九年级数学上册专题突破讲练切线长定理和三角形的内心试题新版青岛版

1、切线长定理与三角形的内心1.切线长的概念经过圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。说明：“切线”和“切线长”是两个不同的概念，“切线”是直线，不可度量，是无限长的；而“切线长”是切线上一条线段的长，即圆外一点与切点之间的距离，可以度量，是有一定长度的。2.切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。符号语言：PA、PB分别切O于A、B，PAPB，12。（说明：1）从圆外任意一点都可以引圆的两条切线，过圆上一点只能引圆的一条切线。（2）“切线长定理”为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。3.三角形

2、的内心与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形的三个内角角平分线的交点。说明：三角形的内心一定在三角形的内部；三角形的内心，是三角形的三个内角角平分线的交点；三角形的内心到三边的距离相等且都等于三角形内切圆的半径。4.切线长定理的基本图形研究如图，P是O外一点，PA、PB是O的两条切线，直线OP交O于D、E，交弦AB于C，则：由切线长定理得：PAPB由等腰三角形三线合一性质得：PCAB，ACBC由垂径定理得：AD=BD；ADBD由切线性质定理得：OAAP，OBBP1234，5678由AD、BD分别平分PAB和PBA得点D为ABP的内心。例题如图，R

3、teqoac(,)ABC的内切圆O与两直角边AB、BC分别相切于点D、E，过劣弧DE（不包括端点D、E）上任一点作O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N，若O的半径为r，则RtMBN的周长为（）MPOA.rB.3r2C.2rADD.5r2BNEC解析：在切线性质定理中，常见的辅助线是连接经过切点的半径，结合切线长定理可知MDMP，NPNE，再根据三角形周长的定义及等量代换即可求解。解：连接OD、OE，O是RtABC的内切圆，ODAB，OEBC。又MD,MP都是O的切线，且D、P是切点，MDMP，同理可得NPNE。CRtMBNMBBNNMMBBNNPPMMBMDBNNEBDBE2r。选C。答案

4、：C点拨：涉及到圆的切线性质定理或判定定理时，最常见的辅助线添法是连接经过切点的半径，而且半径与切线垂直。对直角三角形来说，内切圆的半径rabc2（a、b是直角边，c是斜边）。利用切线长定理进行推理证明“切线长定理”为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用它进行相关的计算和证明。满分训练已知O中，AC为直径，MA、MB分别切O于点A、B。（）如图，若BAC25，求AMB的大小；（）如图，过点B作BDAC于点E，交O于点D，若BDMA，求AMB的大小。图图（解析：1）由切线与经过切点的半径垂直，BAC25，易算MAB，再由切线长定理，可得MAMB，则MBAMA

5、B得解。（2）连接BA、BD，可得平行四边形BMAD是菱形，由ABAD，可得BAADBD，可得BAD为等边三角形，从而可得AMB60。答案：解：（）MA切O于点A，有MAC90。又BAC25，MABMACBAC65。MA、MB分别切O于点、B。MAMB，有MABMBA，AMB180(MABMBA)50。（）如图，连接AD、AB。MAAC，又BDAC，BDMA。又BDMA。四边形MADB是平行四边形。MAMB，四边形MADB是菱形，有ADBD。又AC为直径，BDAC，得ABAD，有ABAD。ABD是等边三角形，有D60。在菱形MADB中，AMBD60。点拨：利用切线长定理时，恰当的添加辅助线，构

6、造特殊的图形，有利于问题的快速解决。（答题时间：30分钟）1.一个钢管放在V形架内（如图），O为钢管的圆心。如果钢管的半径为25cm，MPN，则OP（）A.50cmB.253cmC.503cm3D.503cm2.如图，O是ABC的内心，过点O作EFAB，与AC、BC分别交于点E、F，则（）A.EFAEBFB.EFAEBFC.EFAEBFD.EFAEBF3.如图，AB为半圆O的半径，AD、BC分别切O于A、B两点，CD切O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：OD2DECD；ADBCCD；ODOC；S梯形ABCD1CDOA；DOC90。其中正确的结论有（）

7、2A.B.C.D.4.（武汉中考）如图，A与B外切于点D，PC、PD、PE分别是圆的切线，C、D、E是切点，若CEDx，ECDy，B的半径为R，则DE的长度是（）90B.90yR180D.180yR90C.180 xRA.90 xR1805.如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点，AC是O的直径，若P46，则BAC。6.如图，O的外切梯形ABCD中，若AD/BC，那么DOC的度数为。7.如图，O是四边形ABCD的内切圆，E、F、G、H是切点，点P是优弧EFH上异于E、H的点。若A50，则EPH。DHGAOPCEF8.（恩施州中考）如图所示，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60的扇形，则扇形的

8、周长为。B图69.如图，AB是O的直径，AM、BN分别与O相切于点A、B，CD交AM、BN于点D、C，DO平分ADC。（1）求证：CD是O的切线；（2）若AD4，BC9，求O的半径R。10.如图，AB是O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切O于点E，交AM于点D，交BN于点C，（1）求证：ODBE；（2）如果OD6cm，OC8cm，求CD的长。11.（雅安中考）如图，AB是O的直径，BC为O的切线，D为O上的一点，CDCB，延长CD交BA的延长线于点E。（1）求证：CD为O的切线；2）若BD的弦心距OF1，ABD30，求图中阴影部分的面积。结果保留）1.A解析：由切线长定理知：OPN1MP

9、N32，所以在RtOPN中，OP2ON50cm，故选A。2.C解析：如下图，连接OA、OB，则OA、OB分别是CAB与CBA的平分线，则EAOOAB，又EFAB，则EOAOABEAO，则EAEO，同理可求出：FOFB，则EFAEFB；3.A解析：如图，连接OE，中结论可由切线性质及切线长定理可得OECD，12，34，所以2390，可证OEDCOD，得OD2DECD；根据切线长定理可得ADDE，BCCE，所以ADBCCD，中结论不正确，中高应该是AB，而不是OA。故选A。x4.B解析：由切线长定理，知：PEPDPC，设PECz，所以，PEDPDE（z），PCEPECz，PDCPCD（yz），DP

10、E（1802x2z），DPC（1802yeqoac(,2z)），在PEC中，2z（1802x2z）（1802y2z）180，化简，得：z（90 xy），在四边形PEBD中，EBD（180DPE）180（1802x2z）(1802y)R90yR（2x2z）（2x1802x2y）（1802y），所以，弧DE的长为：，故选18090B。5.23解析：由PA、PB是O是切线，PAPB，又P46，PABPBA67，又PA是O是切线，AO为半径，OAAP，OAP90，BACOAPPAB906723。6.90解析：若AD/BCADCDCB180又DA、DC与O相切，ODCOCD12（ADCDCB）90，DO

11、C90。7.65解析：连接OH、OE，因为O是四边形ABCD的内切圆，所以OHAD，OEAB，而A50，所以HOE130，所以EPH12HOE65。8.6解析：如图所示：设O与扇形相切于点A、B，则CAO90，ACB30，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60的扇形，AO1，CO2AO2，BC213，扇形的弧长为：，则扇形的周长为：336。9.解析：（1）证明：过点O作OECD于点E。AM且O于点A，OAAD。又DO平分ADC，OEOA。又OA是O的半径。CD是O的切线。（2）解：过点D作DFBC于点F。（如上图）AM、BN分别切O于点A、B，ABAD，ABBC，四边形ABFD是矩形。ADBF，

12、ABDF。又AD4，BC9。FC945。又AM、BN、DC分别切O于点A、B、E。DADE，CBCE，DCADBC4913。在RtDFC中，DC2DF2FC2。DFDC2-FC21325212。AB12。O的半径R是6。10.解析：（1）证明：连接OE，AD和DE是O的两条切线，AODEOD12AOE，弧AE所对的圆心角是AOE，弧AE所对的圆周角是ABE，ABE12AOE，AODABE，ODBE。（2）如下图，BC和CE是O的两条切线，CECB，点C是线段BE垂直平分线上的一点，又OBOE，点O是线段BE垂直平分线上的一点，线段OC是线段BE的垂直平分线，OCBE，ODBE；OCOD在RtOCD中，OD6cm，OC8cm，根据勾股定理，得