2018年高考数学专题35两条直线的位置关系热点题型和提分秘籍理

1、PAGE PAGE - 16 -专题35 两条直线的位置关系1能根据直线的方程判断两条直线的位置关系。2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离。热点题型一 两条直线的平行与垂直例1、(1)若直线l1：ax2y60与直线l2：x(a1)ya210平行，则a_。(2)若直线l3：(a2)x(2a)y1与直线l4：(a2)x(3a4)y2互相垂直，则a的值为_。 (2)当a2时，l3：xeq f(1,4)，l4：y1。所以l3l4。当aeq f(4,3)时，l3：y5xeq f(3,2)，l4：x3。所以l3不垂直于l4。当a2

2、且aeq f(4,3)时，k3eq f(a2,a2)，k4eq f(2a,3a4)。由k3k41可得eq f(a2,a2)eq f(2a,3a4)1。解得a3。综上可知：a2或3。【提分秘籍】由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1xB1yC10(Aeq oal(2,1)Beq oal(2,1)0)l2：A2xB2yC20(Aeq oal(2,2)Beq oal(2,2)0)l1与l2垂直的充要条件A1A2B1B20l1与l2平行的充分条件eq f(A1,A2)eq f(B1,B2)eq f(C1,C2)(A2B2C20)l1与l2相交的充分条件eq f(A1,A2)eq f(B1,

3、B2)(A2B20)l1与l2重合的充分条件eq f(A1,A2)eq f(B1,B2)eq f(C1,C2)(A2B2C20)【举一反三】 已知过点A(2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2xy10为l2，直线xny10为l3.若l1l2，l2l3，则实数mn的值为()A10 B2 C0 D8解析：l1l2，kABeq f(4m,m2)2，解得m8，又l2l3，eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,n)(2)1，解得n2，mn10。答案：A热点题型二 直线的交点例2、经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程为_。 解

4、析：方法一：先解方程组eq blcrc (avs4alco1(3x2y10,5x2y10，)得l1、l2的交点(1,2)，再由l3的斜率eq f(3,5)求出l的斜率为eq f(5,3)，于是由直线的点斜式方程求出l：y2eq f(5,3)(x1)，即5x3y10。方法二：ll3，故l是直线系5x3yC0中的一条，而l过l1、l2的交点(1,2)，故5(1)32C0，由此求出C1，故l的方程为5x3y10。方法三：l过l1、l2的交点，故l是直线系3x2y1(5x2y1)0中的一条，将其整理，得(35)x(22)y(1)0。其斜率eq f(35,22)eq f(5,3)，解得eq f(1,5)

5、，代入直线系方程即得l的方程为5x3y10。【提分秘籍】 常见的直线系方程运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：与直线AxByC0平行的直线系方程是：AxBym0(mR且mC)；与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAym0(mR)；过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2。【举一反三】 过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2xy20和l2：xy30所截的线段AB以P为中点，则直线l的方程为_。解析：方法一：设直线l的方程为yk(x3)，将此方程分别与l1，l2的方程联

6、立，得eq blcrc (avs4alco1(ykx3,2xy20)和eq blcrc (avs4alco1(ykx3,xy30。)解之，得xAeq f(3k2,k2)和xBeq f(3k3,k1)，P(3,0)是线段AB的中点，由xAxB6得eq f(3k2,k2)eq f(3k3,k1)6，解得k8。故所求的直线l为y8(x3)，即8xy240。方法二：设l1上的点A的坐标为(x1，y1)，P(3,0)是线段AB的中点，则l2上的点B的坐标为(6x1，y1)，eq blcrc (avs4alco1(2x1y120,6x1y130。)解这个方程组，得eq blcrc (avs4alco1(x

7、1f(11,3),y1f(16,3)。)点A的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(11,3)，f(16,3)，由两点式可得l的方程8xy240。热点题型三 距离公式及其应用 例3 (1) 若直线l1：x3ym0(m0)与直线l2：2x6y30的距离为eq r(10)，则m()A7 B.eq f(17,2) C14 D17(2) 过点P(1,2)引直线，使A(2,3)，B(4，5)到它的距离相等，则直线方程为_。解析：(1)直线l1：x3ym0(m0)，即2x6y2m0，因为它与直线l2：2x6y30的距离为eq r(10)，所以eq f(|2m3|,r(436)eq r(10)

8、，求得meq f(17,2)，故选B。(2)显然这条直线斜率存在。设直线方程为ykxb，根据条件有eq blcrc (avs4alco1(2kb,f(|2k3b|,r(k21)f(|4k5b|,r(k21)。)化简得eq blcrc (avs4alco1(kb2,k4)或eq blcrc (avs4alco1(kb2,3kb10。)所以k4，b6或keq f(3,2)，beq f(7,2)。所以直线方程为y4x6或yeq f(3,2)xeq f(7,2)，即4xy60或3x2y70。【提分秘籍】距离的求法(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式。(

9、2)两平行直线间的距离利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；利用两平行线间的距离公式。提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x，y的系数分别相等。【举一反三】 若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：xy50，l2：xy150上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是()A.eq f(5r(2),2) B5eq r(2) C.eq f(15r(2),2) D15eq r(2)解析：由题意得P1P2中点的轨迹方程是xy100，则原点到直线xy100的距离deq f(10,r(2)5eq r(2)。答案

10、：B热点题型四 对称问题及其应用例4、已知直线l：2x3y10，点A(1，2)。求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程。解析：(1)设A(x，y)，再由已知eq blcrc (avs4alco1(f(y2,x1)f(2,3)1,2f(x1,2)3f(y2,2)10。)解得eq blcrc (avs4alco1(xf(33,13),yf(4,13)。)Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(33,13)，f(4,13)。(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线

11、l的对称点必在m上。设对称点为M(a，b)，则eq blcrc (avs4alco1(2blc(rc)(avs4alco1(f(a2,2)3blc(rc)(avs4alco1(f(b0,2)10,f(b0,a2)f(2,3)1。)解得Meq blc(rc)(avs4alco1(f(6,13)，f(30,13)。设m与l的交点为N，则由eq blcrc (avs4alco1(2x3y10,3x2y60。)得N(4,3)。又m经过点N(4,3)，由两点式得直线m方程为9x46y1020。(3)设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，P在直线l上，2

12、(2x)3(4y)10，即2x3y90。【提分秘籍】处理对称问题的方法(1)在对称问题中，点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称，处理这种问题要抓住两点：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上。(2)处理直线关于直线的对称问题可以转化为点关于直线的对称问题来解决。(3)直线关于点的对称都可以转化为点关于点的对称来处理。【举一反三】 在直线l：3xy10上求一点P，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小。(1)如图所示，设点B关于l的对称点B的坐标为(a，b)，则kBBkl1，

13、即3eq f(b4,a)1。a3b120。又由于线段BB的中点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，f(b4,2)，且在直线l上，3eq f(a,2)eq f(b4,2)10，即3ab60。解得a3，b3，B(3,3)。于是AB的方程为eq f(y1,31)eq f(x4,34)，即2xy90。解eq blcrc (avs4alco1(3xy10,2xy90，)得eq blcrc (avs4alco1(x2,y5。)即l与AB的交点坐标为P(2,5)。点P(2,5)即为所求。(2)如图所示，设C关于l的对称点为C，求出C的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(

14、f(3,5)，f(24,5)。AC所在直线的方程为19x17y930，AC和l交点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(11,7)，f(26,7)，故P点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(11,7)，f(26,7)。 1.【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）（A） （B） （C） （D）2【答案】A【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：，解得，故选A1.【2015高考山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）（A）或 （B） 或 （C）或 （D）或【答案】D2.【20

15、15高考湖北，理14】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方）， 且（）圆的标准方程为 ；（）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：； ； 其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）【答案】（）；（） 【解析】（）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为.（）联立方程组，解得或，因为在的上方，所以，令直线的方程为，此时，所以，因为，所以.所以，正确结论的序号是. 1（2014全国卷）已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|eq f(5,4)|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l

16、与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程【解析】解：(1)设Q(x0，4)，代入y22px，得x0eq f(8,p)，所以|PQ|eq f(8,p)，|QF|eq f(p,2)x0eq f(p,2)eq f(8,p).由题设得eq f(p,2)eq f(8,p)eq f(5,4)eq f(8,p)，解得p2(舍去)或p2，所以C的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x，得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故线段的AB的中点为D(

17、2m21，2m)，|AB|eq r(m21)|y1y2|4(m21)又直线l 的斜率为m，所以l 的方程为xeq f(1,m)y2m23.将上式代入y24x，并整理得y2eq f(4,m)y4(2m23)0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3y4eq f(4,m)，y3y44(2m23)故线段MN的中点为Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(2,m2)2m23，f(2,m)，|MN|eq r(1f(1,m2)|y3y4|eq f(4（m21）r(2m21),m2).由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|BE|eq f(1,2)|MN|，从

18、而eq f(1,4)|AB|2|DE|2eq f(1,4)|MN|2，即4(m21)2eq blc(rc)(avs4alco1(2mf(2,m)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,m2)2)eq sup12(2)eq f(4（m21）2（2m21）,m4)，化简得m210，解得m1或m1，故所求直线l的方程为xy10或xy10.2（2013湖南卷）在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图11所示)，若光线QR经过ABC的重心，则AP等于()图11A2 B1C.eq f(8,3)

19、D.eq f(4,3)【答案】D【解析】不妨设APm(0m4)，建立坐标系，设AB为x轴，AC为y轴，则A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，Q(xQ，yQ)，R(0，yR)，P(m，0)，可知ABC的重心为Geq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(4,3)，根据反射性质，可知P关于y轴的对称点P1(m，0)在直线QR上，P关于xy4的对称点P2(4，4m)在直线RQ上，则QR的方程为eq f(y0,4m)eq f(xm,4m)，将Geq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(4,3)代入可得3m24m0，即meq f(4,3)或m0(舍)，选D.3（2

20、013新课标全国卷）已知点A(1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线yaxb(a0)将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A(0，1) B.eq blc(rc)(avs4alco1(1f(r(2),2)，f(1,2)C.eq blc(rc(avs4alco1(1f(r(2),2)，f(1,3) D.eq blcrc)(avs4alco1(f(1,3)，f(1,2)【答案】B【解析】方法一：易得ABC面积为1，利用极限位置和特值法当a0时，易得b1eq f(r(2),2)；当aeq f(1,3)时，易得beq f(1,3)；当a1时，易得beq r(2)1eq f(1,3).故

21、选B.方法二：(直接法)eq blc(avs4alco1(xy1，,yaxb) yeq f(ab,a1) ，yaxb与x 轴交于eq blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)，0)，结合图形与a0 ，eq f(1,2)eq f(ab,a1)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(b,a)eq f(1,2)(ab)2a(a1)0aeq f(b2,12b).a0，eq f(b2,12b)0beq f(1,2)，当a0时，极限位置易得b1eq f(r(2),2)，故答案为B.4（2013重庆卷）已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C

22、2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A5 eq r(2)4 B. eq r(17)1C62 eq r(2) D.eq r(17)【答案】A【解析】如图，作圆C1关于x轴的对称圆C1：(x2)2(y3)21，则|PM|PN|PN|PM|.由图可知当C2，N，P，M，C1在同一直线上时，|PM|PN|PN|PM|取得最小值，即为|C1C2|135 eq r(2)4，故选A.图131已知两条直线l1：(a1)x2y10，l2：xay30平行，则a()A1 B2C0或2 D1或2解析：若a0，两直线方程分别为x2y10和x3，此时两直线相交，不平行，所以a0；当a0时，两直线若

23、平行，则有eq f(a1,1)eq f(2,a)eq f(1,3)，解得a1或2。答案：D2当0keq f(1,2)时，直线l1：kxyk1与直线l2：kyx2k的交点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：解方程组eq blcrc (avs4alco1(kxyk1,kyx2k)得两直线的交点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,k1)，f(2k1,k1)，因为0keq f(1,2)，所以eq f(k,k1)0，eq f(2k1,k1)0，故交点在第二象限。答案：B3已知两点A(3,2)和B(1,4)到直线mxy30的距离相等，则m的值为()A0或eq f(1

24、,2) B.eq f(1,2)或6Ceq f(1,2)或eq f(1,2) D0或eq f(1,2)解析：依题意得eq f(|3m23|,r(m21)eq f(|m43|,r(m21)，所以|3m5|m7|。所以3m5m7或3m57m。所以m6或meq f(1,2)。故应选B。答案：B4已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2xy0与xay0上，且AB线段的中点为Peq blc(rc)(avs4alco1(0，f(10,a)，则线段AB的长为()A11 B10C9 D8解析：由两直线垂直，得eq f(1,a)21，解得a2.所以中点P的坐标为(0,5)。则OP5，在直角三角形中斜边的长度AB2

25、OP2510，所以线段AB的长为10。答案：B5已知点A(1,0)，B(cos，sin)，且|AB|eq r(3)，则直线AB的方程为()Ayeq r(3)xeq r(3)或yeq r(3)xeq r(3)Byeq f(r(3),3)xeq f(r(3),3)或yeq f(r(3),3)xeq f(r(3),3)Cyx1或yx1Dyeq r(2)xeq r(2)或yeq r(2)xeq r(2)6直线(a1)xya30(a1)，当此直线在x，y轴的截距和最小时，实数a的值是()A1 B.eq r(2)C2 D3解析：当x0时，ya3，当y0时，xeq f(a3,a1)，令ta3eq f(a3,

26、a1)5(a1)eq f(4,a1)。a1，a10.t52eq r(a1f(4,a1)9。当且仅当a1eq f(4,a1)，即a3时，等号成立。答案：D7若直线l1：2x5y200，l2：mx2y100与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值为_。解析：l1、l2与坐标轴围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补。因为两坐标轴垂直，故l1l2，即2m100，m5。答案：58点P(0,1)在直线axyb0上的射影是点Q(1,0)，则直线axyb0关于直线xy10对称的直线方程为_。解析：由已知，有eq blcrc (avs4alco1(a10b0,af(01,10)1，)解得eq blcrc (

27、avs4alco1(a1,b1。)即axyb0为xy10，设xy10关于xy10对称的直线上任一点(x，y)，点(x，y)关于xy10的对称点(x0，y0)必在xy10上，且eq blcrc (avs4alco1(f(yy0,xx0)1,f(xx0,2)f(yy0,2)10，)则eq blcrc (avs4alco1(x01y,y01x，)代入xy10，得xy10。答案：xy109已知点A(5,4)和B(3,2)，则过点C(1,2)且与点A，B的距离相等的直线方程为_。10已知直线l的方程为3x4y120，求满足下列条件的直线l的方程。(1)l与l平行且过点(1,3)；(2)l与l垂直且l与两坐标轴围成的三角形面积为4；(3)l是l绕原点旋转180而得到的直线。解析：(1)直线l：3x4y120，kleq f(3,4)，又ll，klkleq f(3,4)。直线l：yeq f(3,4)(x1)3，即3x4y90。(2)ll，kleq f(4,3)。设l与x轴截距为b，则l与y轴截距为eq f(4,3)b，由题意