上教版高二数学教案共轭复数运算

1、共轭复数及其四则运算教学目标：1掌握共轭复数概念及其性质；2通过对共轭复数加法，乘法运算的证明进一步体会复数问题转化为实数问题的思想方法。3会运用四则运算及性质证明复数为实数。教学重点：共轭复数的四则运算及性质教学难点：合理利用共轭复数性质解决问题教学过程：一、复习引入复习共轭复数的概念：实部相等，虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数。即zabi.zabi(a,bR)二、新课讲授引例：z32i,z43i，计算zz和zz（学生计算）121212（提问学生）发现：zzzz1212（教师提出问题）对任意的两个复数，是否具有上述性质？更一般的，对任意两个复数，上述性质对减法，乘法，除法是否也成立？（引

2、出课题）共轭复数的四则运算：（3）1(z0)zz2（1）zzzz1212（2）zzzz1212zz122（先验证（1），得出加法运算法则，类比让学生写出剑法，乘法，除法运算法则，再证明乘法法则）验证（1）设zabi,zabi(a,b,a,bR)，1112221122zzabiabi(aa)(bb)i(aa)(bb)i12112212121212zzabiabiabiabi(aa)(bb)i12112211221212即zzzz1212同样可得到其他性质的证明。注：1.可把求复数的共轭复数作为一种运算，那么复数的四则运算法则实际上实现了四则运算与求共轭复数运算的交换。2共轭复数加法，乘法运算可推

3、广到n个，如：zzzzzz12n12nzzzzz12n12zn3特别：zn(z)n,nN，kzkz(kR)三、例题例1：判断正误（1）zz是实数。（性质：zz2aR）（2）如果zz是实数，那么z,z互为共轭复数；1212（3）z为实数，则zz（即实数的共轭复数是它本身）（4）z为纯虚数，则zz；（5）zz为纯虚数；解：（1）正确。设zabi,(a,bR)，则zzabiabi2aR（2）错误。因为只要z,z的虚部互为相反数即可。反例z2i,z3i1212（3）正确。设za，则za（4）正确。设zbi,(b0)，则zbizz（5）错误。设zabi,(a,bR)，zz2bi，当b0时为纯虚数，当b0

4、时，z0共轭复数的一些重要性质：（1）zzR（2）zz为纯虚数或零由例1中（3）（4）分别可得z为实数和纯虚数时z,z的关系，那么反过来z,z满足上述条件，能否得到z为实数和纯虚数。推导出两个重要性质：（3）zRzz0（4）z为纯虚数z0且zz0例2：已知复数z满足z1，求证：z1z是实数。解：1法一：求出z的虚部，利用复数是实数充要条件是虚部为零解决。z设zabi,(a,bR)，z11abi(abi)(abi)zabia2b2，z1a2b211所以z2a为实数。z法二：提示学生zzz2，让学生思考如何利用？设zabi,(a,bR)，zzz21所以z1zzzzzzzz2zz2a为实数。只要证z

5、1法三：利用复数为实数的另一个充要条件zz1zzz1111zzzzzzzzzzzz0zzzzzz1所以z是实数。z比较：法一是复数问题的常规解法，把复数问题转化成实数运算来解决。法二法三均灵活运用了zzz2这一重要性质，法三同时还运用了复数为实数的充要条件，较注重技巧，起到简化运算的效果。变化：题目改为已知虚数z满足z法一：设zabi,(a,bR)，1z是实数，求证z1，可以怎么解决？z11abiab(abi)(abi)(a)(bzabia2b2a2b2a2b2)i为实数，bb10，z为虚数，b0，10即a2b2a2b2a2b21，即z1111法二：z为实数，则zzzzz0z20z111zz11zzzz(zz)(1)(zz)(1zzzzzzz2z为虚数，zz0，即11)0课后练习：若z为虚数，且z1，求证：z1z1为纯虚数。四、小结：本节课学习