新教材2021-2022学年人教A版必修第一册 3.4　函数的应用(一) 学案

1、3.4函数的应用(一)核心知识目标核心素养目标1.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较一元一次函数、一元二次函数、幂函数增长速度的差异,理解“直线上升”等术语的现实含义.3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型,体会人们是如何借助函数刻画实际问题的,感悟数学模型中参数的现实意义.1.通过体会利用函数模型解决实际问题的过程和方法,培养学生数学抽象、数学建模和数据分析的核心素养.2.通过利用已知函数模型(一次函数、二次函数、幂函数)解决实际问题,培养

2、学生数学建模、数据分析和数学运算的核心素养.1.一次函数模型形如y=kx+b(k0)的函数模型是一次函数模型,一次函数的图象为直线,应用一次函数的性质,可以求参数值及函数解析式等.2.二次函数模型(1)形如y=ax2+bx+c(a0)的函数模型是二次函数模型.(2)二次函数模型是生活中最常见的一种数学模型,依据实际问题建立二次函数的解析式后,利用配方法求最值简单易懂,有时可以依据二次函数的单调性求最值,从而解决最大、最小等问题.3.分段函数模型(1)分段函数模型分段函数是指函数解析式由几段组成的函数,根据自变量取值范围的不同,由题设确定出不同的函数关系式.(2)分段函数模型的应用分段函数模型应

3、用的关键是确定分段的各边界点.即明确自变量的取值区间,对每一区间进行分类讨论,从而写出函数解析式,需注意分段函数的最值,是各区间上解析式取得的最大值或最小值.要注意结合实际问题的实际意义,有时还可结合图象去求解.1.已知等腰三角形的周长为40 cm,底边长y(单位:cm)是腰长x(单位:cm)的函数,则函数的定义域为(A)(A)(10,20)(B)(0,10)(C)(5,10)(D)5,10)解析:y=40-2x,由40-2x0,2x40-2x.得10 x10.即y=3x,0 x10,5x-20,x10.由于该职工这个月的实际用水量超过10立方米,所以令5x-20=55.解得x=15.答案:1

4、54.从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的关系式为h=30t-5t2,那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是s.解析:令h=30t-5t2=0,得t=0(舍)或t=6.故选A.答案:6一次函数模型例1 江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称.甲、乙两家农贸商店,平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾,“龙虾节”期间,甲、乙两家商店都让利酬宾,付款金额y甲,y乙(单位:元)与原价x(单位:元)之间的函数关系如图所示:(1)写出y甲,y乙关于x的函数关系式;(2)“龙虾节”期间,如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱?解:(1)设y甲=kx,把(2

5、000,1 600)代入,得2 000k=1 600,解得k=0.8,所以y甲=0.8x;当0 x2 000时,设y乙=ax,把(2 000,2 000)代入,得2 000a=2 000,解得a=1,所以y乙=x;当x2 000时,设y乙=mx+n,把(2 000,2 000),(4 000,3 400)代入,得2 000m+n=2 000,4 000m+n=3 400,解得m=0.7,n=600,所以y乙=x(0 x2 000),0.7x+600(x2 000).(2)当0 x2 000时,0.8xx,到甲商店购买更省钱;当x2 000时,若到甲商店购买更省钱,则0.8x0.7x+600,解

6、得x0.7x+600,解得x6 000;若到甲、乙两商店购买一样,则0.8x=0.7x+600,解得x=6 000;故当购买金额按原价小于6 000元时,到甲商店购买更省钱;当购买金额按原价大于6 000元时,到乙商店购买更省钱;当购买金额按原价等于6 000元时,到甲、乙两商店购买花钱一样.即时训练1-1:某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李.若超过规定的质量,则需购买行李票,行李费用y(单位:元)是行李质量x(单位:kg)的一次函数,其图象如图所示. (1)根据图象数据,求y与x之间的函数关系式;(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少?解:(1)设y与x之间的函数关系式为

7、y=kx+b.由图象可知,当x=60时,y=6;当x=80时,y=10.所以60k+b=6,80k+b=10.解得k=15,b=-6.所以y与x之间的函数关系式为y=15x-6,x30,0,0 x30.(2)根据题意,当y=0时,0 x30.所以旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg.建立一次函数模型,常设为y=kx+b(k0),然后用待定系数法求出k,b的值,再根据单调性求最值,或利用方程、不等式思想解题.二次函数模型例2 某农家旅游公司有客房160间,每间房单价为200元时,每天都客满.已知每间房单价每提高20元,则客房出租数就会减少10间,若不考虑其他因素,旅游公司把每间房单价提到多少

8、时,每天客房的租金总收入最高?解:设每间房单价提高x个20元时,每天客房的租金总收入为y元.因为此时每间房单价为(200+20 x)元,而客房出租数将减少10 x间,即为(160-10 x)间,因此y=(200+20 x)(160-10 x)=200(10+x)(16-x)=200(-x2+6x+160)=200-(x-3)2+169=-200(x-3)2+33 800.从而可知,当x=3时,y的最大值为33 800.因此每间房单价提到200+203=260元时,每天客房的租金总收入最高. (1)二次函数与二次方程之间有密切的关系,解题时要注意题目中的约束条件;(2)求解二次函数问题应注意二次

9、函数图象的对称性与单调性;(3)解决实际生活中用料最省、利润最大等问题时,一般建立二次函数模型,还需掌握一些常见的关系式,如利润=(商品销售单价-每件商品成本)销售量等.函数y=ax+bx(a0,b0)模型例3 现计划建造一个室内面积为1 500 平方米的矩形温室大棚,并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池,其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道,两养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为x米,如图所示. (1)将两个养殖池的总面积y表示为x的函数,并写出定义域;(2)当温室的边长x取何值时,总面积y最大?最大值是多少?解:(1)依题意得温室的另一边长为1 5

10、00 x米.因此养殖池的总面积y=(x-3)( 1 500 x-5),因为x-30,1 500 x-50,所以3x300.所以定义域为x|3x0.(2)因为f(Q)=310Q+3 000Q2310Q3 000Q=60,当310Q=3 000Q,即Q=100时,上述等号成立.因此,当年产量为100时,平均成本最小,且最小值为60.形如y=ax+bx(a0,b0)型函数的最值.首先考虑基本不等式,其前提是取等号的条件x=ba(或x=-ba)在函数定义域内.若取等号的条件不在函数定义域内,则考虑函数单调性,即x(0,ba)时,函数是减函数,当x(ba,+)时,函数是增函数.(同理,x(-,-ba)时

11、,函数是增函数,x(-ba,0)时函数是减函数.)分段函数模型例4 经市场调查,某超市的一种商品在过去的近20天内的日销售量(单位:件)与价格(单位:元)均为时间t(单位:天)的函数,且日销售量近似满足g(t)=80-2t(单位:件),价格近似满足于f(t)=15+12t(0t10),25-12t(10t20)(元).(1)试写出该超市这种商品的日销售额y与时间t(0t20)的函数表达式;(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.解:(1)由已知,可得y=-t2+10t+1 200(0t10),t2-90t+2 000(10t20).(2)由(1)知当0t10时,y=-t2+10t+1 2

12、00=-(t-5)2+1 225,函数图象开口向下,对称轴为t=5,该函数在(0,5上单调递增,在(5,10上单调递减,所以ymax=1 225(当t=5时取得),ymin=1 200(当t=10时取得);当10t20时,y=t2-90t+2 000=(t-45)2-25,函数图象开口向上,对称轴为t=45,该函数在(10,20上单调递减,所以ymax=1 200(当t=10时取得),ymin=600(当t=20时取得).由知ymax=1 225(当t=5时取得),ymin=600(当t=20时取得).所以该超市这种商品日销售额的最大值为1 225元,最小值为600元.应用分段函数时的三个注意

13、点(1)分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.(3)分段函数的值域求法为逐段求函数值的范围,最后取并集.例1某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司,甲分公司现有电脑6台,乙分公司有同一型号的电脑12台.现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台,B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台.已知甲地运往A,B两地每台电脑的运费分别是40元和30元,乙地运往A,B两地每台电脑的运费分别是80元和50元.(1)设甲地调运x台至B地,该公司运往A和B两地的总运费为y元,求y关于x的函数关系式;(2)若总运费不超过1 000元,问能有几种调运方案?(

14、3)求总运费最低的调运方案及最低运费.解:(1)甲地调运x台到B地,则剩下(6-x)台电脑调运到A地;乙地应调运(8-x)台电脑至B地,运往A地12-(8-x)=(x+4)台电脑(0 x6,xN).则总运费y=30 x+40(6-x)+50(8-x)+80(x+4)=20 x+960,所以y=20 x+960(xN,且0 x6).(2)若使y1 000,即20 x+9601 000,得x2.又0 x6,xN,所以0 x2,xN.所以x=0,1,2,即能有3种调运方案.(3)因为y=20 x+960是R上的增函数,又0 x6,xN,所以当x=0时,y有最小值为960.即甲地将6台运到A地,乙地调

15、8台到B地,运到A地4台.最低运费960元.例2 某镇充分利用自身资源,大力发展养殖业,以增加收入,政府计划共投入72万元,全部用于甲、乙两个合作社,每个合作社至少要投入15万元,其中甲合作社养鱼,乙合作社养鸡,在对市场进行调研分析后发现养鱼的收益M、养鸡的收益N与投入a,72-a(单位:万元)满足M=4a+25,15a36,49,36a57,N=12(72-a)+20,设甲合作社的投入为x(单位:万元),两个合作社的总收益为f(x)(单位:万元).(1)当甲合作社的投入为25万元时,求两个合作社的总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个合作社的投入,才能使总收益最大?解:(1)当甲合作社投入为2

16、5万元时,乙合作社投入为47万元,此时两个合作社的总收益为f(25)=425+25+1247+20=88.5(万元).(2)设甲合作社的投入为x万元(15x57),则乙合作社的投入为(72-x)万元,当15x36,则3672-x57,f(x)=4x+25+12(72-x)+20=-12x+4x+81.令t=x,得15t6,则总收益为g(t)=-12t2+4t+81=-12(t-4)2+89,显然当t=4时,g(t)max=89=f(16),即当甲投入16万元,乙投入56万元时,总收益最大,最大收益为89万元;当36x57时,则1572-x36,f(x)=49+12(72-x)+20=-12x+

17、105,显然f(x)在(36,57上单调递减;所以f(x)87,所以该公司在甲合作社投入16万元,在乙合作社投入56万元时,总收益最大,最大总收益为89万元.例3沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源,在保护绿水青山方面具有独特功效.通过办沼气带来的农村“厕所革命”,对改善农村人居环境等方面,起到立竿见影的效果.为了积极响应国家推行的“厕所革命”,某农户准备建造一个深为2米,容积为32立方米的长方体沼气池,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,沼气池盖子的造价为3 000元,问怎样设计沼气池能使总造价最低?最低总造价是多少元?解:设沼气池的底面长为x米,沼气池的总造

18、价为y元,因为沼气池的深为2米,容积为32立方米,所以底面积为16平方米.因为底面长为x米,所以底面的宽为16x米,依题意有y=3 000+15016+1202(2x+216x)=5 400+480(x+16x),因为x0,由基本不等式和不等式的性质可得5 400+480(x+16x)5 400+4802x16x,所以y5 400+480216=9 240,当且仅当x=16x,即x=4时,等号成立,所以当沼气池的底面是边长为4米的正方形时,沼气池的总造价最低,最低总造价是9 240元.例4 某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过

19、100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元.(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为51元?(2)设一次订购量为x个时,零件的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的表达式;(3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购1 000个时,利润又是多少元?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本)解:(1)设每个零件的实际出厂单价恰好降为51元时,一次订购量为x0个,则x0=100+60-510.02=550.因此,当一次订购量为550个时,每个零件的实际出厂价格恰好降为51元.(2)当0 x100时,P=60.当100 x550时,P=60-0.02(x-100)=62-x50.当x550时,P=51,所以P=f(x)=60(0 x100,xN),62-x50(100 x550,xN),51(x550,xN).(3)设销售商的一次订购量为x个时,工厂获得的利润为L元,则L=(P-40)x=20 x(0 x100,xN),22x-x250(100 x550,xN),11x(x550,xN).当x=