高中数学必修5配北师版-课后习题Word版-第三章　不等式模块综合测评

1、模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设an为等差数列,a1=22,Sn为其前n项和,若S10=S13,则公差d等于() A.-2B.-1C.1D.2解析因为S10=S13,所以S13-S10=0,所以a11+a12+a13=0,所以3a12=0,则a12=0,等差数列的公差d=a12-a112-1=0-2211=-2.答案A2.在ABC中,若B=135,C=15,a=5,则此三角形的最大边长为()A.52B.53C.25D.35解析依题意,知三角形的最大边为b.由于A=30,根据正弦定理,得bsinB=asinA,所以b=asi

2、nBsinA=5sin135sin30=52.答案A3.在ABC中,若AB=5,AC=5,且cos C=910,则BC为()A.4B.5C.4或5D.3解析设BC=x,由余弦定理得,5=x2+25-25x910,即x2-9x+20=0,解得x=4或x=5.答案C4.已知数列an满足an+1-an=2n(nN+),a1=3,则ann的最小值为()A.0B.23-1C.52D.3解析an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=2(n-1)+2(n-2)+21+3=n2-n+3,所以ann=n-1+3n52,当且仅当n=2时取等号.故选C.答案C5.若在ABC中,sin

3、Bsin C=cos2A2,则ABC的形状为()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形解析由sin Bsin C=cos2A2可得2sin Bsin C=2cos2A2=1+cos A,即2sin Bsin C=1-cos(B+C)=1-cos Bcos C+sin Bsin C,所以sin Bsin C+cos Bcos C=1,即cos(B-C)=1,又-B-C0,由等比中项的性质可得a52=a3a7=4,所以a5=2,因此,(-2)a5=(-2)2=4.答案C8.设变量x,y满足约束条件2x+y0,x+2y-20,x0,y3,则目标函数z=x+y的最大值为()A.2

4、3B.1C.32D.3解析由约束条件可得可行域如图阴影部分所示.目标函数z=x+y可化为y=-x+z.作直线l0:y=-x,平行移动直线y=-x,当直线过点A(0,3)时,z取得最大值,最大值为3.故选D.答案D9.若不等式2x2+2mx+m4x2+6x+30,所以原不等式2x2+2mx+m0,xR恒成立=(6-2m)2-8(3-m)0,解得1m0,y+10,(x+2)+(y+1)=4,则4x+2+1y+1=14(x+2)+(y+1)4x+2+1y+1=145+4(y+1)x+2+x+2y+1145+24(y+1)x+2x+2y+1=94,当且仅当x=23,y=13时,4x+2+1y+1取最小

5、值94.故选C.答案C11.已知a0,x,y满足约束条件x1,x+y3,ya(x-3).若z=2x+y的最小值为1,则a=()A.14B.12C.1D.2解析由题意作出x1,x+y3所表示的区域如图阴影部分所示,作直线2x+y=1,因为直线2x+y=1与直线x=1的交点坐标为(1,-1),结合题意知直线y=a(x-3)过点(1,-1),代入得a=12,所以a=12.答案B12.已知数列an中,a1=1,a2k=a2k-1+(-1)k,a2k+1=a2k+2k(kN+),则an的前60项的和S60=()A.231-154B.231-124C.232-94D.232-124解析由题意,得a2=a1

6、-1=0,a4=a3+1,a6=a5-1,a60=a59+1,所以S奇=S偶.又a2k-1=a2k-2+2k-1(k2),代入a2k=a2k-1+(-1)k,得a2k=a2k-2+2k-1+(-1)k(k2),所以a2=0,a4=a2+21+(-1)2,a6=a4+22+(-1)3,a8=a6+23+(-1)4,a2k=a2k-2+2k-1+(-1)k,所以a2k=2+22+2k-1+(-1)2+(-1)3+(-1)k=2k-2+1-(-1)k-12=2k-3+(-1)k-12,所以S偶=(2+22+23+229+230)-3230=2(1-230)1-2-45=231-47,所以S60=2(

7、231-47)=232-94.故选C.答案C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数f(x)=x-1x,x2,x,x2,若使不等式f(x)83成立,则x的取值范围为.解析当x2时,由x-1x83化简得,3x2-8x-30,解得-13x3,所以2x3.当x2时,x83,所以x2,所以x0,且a1)的图像恒过定点A(m,n),则不等式组mx+ny+20,8x-y-40,x0,y0所表示的平面区域的面积是.解析函数f(x)=ax-2-2(a0,且a1)的图像恒过定点A(2,-1),即m=2,n=-1,则原不等式组可表示为2x-y+20,8x-y-40,x0,y0,作出可行域如

8、图中阴影部分所示.由图可以看出四边形DBOC落在以1为宽,4为长的矩形内,则四边形DBOC的面积为4-1224122=2.答案216.设an是公差不为零的等差数列,Sn为其前n项和.已知S1,S2,S4成等比数列,且a3=5,则数列an的通项公式为.解析设等差数列an的公差为d(d0),则S1=5-2d,S2=10-3d,S4=20-2d,因为S22=S1S4,所以(10-3d)2=(5-2d)(20-2d),整理得5d2-10d=0,因为d0,所以d=2,an=a3+(n-3)d=5+2(n-3)=2n-1.答案an=2n-1三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)在

9、ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知2cos A-3=4cos 2A,且A为锐角.(1)求A;(2)若6sin A=a(sin B+sin C),且ABC的面积为3,求ABC的周长.解 (1)因为2cos A-3=4cos 2A,所以8cos2A-2cos A-1=0,解得cos A=12或cos A=-14(舍去),所以A=3.(2)因为ABC的面积为3,所以12bcsin A=3,得bc=4.由已知6sin A=a(sin B+sin C),根据正弦定理可得6a=a(b+c),所以b+c=6.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc=24,得a=

10、26,所以ABC的周长为a+b+c=26+6.18.(本小题满分12分)已知关于x的不等式x+2m1+x-5m2.(1)当m0时,解不等式;(2)若此不等式的解集为x|x5,试求实数m的值.解(1)原不等式可化为m(x+2)m2+x-5,(m-1)xm2-2m-5,若0m1,不等式的解集为xx1,则不等式的解集为xxm2-2m-5m-1.(2)由题意和(1)知,m1,且满足xxm2-2m-5m-1=x|x5,于是m2-2m-5m-1=5,解得m=7.19.(本小题满分12分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若ABC的面

11、积S=a24,求A的大小.(1)证明由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B.于是sin B=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-BAD)的周长为24,把它沿着AC折起来,AB折过去后,交DC于P,设AB=x.(1)如何用x来表示DP?(2)如何用x来表示ADP的面积?(3)能否根据ADP的面积表达式的特征来求此面积的最大值?解(1)因为AB=x,所以AD=12-x.又DP=PB,在ADP中,AP=AB-PB=AB-DP=x-DP,由勾股定理得(12-x)2

12、+DP2=(x-DP)2,解得DP=12-72x.(2)ADP的面积S=12ADDP=12(12-x)12-72x=108-6x+432x.(3)能.因为x0,12-x0,x12-x,即6x12,所以6x+432x26x432x=722,所以S=108-6x+432x108-722.当且仅当6x=432x,即x=62时,等号成立.所以S有最大值,为108-722.22.(本小题满分12分)某市2021年发放汽车牌照12万张,其中燃油型汽车牌照10万张,电动型汽车牌照2万张,为了节能减排和控制牌照总量,从2021年开始,每年电动型汽车牌照按50%增长,而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张

13、,同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张,以后每一年发放的电动型汽车牌照的数量维持在这一年的水平不变,记2021年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列an,每年发放的电动型汽车牌照数构成数列bn.(1)完成下列表格,并写出这两个数列的通项公式;a1=10a2=9.5a3=a4=b1=2b2=3b3=b4=(2)累计发放的牌照数,哪一年开始不低于200万张(注:31317.7)?解(1)如表所示,a1=10a2=9.5a3=9a4=8.5b1=2b2=3b3=4.5b4=6.75当1n21且nN+时,an=10+(n-1)-12=-n2+212,当n22且nN+时,an=0,所以an=-n2+212,1n21且nN+,0,n22且nN+.又a3+b3=13.515,所以bn=2(32)n-1,1n4且nN+,274,n5且nN+.(2)当n=4时,Sn=(a1+a2+a3+a4)+(b1+b2+b3+b4)=53.25,当5n21时,Sn=10n+n(n-1)2-1