2022年人教A版数学必修四312《两角和与差的正弦余弦正切公式》Word教案1

1、名师精编 优秀教案3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1 教案一、教学分析1. 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式是在争论了两角差的余弦公式的基础上,进一步争论具有“ 两角和差” 关系的正弦、余弦、正切公式的. 在这些公式的推导中,教科书都把对比、比较有关的三角函数式,认清其区分,查找其联系和联系的途径作为思维的起点,如比较cos - 与 cos + , 它们都是角的余弦只是角形式不同,但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系,即 + = - 的关系,从而由公式C - 推得公式C + ,又如比较 sin - 与 cos - ,它们包含的角相同但函数名称不同,这就要求进行函数名的

2、互化,利用诱导公式（5）（ 6）即可推得公式S - 、S + 等. 2. 通过对“ 两角和与差的正弦、余弦、正切公式” 的推导,揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律,仍使同学加深了数学公式的推导、证明方法的懂得 . 因此本节内容也是培育同学运算才能和规律思维才能的重要内容,对培育同学的探究精神和创新能力,发觉问题和解决问题的才能都有着非常重要的意义 . 3. 本节的几个公式是相互联系的,其推导过程也充分说明白它们之间的内在联系,让同学深刻领悟它们的这种联系,从而加深对公式的懂得和记忆. 本节几个例子主要目的是为了训练同学思维的有序性,逐步培育他们良好的思维习惯,教学中应当有意

3、识地对同学的思维习惯进行引导, 例如在面对问题时,要留意先仔细分析条件,明确要求,再摸索应当联系什么公式,使用公式时要具备什么条件等. 另外,仍要重视思维过程的表述,不能只看最终结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等,这些都是培育同学三角恒等变换才能所不能忽视的 . 二、三维目标 1学问与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上,通过让同学探究、 发觉并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式 , 明白它们之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对公式的懂得,培育学 生的运算才能及规律推理才能,从而提高解决问题的才能 . 2过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用,会进行简洁的求值、化简

4、、恒等证明,使同学深刻体会联系变化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高同学分析问题解决问题的才能. 3情感态度与价值观：通过本节学习, 使同学把握查找数学规律的方法,提高同学的观看分析才能,培育同学的应用意识,提高同学的数学素养. 三、重点难点教学重点： 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导. . 教学难点： 敏捷运用所学公式进行求值、化简、证明四、课时支配 2 课时 五、教学设想 第 1 课时（一）导入新课 思路 1. 旧知导入 老师先让同学回忆上节课所推导的两角差的余弦公式,并把公式默 写在黑板上或打出幻灯片 , 留意有意识地让同学写整齐 . 然后老师引导同学观看 cos

5、- 与 cos + 、sin - 的内在联系,进行由旧知推出新知的转化过程,从而推导出 C + 、 S - 、S + . 本节课我们共同争论公式的推导及其应用 . 名师精编 优秀教案思路 2. 问题导入 老师出示问题,先让同学运算以下几个题目,既可以复习回忆上节所学公式,又为本节新课作预备 . 如 sin = 5 , 0, ,cos = 10 , 0, ,5 2 10 2求 cos - ,cos + 的值 . 同学利用公式 C（ - ）很简洁求得 cos（ - ）,但是假如求 cos（ + ）的值就得想法转化为公式 C（ - ）的形式来求, 此时思路受阻 , 从而引出新课题,并由此绽开联想探究

6、其他公式 . （二）推动新课、新知探究、提出问题仍记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来 . 在公式 C - 中,角 是任意角,请同学摸索角 角 + 与 - 之间的联系,如何利用公式 分析观看 C + 的结构有何特点？ - 中 换成角 - 是否可以？此时观看 C - 来推导 cos + =. 在公式 C - 、C + 的基础上能否推导sin + =.sin - =. 公式 S - 、S + 的结构特点如何？对比分析公式C - 、C + 、S - 、S + ,能否推导出tan - =. tan （ + ）=？分析观看公式 T - 、T + 的结构特点如何？摸索如何敏捷运用公式解题？活

7、动：对问题, 同学默写完后, 老师打出课件, 然后引导同学观看两角差的余弦公式,点拨同学摸索公式中的 , 既然可以是任意角,是怎样任意的？你会有些什么样的神奇想法呢？勉励同学大胆猜想,引导同学比较cos - 与 cos + 中角的内在联系,同学有的会发觉 - 中的角 可以变为角 - ,所以 - = + 也有的会依据加减运算关 系直接把和角 + 化成差角 - 的形式 . 这时老师适时引导同学转移到公式 C - 上 来, 这样就很自然地得到 cos + =cos - =cos cos- +sin sin- =cos cos -sin sin . 所以有如下公式：cos + =cos cos -si

8、n sin 我们称以上等式为两角和的余弦公式,记作 C + . 对问题,老师引导同学细心观看公式C + 的结构特点 , 可知“ 两角和的余弦,等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”,同时让同学对比公式C - 进行记忆,并填空：cos75=cos_=_=_. 对问题, 上面同学推得了两角和与差的余弦公式,老师引导同学观看摸索,怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？同学可能有的想到利用诱导公式来化余弦为正弦 也有的想到利用同角的平方和关系式 sin 2 +cos 2 =1来互化,此法让同学课下进行 , 因此有sin + =cos - + =cos- - 2 2

9、=cos- cos +sin- sin 2 2=sin cos +cos sin . 名师精编 优秀教案在上述公式中 , 用- 代之,就 sin - =sin +- =sin cos- +cos sin- =sin cos -cos sin . 因此我们得到两角和与差的正弦公式,分别简记为 S + 、S - . sin + =sin cos +cos sin , sin - =sin cos-cos sin . 对问题,老师恰时恰点地引导同学观看公式的结构特点并结合推导过程进行记忆,同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点,为 强 化 记 忆 , 教 师 可 让 学 生 填 空 ,体验三

10、角公式的这种简洁美、对称美 .如sin+ =_,sin2cos5cos2sin5=_. 7777对问题,老师引导同学摸索,在我们推出了公式C - 、C + 、S + 、S - 后, 自然想到两角和与差的正切公式,怎么样来推导出tan - =.,tan + =. 呢？同学很容易想到利用同角三角函数关系式,化弦为切得到 时老师不要直接提示,让同学自己悟出来 . . 在同学探究推导时很可能想不到争论,这当 cos + 0 时, tan + = sin a sin cos cos sin .cos a cos cos sin sin假如 cos cos 0, 即 cos 0 且 cos 0 时, 分子

11、、分母同除以 cos cos 得tan tantan + =,据角 、 的任意性,在上面的式子中, 用- 代之,1 tan tan 就有tan - =tantantantan.,.1tantan1tantan由此推得两角和、差的正切公式,简记为T - 、T + . tan + =tantan1tantantan - = tantan1tantan对问题 , 让同学自己联想摸索,两角和与差的正切公式中 、 、 的取值是任意的吗？同学回忆自己的公式探究过程可知, 、 、 都不能等于2+k k Z ,并引导同学分析公式结构特点,加深公式记忆. C + 、S 对问题,老师与同学一起归类总结,我们把前面

12、六个公式分类比较可得+ 、T + 叫和角公式； S - 、C - 、T - 叫差角公式 . 并由同学归纳总结以上六个公式的推导过程, 从而得出以下规律联系图. 可让同学自己画出这六个框图. 通过规律联系图, 深刻懂得它们之间的内在联系,借以懂得并敏捷运用这些公式 要把握这些公式的正用,仍要留意它们的逆用及变形用. 同时老师应提示同学留意：不仅 . 如两角和与差的正切公式的变形式名师精编 优秀教案 tan +tan =tan + 1-tan tan ,tan -tan =tan - 1+tan tan ,在化简求值中就常常应用到,使解题过程大大简化,也表达了数学的简洁美 . 对于两角和与差的正切

13、公式,当 tan ,tan 或 tan （ ）的值不存在时,不能使用 T（ ）处理某些有关问题,但可改用诱导公式或其他方法,例如：化简 tan- ,由于 tan 的值不2 2存在,所以改用诱导公式 tan- = sin2 cos 来处理等 . 2 cos sin2（三）应用示例思路 1 3例 1 已知 sin = , 是第四象限角,求 sin- ,cos + ,tan- 的值 . 5 4 4 4活动： 老师引导同学分析题目中角的关系,在面对问题时要留意仔细分析条件,明确要求. 再摸索应当联系什么公式,使用公式时要有什么预备,预备工作怎么进行等 . 例如此题中,要先求出 cos ,tan 的值,

14、才能利用公式得解,此题是直接应用公式解题,目的是为了让同学初步熟识公式的应用,老师可以完全让同学自己独立完成. 1,3 52,4. 解： 由 sin =3, 是第四象限角,得cos =1sin2 a55tan =sina=3. cosa4372于是有 sin4- =sin4cos -cos4sin =242252510cos4+ =cos4cos -sin4sin =242372252510tan -4=tanatan4=tana1=1317. 43 41tan1tanaatan4点评：本例是运用和差角公式的基础题,序性,逐步培育他们良好的思维习惯 . 变式训练 1. 不查表求 cos75 ,

15、tan105 的值 .支配这个例题的目的是为了训练同学思维的有解： cos75 =cos45 +30 =cos45 cos30 -sin45 sin30 =2321642, 2222tan105 =tan60 +45 = 名师精编优秀教案=-2+3 . tan60tan45311tan 60tan45132. 设 0,2, 如 sin =3 , 就 2sin + 54 等于 A.7 B. 51 C. 57 D.4 2答案： A 例 2 已知 sin = 2 , , ,cos = 3, , 3. 求 sin - ,cos +3 2 4 2 ,tan + . 活动： 老师可先让同学自己探究解决,对

16、探究困难的同学老师给以适当的点拨,指导学生仔细分析题目中已知条件和所求值的内在联系. 依据公式 S - 、C + 、T + 应先求出 cos 、 sin 、 tan 、tan 的值,然后利用公式求值,但要留意解题中三角函数值的符号7. 解： 由 sin =2 , 32, , 得cos =1sin2a=-122=5, tan =255. 33又由 cos =1 , , 33. 2sin =1cos2=1327, 44tan =7 . sin - =sin cos -cos sin 3=2 33-5761235. 4. 34cos + =cos cos -sin sin =5 3-2 37 344

17、=351227.257tan + =tanta325271tantan21535173点评：此题仍是直接利用公式运算求值的基础题,用,训练同学的运算才能 . 其目的仍是让同学娴熟把握公式的应名师精编 优秀教案变式训练引导同学看章头图,利用本节所学公式解答课本章头题,加强同学的应用意识 . 解： 设电视发射塔高 CD=x米, CAB= ,就 sin = 30 ,67x 30在 Rt ABD中, tan45 + = tan . 30于是 x= 30 tan 45 30 , tan又 sin = 30 , 0, , cos 60 ,tan 1 . 67 2 67 2tan4

18、5 + = 1 tan 1 12 =3, 1 tan 1 12x= 30 3-30=150 米. 12答：这座电视发射塔的高度约为 150 米. 例 3 在 ABC中, sinA= 3 0 A45 ,cosB= 5 45 B90 ,求 sinC 与 cosC 的值 . 5 13活动： 此题是解三角形问题,在必修 5 中仍作特地的探究,这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题,难度不大,但应是同学必需娴熟把握的 . 同时也能加强学生的应用意识,提高同学分析问题和解决问题的才能. 老师可让同学自己阅读、探究、争论解决,对有困难的同学老师引导同学分析题意和找清三角形各角之间的内在联系,从

19、而找出解决问题的路子 . 老师要提示同学留意角的范畴这一暗含条件 . 解: 在 ABC中 ,A+B+C=180 , C=180 -A+B. 又 sinA= 又 cosB=3 且 0 A45 , cosA= 54 . 55 且 45 B90 , sinB= 1312 . 13sinC=sin 180 -A+B =sinA+B=sinAcosB+cosAsinB =3 55 + 134 512 = 1363 , 65cosC=cos180 -A+B =-cosA+B=sinAsinB-cosAcosB =3 512 -134 55 = 1316 . 65来解决三角形问题的典型例子,培育了同学的应用

20、意点评： 此题是利用两角和差公式,识,也使同学更加熟识了公式的作用, 解决三角形问题时, 要留意三角形内角和等于180 这一暗含条件 . 变式训练在 ABC中,已知 sinA-BcosB+cosA-BsinB1, 就 ABC是 A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等腰非直角三角形名师精编 优秀教案答案： C 思路 2例 1 如 sin 3+ = 5 ,cos- = 3 , 且 0 3, 求 cos + 的值 . 4 13 4 5 4 4活动： 此题是一个典型的变角问题,也是一道经典例题,对训练同学的运算才能以及逻辑思维才能很有价值 . 尽管同学摸索时有点难度,但老师仍可放手让同学

21、探究争论,老师不可直接给出解答 . 对于探究不出的同学,老师可恰当点拨引导,指导同学解决问题的关键是查找所求角与已知角的内在联系,引导同学理清所求的角与已知角的关系,观看挑选应当选用哪个公式进行求解,同时也要特殊提示同学留意：在求有关角的三角函数值时,要特殊注意确定准角的范畴,精确判定好三角函数符号,这是解决这类问题的关键 . 同学完全理清思路后,老师应指导同学的规范书写,并娴熟把握它 . 对于程度比较好的同学可让其扩展此题,或变化条件, 或变换所求的结论等 . 如老师可变换 , 角的范畴, 进行一题多变训练,提高同学敏捷应用公式的才能,因此老师要充分利用好这个例题的训练价值 . 3 3 3解

22、： 0 , + ,- 0, 4 4 4 4 2 4又已知 sin 3+ = 5 ,cos- = 3 , 4 13 4 53 12 4cos + = ,sin- = . 4 13 4 5cos + =sin + + =sin 3 + - 2 4 43 3=sin + cos- -cos + sin- 4 4 4 4= 5 3 - 12 4= 33. 13 5 13 5 65此题是典型的变角问题 , 即把所求角利用已知角来表示 , 实际上就是化归思想 . 这需要巧妙地引导 , 充分让同学自己动手进行角的变换 , 培育同学敏捷运用公式的才能 . 变式训练已知 , 3, ,sin + =3,sin -

23、4=12 , 求 cos + 134 的值 . 45解： , 3, ,sin + =3,sin -4=12 , 13453 + 2 ,2 -43. 24cos + =4 ,cos -54=5. 13cos +4=cos + - -4 =cos + cos -4+sin + sin -4 =4 55+3 12 = 1356. 13565例 2 化简sinasinsin名师精编a优秀教案sin.sinasinsinsinsina活动： 此题是直接利用公式把两角的和、差化为两单角的三角函数的形式,老师可以先让同学自己独立地探究,然后进行讲评. coscossinsincosacossina解： 原式 =sinacosacosasinsinsinsinsinsinsinsina=sinacossincossinsinsinasincossinsinacossinsi