三角函数的积分

1、精品文档模块基本信息一级模块名称积分学二级模块名称计算模块三级模块名称三角函数的积分模块编号4-10先行知识凑微分法模块编号4-9知识内容教学要求掌握程度掌握求三角函数积分的三角函数积分的方法熟练掌握方法1.培养学生的知识迁移能力能力目标2.培养学生的计算能力时间分配60分编撰尧克刚校对熊文婷审核危子青修订人张云霞二审危子青一、正文编写思路及特点思路：在复习凑微分法的基础上，总结三角函数积分法，按照由易到难的顺序讲解例题、安排习题，使学生能够灵活运用三角函数积分法求函数的积分。特点：通过例题及练习，巩固学生的计算能力。二、授课部分(一)复习回顾不定积分与定积分的凑微分法(二）新课讲授1、不定积

2、分例题例1tanxdxsinxdx1dcosxln|cosx|C（一级）cosxcosx即tanxdxln|cosx|C类似地可得cotxdxln|sinx|C例2：1cosxdsinx（二级）secxdxcosxdxcos2xdx1sin2xdsinx1ln1sinxC1sin2x21sinx1(1sinx)2ClnsecxtanxCln1sin2x2方法二：secxdxsecx(tanxsecx)dxtanxsecx.精品文档d(secxtanx)secxlnsecxtanxCtanx即secxdxlnsecxtanxC类似地可得公式cscxdxlncscxcotxC这样，我们得到四个积分

3、公式：tanxdxln|cosx|Ccotxdxln|sinx|CsecxdxlnsecxtanxCcscxdxlncscxcotxC一般地，在计算一些简单的三角函数有理式（即由sinx和cosx通过有限次的四则运算得到的函数）的不定积分，如计算形如sinmxcosnxdx的积分时，可以用下列方法：当m2k1为奇数，可以分离一个sinx出来凑微分，即sinmxcosnxdxsin2kxcosnxsinxdxsin2kxcosnxdcosx(1cos2x)kcosnxdcosx当n2l1为奇数，可以分离一个cosx出来凑微分，即sinmxcosnxdxsinmxcos2lxcosxdxsinmx

4、cos2lxdsinxsinmx(1sin2x)dsinx从而将它们转化为cosx或sinx的多项式来计算.例3求sin3xdx（二级）解：sin3xdxsin2xsinxdx(1cos2x)dcosxdcosxcos2xdcosxcosx1cos3xC3例4求sin2xcos5xdx（二级）解：sin2xcos5xdxsin2xcos4xdsinxsin2x(1sin2x)2dsinx.精品文档(sin2x2sin4xsin6x)dsinx1sin3x2sin5x1sin7xC357当m,n均为偶数时，可以利用半角公式sin2x1cos2x，cos2x1cos2x降次化简后再计算.22例5求

5、cos2xdx（二级）解：cos2xdx1cos2xdx1(dxcos2xdx)221dx1cos2xd2x1x1sin2xC2424例6求cos3xcos2xdx（二级）解：cos3xcos2xdx1(cosxcos5x)dx1sinx1sin5xC2210注：这里我们用到了三角函数的积化和差公式：coscos1cos()cos()2除此之外，另两个积化和差公式也常常用到sincos1sin()sin()2sinsin1cos()cos()2、定积分例题2例7求sin3xdx（二级）0解：sin3xdxsin2xsinxdx(1cos2x)dcosx0000dcosxcos2xdcosx0cosx021cos3x02323例8求2(sinxsin3x)dx（二级）0解：2(sinxsin3x)dx2sinxcos2xdx2cos2xdcosx0001cos3x02133注：定积分的凑微分与不定积分的凑微分法大致相同，只是多.精品文档了一步代入上下限求值而已.三、能力反馈部分(1)cos