等 式 对 一 切nN * 均 成 立 , n 1,2,31a bc,2 12 3 3abc,12 33 3233abc,3a3bc1,整理得 18a9bc7,81a27bc34,解得 a1 2,b c1 4. 1,1 ,1,2,2,1,1,3,2,2 ,3,1 ,

7、1,4 ,2,3 ,12已知整数对的序列如下：- 4 - 名校名师举荐 3,2,4,1,1,5,2,4 , ,就第 60 个数对是 _【答案】5,7 【解析】此题规律： 211；312 21；4132 231；5142 33241； ；一个整数 n 所拥有数对为 n1 对设 12 3 n1 60,n2n60,12,n 11 时仍多 5 对数,且这5 对数和都为12111210394857,第 60 个数对为 5,7an12 nN * ,f n 1 a11 a2 1 an ,试通13已知数列 an 的通项公式n过运算 f 1 ,f 2 ,f 3 的值,估计出【答案】n2 nN * nf n的值是

8、 _ 14 用数学归纳法证明不等式 n1n2 nn13 24的过程中,由 nk 推导 nk1 1 1时,不等式的左边增加的式子是 _1【答案】kk1 1 1 1【解析】不等式的左边增加的式子是 2k12k2k1k1 k,故填1kk. 15如下图,在杨辉三角形中,从上往下数共有 n nN * 行,在这些数中非 1 的数字之和是_1 1 1 1 1 2 - 5 - 名校名师举荐 1 3 3 1 1 1 4 6 4 【答案】2n 2nSn 2 0 222 2 n1 2 n 1,除掉 1 的和为 2n12 n1 2n【解析】全部数字之和2n. 1612 分 设数列 an 满意 a13, an1a2 n

9、 2nan2,n1,2,3 ,1 求 a2,a3,a4的值,并猜想数列 an 的通项公式 不需证明 ；22 记 Sn 为数列 an 的前 n 项和,试求使得Sn2 n 成立的最小正整数n,并给出证明【解析】1 a25,a37,a49,猜想 an2n1. 2 Snn2nn22n,使得 Snn22n. n 6 时, 2 66 22 6,即 6448 成立；假设 nk k6,kN * 时,2 kk 22k 成立,那么 2k12 2k2k22k k22k k 2 2kk2k32k k 122 k1 ,即 nk1 时,不等式成立；由、可得,对于全部的n6 nN * 都有 2nn 22n 成立17数列 x

10、n 满意 x10,xn1 x nxnc nN * 21 证明： xn 是递减数列的充分必要条件是 c0,即证 xnc对任意 n1 成立下面用数学归纳法证明当0c1 4时, xnc对任意 n1 成立xk1f xkf c c,这i 当 n 1 时, x10c1 2,结论成立ii假设当 n k kN * 时,结论成立,即xnc. 由于函数f x x2xc 在区间,1 2内单调递增,所以就是说当 nk1 时,结论也成立故 xnxn,即 xn 是递增数列由知,使得数列 xn 单调递增的c 的范畴是- 7 - 名校名师举荐 18已知 Sn 11 21 3 1 n n1,nN * ,求证： S2n1n 2

11、n2, nN * 19 已知数列 an ：a11,a22,a3r , an3 an 2 nN * ,与数列 bn ：b11,b2 0,b3 1,b4 0,bn4bn nN * 记 Tn b1a1b2a2b3a3 bnan. 1 如 a1a2a3 a12 64,求 r 的值；2 求证： T12n 4nnN * 【解析】 1 解 a1a2a3 a1212 r34 r 2 56 r 4 78r 6 484r . 48 4r 64, r 4. 2 证明用数学归纳法证明：当nN *时, T12n 4n. 当 n1 时, T12 a1 a3 a5 a7 a9a11 4,故等式成立假设 nk 时等式成立,即

12、 T12k 4k,那么当 nk 1 时,T12 k 1 T12k a12k 1a12k3a12k 5a12k7a12k 9a12k 11 4k8 k 1 8 kr 8 k48 k5 8 kr 4 8 k8 4k 4 4 k1 ,等式也成立依据和可以肯定：当 nN *时, T12n 4n. 20已知数列 an 满意 a12,an12an a n 1 an nN * 1 如 1,证明数列 lg an1 为等比数列,并求数列 an 的通项公式；2 如 0,是否存在实数 ,使得 an2 对一切 nN *恒成立？如存在,求出的取值范围,如不存在,说明理由- 8 - 名校名师举荐 2 方法一：由a22a1 1 a1