内容分析微积分3

1、一、导数的定义3.2 导数概念导数符号与导数的定义式导函数几个基本初等函数的导数二、导数的几何意义三、左右导数四、可导与连续的关系上页下页铃结束返回首页一、导数的定义 定义3.1 设函数y=f(x)在点 x0的某个邻域内有定义。如果极限存在，则称函数f(x)在点x0处可导，且称此极限值为函数f(x)在点x0处的导数，记为 f (x0)，即下页 如果上述极限不存在，则称函数f(x)在点x0处不可导。 导数的其它符号：下页函数的导数：导数的其它定义式：。 例1求函数y=x2在点x=2处的导数。 解： 方法一，下页导数的其它符号：函数的导数：导数的其它定义式：。 例1求函数y=x2在点x=2处的导数

2、。 解： 方法二， 设 f(x)在区间(a, b)内可导，则对于区间(a, b)内每一点 x，都有一个导数值与它对应，这就定义了一个新的函数，称为函数y=f(x)在区间(a, b)内对x的导函数，简称为导数，记作导函数： 如果函数 f(x)在区间(a, b)内每一点都可导，则称f(x)在区间(a, b)内可导。下页导函数的定义式： 例2求函数f(x)=C（C为常数）的导数。 解：即 (C ) =0。 导函数的定义式：下页常数的导数：下页 例3 例4 解： 解：常数的导数： (C ) =0。 幂函数的导数：导函数的定义式： 例5求函数f(x)=x n (n为正整数)在x=a处的导数。 更一般地，

3、有 (x m)=m x m-1(其中m为常数)。 把以上结果中的a换成x得f (x)=nxn-1，即 (xn)=nxn-1。下页 解：常数的导数： (C ) =0。 幂函数的导数：导函数的定义式： 例6求函数f(x)=x3在点x=1处的导数。 解：f (x)=(x3)=3x2， f (1)=3x2|x=1=3。下页常数的导数： (C ) =0。 幂函数的导数：导函数的定义式： 例7求函数f(x)=sin x的导数。=cos x。用类似地可求得 (cos x )=-sin x。即 (sin x) =cos x。下页 解：正弦余弦函数的导数：常数的导数： (C ) =0。 幂函数的导数：导函数的定

4、义式： 例8求对数函数y=log ax的导数。 解：正弦余弦函数的导数：(sin x)=cos x，(cos x )=-sin x。常数的导数： (C ) =0。 幂函数的导数：对数函数的导数：导函数的定义式：练习下页所以f(x)在点x=0处连续。不存在，所以f(x)在点x=0处不可导。 因为极限 解：首页 函数y=f(x)在点x0处的导数f (x0)就曲线y=f(x)在点M(x0, y0)处的切线的斜率。 由导数的几何意义及直线的点斜式方程，可知曲线y=f(x)上点(x0, y0)处的切线方程为 y-y0=f (x0)(x-x0)。x0My=f(x)Ox y f(x0)aT 下页二、导数的几

5、何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数f (x0)就曲线y=f(x)在点M(x0, y0)处的切线的斜率。 由导数的几何意义及直线的点斜式方程，可知曲线y=f(x)上点(x0, y0)处的切线方程为 y-y0=f (x0)(x-x0)。 f (1)=-1，所求切线方程为 y-1=-(x-1)，即 x+y-2=0。二、导数的几何意义首页 定义3.2 设函数y=f(x)在x0的某邻域内有定义。三、左右导数为f(x)在点x0处的左导数，记作f -(x0)。 为f(x)在点x0处的右导数，记作f +(x0)。下页 显然，当且仅当函数在一点的左、右导数存在且相等时，函数在该点才是可导的。 函数f(x)

6、在a, b上可导，指f(x)在开区间(a, b)内处处可导，且存在f -(b)及f +(a)。函数在闭区间上的可导性：导数与左右导数的关系：首页左右导数： 定理3.1 如果函数y=f(x)在点x0处可导，则它在点x0处一定连续。 这是因为注意： 这个定理的逆定理不成立，即函数y=f(x)在点x0处连续，但在点x0处不一定可导。下页四、可导与连续的关系 解：因为 f +(0)f -(0)， 所以函数y=|x|在x=0处不可导。 虽然y=|x|在x=0处不可导，但它在x=0处是连续的。xO y y=-x y=x下页 例11所以f(x)在 x=0处不连续，从而f(x)在 x=0处不可导。 下页在点x=0及x=1处的连续性与可导性。 解：(1)因为f(0)=-1， 而下页在点x=0及x=1处的连续性与可导性。 解：(2)