万变不离其宗2017高中数学课本典例改编之必修四五专题一三角函数Word版含解析

1、专题一三角函数一、题之源：课本基础知识1角的有关概念从运动的角度看,角可分为正角、负角和零角从终边位置来看,角可分为象限角与轴线角若与是终边相同的角,则用表示为2k,kZ2弧度制定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是零(2)角度制和弧度制的互化：rad,1rad180180rad,1180112(3)扇形的弧长公式：l|r,扇形的面积公式：S2lr2|r3任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么定义y叫做的正切,记作tany叫做的正弦,记作sinx叫做的余弦,记作cosx三

2、角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线4同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21sin(2)商数关系：tancos5六组诱导公式组数一二三四五六角2k(kZ)22正弦sinsin_sinsincos_cos余弦coscoscos_cossinsin_正切tantantantan_函数名不变口诀符号看象限函数名改变符号看象限6.正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数ysinxycosxytanx图象x|xR且xk定义域RR2,kZ值域1,1周期性2奇偶性奇函数2k2,2k单调性2(kZ)为增；2k32,2k2(kZ)为减对称中心(k,0)(kZ)对称轴

3、xk(kZ)27yAsin(x)的有关概念1,12偶函数2k,2k(kZ)为减；2k,2k(kZ)为增(k2,0)(kZ)xk(kZ)R奇函数k2，k2(kZ)为增k(2,0)(kZ)无yAsin(x振幅周期频率相位初相)(A0,0),x0,21)表示一个振动量时ATfT2x8.用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示：32x22x03222yAsin(x)0A0A0二、题之本：思想方法技巧1要注意锐角与第一象限角的区别,锐角的集合仅是第一象限角的集合的一个真子集,即锐角是第一象限角,但第一象限角不一定是锐角2在同一个式

4、子中,采用的度量制必须一致,不可混用如2k30(kZ),k3602(kZ)的写法都是不正确的3一般情况下,在弧度制下计算扇形的弧长和面积比在角度制下计算更方便、简捷,若含有参数,则要注意对4已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求三角函数值可能情况进行分类讨论5牢记各象限三角函数值的符号,在计算或化简三角函数关系时,要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行讨论62k表示与终边相同的角,其大小为与的偶数倍(而不是整数倍)的和,是的整数倍时,要分类讨论如：(1)sin(2k)sin；sin（k为偶数），(2)sin(k)(1)ksin.sin（k为奇数）在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三

5、角函数线是一个小技巧7诱导公式用角度制和弧度制表示都可,运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选8取已知一个角的某一个三角函数值,求这个角的其他三角函数值,这类问题用同角三角函数的9基本关系式求解,一般分为三种情况：(1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的,此类情况只有一组解(2)一个角的某一个三角函数值是已知的,但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出,解答这类问题,首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置,然后分不同的情况求解(3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的,此类情况须对字母进行讨论,并注意适当选取分类标准,一般有两

6、组解10计算、化简三角函数式常用技巧减少不同名的三角函数,或化切为弦,或化弦为切,如涉及sin,cos的齐次分式问题,常采用分子分母同除以cosn(nN*),这样可以将被求式化为关于tan的式子巧用“1进”行变形,如1sin2cos2tan45等平方关系式需开方时,应慎重考虑符号的选取(4)理解sincos,sincos的内在联系,利用(sincos)212sincos,可知一求二常见结论：(sincos)21sin2;sin4cos4cos2；sin4cos412sin2cos2；sin2cos41sin2cos2；tan12；tansin2tan12tan.tan211三角函数的定义域、值

7、域三角函数的定义域的求法三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提,求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)一般可用三角函数的图象或三角函数线来确定三角不等式的解列三角不等式时,要考虑全面,避免遗漏,既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根的被开方数不小于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1,又要考虑三角函数本身的定义域(如正切函数等)(2)三角函数值域的求法三角函数的值域问题,大多是含有三角函数的复合函数值域问题,常用的方法为：化为代数函数的值域,也可以通过三角恒等变形化为求yAsin(x)B的值域；或化为关于sinx(或cosx)的二次函数式,再利用换元、配方等方法转化为二次

8、函数在限定区间上的值域12判断三角函数的奇偶性判断函数的奇偶性,应先判定函数定义域的对称性,注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中,对每个函数而言,“同奇才奇、一偶则偶”一般情况下,需先对函数式进行化简,再判断其奇偶性13求三角函数的周期求三角函数的周期,通常应将函数式化为只有一个函数名,且角度唯一,最高次数为一次的形式,然后借助于常见三角函数的周期来求(2)三角函数的最小正周期的求法有：由定义出发去探求；公式法：化成yAsin(x),或yAtan(x)等类型后,用基本结论T2|或T来确定；根据图象来判断|ysin4xcos4x,ysin2xcos4x的最小正周期都是。21

9、4三角函数的单调性(1)三角函数单调区间的确定,一般先将函数式化为基本三角函数标准式,然后通过同解变形或利用数形结合方法求解关于复合函数的单调性的求法,参见“2.2函数的单调性与最大(小)值”(2)利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内,不属于的,可先化至同一单调区间内若不是同名三角函数,则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与0比较,与1比较等)求解15五点法作函数图象及函数图象变换问题(1)当明确了函数图象基本特征后,“描点法”是作函数图象的快捷方式“五点法”作图的优点是用简单的计算、列表、描点替代图形变换,不易出错,且图形简洁(

10、2)在进行三角函数图象变换时,提倡“先平移,后伸缩”,而“先伸缩,后平移”也经常出现在题目中,所以也必须熟练掌握,但要注意：先伸缩后平移时要把x前面的系数提取出来16根据yAsin(x),xR的图象求解析式的步骤：首先确定振幅和周期,从而得到A与.1)A为离开平衡位置的最大距离,即最大值与最小值的差的一半2)由周期得到：函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；函数图象与x轴的交点是其对称中心,相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的1个周期4(借助图象很好理解记忆)求的值时最好选用最值点求峰点：x

11、2k；谷点：x2k.22也可用零点求,但要区分该零点是升零点,还是降零点升零点(图象上升时与x轴的交点)：x2k；降零点(图象下降时与x轴的交点)：x2k(以上kZ)17.f(x)=Asin（x）（A0，0）的图象关于直线x=t对称f(t)=A；f(x)=Asin（x）0，的图象关于点（t,0）对称f(t)=0；（A0）18三角函数模型的三种模式在现实生活中,许多变化的现象都具有周期性,因此,可以用三角函数模型来描述如：气象方面有温度的变化,天文学方面有白昼时间的变化,物理学方面有各种各样的振动波,生理方面有人的情绪、智力、体力变化等研究这些应用问题,主要有以下三种模式：给定呈周期变化规律的三

12、角函数模型,根据所给模型,结合三角函数的性质,解决一些实际问题；给定呈周期变化的图象,利用待定系数法求出函数,再解决其他问题；搜集一个实际问题的调查数据,根据数据作出散点图,通过拟合函数图象,求出可以近似表示变化规律的函数式,进一步用函数性质来解决相应的实际问题19三角函数应用问题解题流程三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题,利用三角函数的周期性、有界性等,可以解决很多问题,其解题流程大致是：审读题目,理解题意设角,建立三角函数模型分析三角函数的性质解决实际问题其中根据实际问题的背景材料,建立三角函数关系,是解决问题的关键在解决实际问题时,要具体问题具体分析,充分

13、运用数形结合的思想,灵活运用三角函数的图象和性质三、题之变：课本典例改编1.原题（必修4第十页A组第五题）改编1下列说法中正确的是()A第一象限角一定不是负角B831是第四象限角C钝角一定是第二象限角D终边与始边均相同的角一定相等【答案】C.【解析】33036030,所以330是第一象限角,所以A错误；831(3)360249,所以831是第三象限角,所以B错误；0角,360角终边与始边均相同,但它们不相等,所以D错误改编2已知为第二象限角,那么是（）3A.第一或第二象限角B.第一或四象限角C.第二或四象限角D.第一、二或第四象限角【答案】D.【解析】k36090k360180,kz,k120

14、30k12060,kz3（1）当k3nnz时,n36030n360180,nz,此时为第一象限角；33（2）当k3n1nz时,n360150n360180,为第二象限3nz此时3角；（3）当k3n2nz时,360270n360300,为第四象限角.选n此时33D.改编3设角属于第二象限,且coscos,则角属于（）222A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】C.2.原题（必修4第十页B组第二题）改编时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为()A.1414773B3C.18D18【答案】B.【解析】显然分针在1点到3点20分这段时间里,顺时针转过了两周又一周的13,用弧度制

15、表114.故选B.示就是42333.原题（必修4第十九页例6）改编（1）已知sin1,且为第二象限角,求tan；（2）3已知sin=m(m0,m1),求tan.4.原题（必修4第十九页例7）改编若asincos1,bsincos1,则ab的值是（）A.0B.1C.-1D.2【答案】B.【解析】由已知有：asin1cos,bsin1cos；两式相乘得：absin21cos1cos1co2s2sinab1sin20又sin0ab15.原题（必修4第二十二页习题1.2B组第二题）改编1sin2x1sin2x为化简sin2x1sin2x1（）A.2tanxC.2tanxB.2tanxD.不能确定【答案

16、】C.2tan2xxk4,k4【解析】C.原式=32tan2xxk,k446.原题（必修4第二十二页B组第三题）改编已知tan2sincos；2,计算：（1）2cossin（2）sin2sincos2cos2【解析】（1）原式2tan13；（2）原式sin2sincos2cos2tan24sin2cos2tan2tan24tan2157.原题（必修4第二十三页探究）改编1化简12sin(2)cos(2)得()A.sin2cos2B.cos2sin2C.sin2cos2cos2sin2D.【答案】C.改编2设函数f(x)asin(x)bcos(x)4(其中a、b、为非零实数),若f(2001)5

17、,则f(2010)的值是()A.5B.3C.8D.不能确定【答案】B.【解析】f(2001)asin(2001)bcos(2001)4asin()bcos()asinbcos45,asinbcos1,f(2010)asin(2010)bcos(2010)4asinbcos41438.原题（必修4第二十七页例4）改编已知角x终边上的一点P（-4,3）,则cosxsinx2的值为.9cosxsinx22cosxsinxsinxsinx【解析】2,可知9sinxtanx,根据三角函数的定义cosxsincosxx22tanxy3,所以原式=-tanx3x449.原题（必修4第四十一页练习题6）改编函

18、数ylog1cosx的单调递增区间324为.【答案】36k,36kkz4410.原题（必修4第五十三页例1）改编设0,函数ysinx的图象向右平移43个单位3后与原图象重合,则的最小值是()243A.3B.3C.2D3【答案】C.4【解析】函数ysinx3的图象向右平移3个单位所得的函数解析式为ysinx44,又因为函数ysinx的图象向右平移43sinx33个单位后333与原图象重合,43332k?2k(kZ),0,的最小值为2,故选C.原题（必修4第五十六页练习题3）改编ysinx2的振幅为_,频率和初11.4相分别为_,_.【解析】21412.原题（必修4第五十八页例4）改编某正弦交流电的电压（单位V）随时间t（单位：s）变化的函数关系是v1202sin(100t),t0,).6（1）求该正弦交流电电压的周期、频率、振幅；（2）当t