量子力学讲义-更正版

1、第12章散射理论12.1散射现象的一般描述从 量子力学观点看，散射态是一种非态，涉及体系的能谱的连续区部分。态理论的在于研究体系的分立的能量本征值和本征态以及它们之间的量子跃迁。在实验上则主要是通过光谱分析（谱线的波数，强度，选择定则等）来获取有关信息。而在散射问题中，人们感的不是能量本征值（能量可连续变化），而是散射粒子的角分布以及散射过程中粒子的各种性质（例如，角关联，极化等）的变化。由于散射实验的观测都是在离开“靶子”很远的地方（ r ，是粒子波长）进行，角分布等观测量依赖于波函数在 r 处的渐近行为，它与入射粒子能量，相互作用等有关。如入射粒子与靶粒子还有结构，并且在散射过程中发生改变

2、，这也是散射理论最关心。12.1.1散射的经典力学描述，截面从经典力学来看，在散射过程中，每个入射粒子都以一个确定的碰撞参数b和方位角0 射向靶子。由于靶粒子的作用，入射粒子轨道发生偏转，沿某方向(,) 射出，其运动轨道由Newton方程确定。当然，在实际的散射实验中，人们并不对每一个粒子的轨道有，而是想了解入射粒子束经过散射后沿不同方向出射的分布。设一束粒子以稳定的入射流密度ji （时间穿过截面的粒子数）入射，由于靶粒子的作用，设在时间内有dn 个粒角d 出射。 , 子沿方向的ji d dn , ji d 显然， dn 即。令 , 1 dn (1) d ji , 的量纲是面积，故称为散射截面

3、， , 一般来说，它与有关。如把沿各方向出射的粒子都计算在内，即2d , 0dd sin ,t0 t称为总截面。如何用经典力学来计算 , 。现在来通常假定，入射粒子与靶子相互作用只依赖V r 于它们的相对距离 r ，记为。 d0a图12.1：经典力学中粒子与势场的碰撞 b b+db 0此时，入射粒子将做平面运动，散射角分布 与方位角 无关，只需要分析出射粒子随 角的分布。显然，偏转角 依赖于b 。在 , 方向d sin d d角元是来自从中射出的粒子，b, b db; , d 定义的环面积jibddb.元bddb 中入射的粒子。所以dn dn ji dbdbsin d b r sin d r

4、sin dd ln rd rcos sin r 2b r V r 1HZWRQ 12.1.2散射的量子力学描述，散射波幅为简单起见，假设在碰撞过程中入射粒子和靶粒子的态不改变（激发度冻结），即弹性散射。在此过程中，只有相对运动状态发生改变。设相互作用用定域势V r 表示，r 是入射粒子与靶粒子的相对坐标。这样的两体问题总可以化为单体问题来还假定 V r 具有一定的力程 a ， a 时，相互作用才值得考虑。处理。即只当r在散射实验中，有一个粒子源，它提供一束稳定的接近于单色的平行入射粒子束，从远处射向靶粒子（散射中心）。入射粒子波束可以近似用一个平面波来描述，即（为方便不妨取入射方向为 z 轴方

5、向）i eikz，E 为入射粒子能量， i 是动量k 2 E k，px py 0的本征态（ pz）。由于靶粒子的作用，入射粒子的动量并非守恒量，即有一定概率改变方向，或者说要产生散射波。设相互作用为一个中心V r 势，则角动量为守恒量。可以论证，当 r 时，散射波的形式为1 f expikrr即往外出射的球面波，f 的量纲为长度，称为散射波幅，是 的函数，不依赖于 角。概括起来说，在中心势V r 作用下，波函数在 r 时的渐近行为是f expikr r expikz (2)r第一项代表入射波，第二项代表出射的球面波，它描述由于靶粒子作用所出现的散射现象。在上述波函数的渐近形式下，入射粒子ji

6、k 流密度为，而散射粒子流（径向）为expikr expikr i f j c.c. f2 sr rrkf 2r 2因此，在角元 d 中方向的时间的出射粒子数为 k 22dn j dS j r 2 d d d fjfssi按截面定义式(1)，有1dn 2fd ji这就是散射截面（也称微分截面，或角分布）与散射波幅 f 的关系。在理论上，散射波幅 f 可以由求解 Schrdinger方程 V ( r ) 2E 22 时r 并要求的渐近行为如式(2)所示而定出。 f 求出后即可计算出微分截面 f 2，并与实验测出的微分截面（按照(1)式， dn出总截面d ji ）比较，还可以计算 d12.2分波法

7、本节将给出在中心力场作用下，粒子的散射截面的一个普遍计算方法分波法。 从原则上讲，分波法式一个严格的处理方法。但在实际应用时，并不能把一切分波都考虑 在内，而是根据具体情况，只考虑重要的一 些分波，因而也是一种近似的处理。特别是 对于低能散射，分波法是一个极为方便的近似处理方法。12.2.1守恒量的分析与处理能量本征值问题（特别是有简并的情况）相似，守恒量的分析对于处理散射问题是的。对于无自旋粒子在中心力场 V r 中的散射，轨道角动量 l是守恒量。在处理能量本征值问题时，通H , l 2 , l 的共同本征态。常选择波函数是z在散射问题中，入射粒子通常用平面波来描述，如取入射方向为 z 轴，

8、则入射波 i expikz是动量和能量的本征态，相应的本征值为px py 0,pz k,E 2k 2 2但动量并非守恒量，因为注意到， i,V r 0还是守恒量 lz 的本征态（本征值为m=0），但不是守恒量 l 2的本征态，而的本征态的叠加（注意： l 2p, l 2 0 ）。是 expikz这可从 i的下列展开式看出：按照 H , l 2 , lz 的共同本征态展开(平把 i面波按球面波展开）e x p ik z e x p ik rc o s l 0 2 l1 i 2 l k r Pc o s ljll1 ij k r Y4 lll 0l 0 2 l 1 ir4 ll 01 e x p

9、i k r2 l (5)2 ik r2 Ye x p i k r l l 0这里利用了球Be函数的渐进行为1 / 2)j (x) xsin(x llx在上面展开式中，因为eikz 已经是能量E 和 lz（lz 0,即中，只需对m=0）的本征态，所以展开式（5）l 2的本征态（角量子数 l）求和（保持k和m=0不变）。在散射问题中把入射波按守恒量的本征态进行展开（分波）是一个十分重要的概念。各分波在散射过程中可以分开来一个一个处理，使问题化简。这在处理更复杂的散射问题中尤为明显。12.2.2分波的散射波幅和相移入射粒子在中心力场的作用下，波函数可以表示为 Rl (kr )Yl 0 ( )（6）l

10、 0既然与 无关，所以在式（6）中m=0Rl (kr) 显然，若V (r) 0，则jl (kr) 。把式(6)代入Schrdinger方程 V (r ) 22 2E出径向方程 k l (l 1) U ( r ) R1dd(8) 0r 22 r 2lr 22 V ( r ) 2drdrU ( r ) 可以看出，不同 l的分波已经分离，各自满足一定的径向方程即式(8)和边条件（见下式(15)。 满足的边条件是散射 eikz sceikz入射波(散射波)eikr )r f (（9）scr下面在分波法中如何表达此边条件f ( )可分解为(10)l 分波，即按分波法的精神，散射波幅f ( ) fl (

11、)l其中 fl ( ) 来自入射波中的eikr4 2l 1il j kr Y ) f (散射ll 0lr(11)（入射波的l分波）（散射波的l分波）入射l 分波经散射后要产生外行波，所以 Rl (kr)可表示成4 (2l 1)il j (kr) al h (kr)R (kr) lll2r4 (2l 1)il (1 a ) expi(kr l2) (12)l expi(kr l 2)2ikr式中外行波的幅度 al待定，它反映散射势场的影响（ al 0 表示无散射），对于弹性散射，各分波的幅度不会改变（即只有相位改变，反映粒子数守恒），即1 al 1所以，可以令1 al exp2il （l ,实）

12、即al exp2il 1 2i expil sin l此时式(12)化为14 (2l 1)il exp iR (kr ) rllkrsin kr l (15)l 2l 分波的散射波为4 2l 1il4 2l 1ilal2h kr Y rll 0alexp i kr l2 Y l 02ikrexpil sin lexpikr Yl 0 4 2l 1krexpikr r（16）2l 1kexpil sin l Pl cos 与式(11)相比，得f 2l 1 expi sin P cos （17）llllk由此求得散射波幅f f 1 2l 1expi sin P cos llllkl 0l 0 1

13、2l 1exp2i 1 P cos （18）ll2ikl 0而微分截面表示为2f 2 1 2l 1expi sin P cos lllk 2l 024k 2（19）l 02l 1 expil sin lYl 0 再利用球谐函数的正交归一性，可求出总截面l（20）l 0以上两式就是微分截面及总截面用各分波的相移l来表达的一般公式，计算截面归结为计算各分波的相移l 。根据边条件(15)解径l向方程(8)，可求出。注意，径向方程出2E / ），故相移与能量现了入射粒子能量（k l (E) 。有关(a)相移 l的正负号U r 的作用是改变渐近行为sin kr l 2krl分波的径向波函数的sin kr

14、 l l 2kr即产生一个相移 l。若 U r 0，则 l 0 。U r 0从物理图象来看，若(斥力)，粒子将被推向外，即径向波函数将往外推，这相当于 l 0。反之，若 U r 0 (引力)，则波函数将向内移。概括起来：l0，径向 (引力)l(斥力)sin(kr l / 2) sin(kr l / 2 )ll0l 0图12.7：l 的图像(b)具体处理散射问题时，要计算多少分波就l足够精确了？一般说来，越大的分波所描述的粒子距力心的平均距离就越大，因而受到l中心力场的影响就越小，即越小。可以用半经典图象大致估计一下需要计算多少分波的相移。如图13.8,设相互作用的力程为a ，r a即只当相互距

15、离时，作用力才较显著。设入射粒子的速度为v ，瞄准距为 b ，则角动量 l mvb 。能够受到作用力影响的粒子的 b a，即lmax mva，所以 mva almax 为入射粒子de Brog波长。例如，对于核子 4.5fmp2mEE(上式中E用MeV为)。核子之间作用力的力程 a 1013 cm，因此，当E 20MeV (低能核子-核子散射)，只要考虑 l 0,1分波(即s波与p波)就可以了。能量越高，越短，要考虑的分波就越多。在只考虑s波的情况下，角分布是球对称的，或者说是各向同性的。这是能量很低情况下散射截面的共同特征。实验工作者往往对实验所得的角分布曲线进行所谓“相移分析”，即根据公式

16、(19)找一组参数 l (l 0,1, 2,.) ，使根据它们计算出的截面 ( ) 与实验值偏离最小(用最小二乘法)。这种从实验截面分析得出的相移l ，是研究粒子间相互作用的不可缺少的资料。vabz图13.812.2.3光学定理按式(18)Im f ( ) 1 (2l 1) sin P (cos2)llkl 0Pl (1) 1 ，得对于 0 ，利用Im f (0) 1 (2l 1) sin2 lkl 0与式(20)比较，Im f (0) k4l 4 Im f (0)即tk此即光学定理。它表明向前散射( 0)波幅与总截面之间的关系。从物理上讲，总截面是入射波减弱的度量。因发生散射时，入射束中的粒

17、子必然有一部分沿不同方向开去，即有一部分粒子从入射波中移出去，使入射波方向( 0 ，即向前散射方向)的散射波幅减弱，而这种减弱是由于入射波和向前散射波相消的结果。于是，向前散射波幅越大，这种相消也越大（它从入射波中移去足够的入射流,以说明吸收反应），减弱也越多，总截面也就越大。上面是用弹性散射的分波法来证明的。实际上还可以非常普遍的方法证明此光学定理包括有非弹性散射的情况，光学定理也是成立的。例1 低能粒子对球方势阱的散射设散射中心的势场为球对称常势阱，势场满足 Vra( r ) 0V(V0 )(21)00ra假定入射粒子的能量很低，k很小，波长 很大，l 0 的s分波。满足 ka 1 ，因此

18、只要利用上节的结果，对径向波函数 R(r)引入代换u (r )r后，l 0 分波的R (r ) 方程是 d2 u 2u k0( ra ) dr 2(22)2 ud 2 uk( ra )0dr 2其中2 m E2 m V(23), k 222kk022解是u ( r ) A sin ( k r 0 )(24)(25)( r( ra )a )u ( r ) A sin ( kr 0 )u (r ) 有限的边界条件，由( 24 )式利用 r 0 处R ( r ) 得0 0 ，再利用rr a处波函数连续，波函数的微商连续，即u (r )的对数微商连续的条件，得k cot(ka 0 ) k cot k

19、a(26) 0k a a r c t a nk a0 k k 0 (27) arctank a ka0k 2mV0 k 0 k k(23)(28)20k02 1 1tan kaka 0 0ka012.2.2(18) f ( ) 1 ta n ka1f ( ) e i 0sin 0a00kkka02 tan k a 2 a 2 1f0k0 a 244 tan k asin 2 4 a 2Q 1 200 0022kkka0这些结果可以相应地用于球对称势垒以及刚球势。对球对称势垒，可将 V0，k0改成 V0改成ik 0 后得出k 0极限情况的微分散射截面是2 thk a ( ) a2 0 1(33)

20、k0 a总散射截面是2 thk aQ 4 a2 0 1(34)k0 a , k0 ,thk0a 1, 总散射截面是对刚球势，V0Q 4 a2(35)在这种情况下，总散射截面等于半径为a的球面面积。这个结果与经典情况不同。在经典力学中，总散射截面等于刚球的最大截面面积 a2。量子力学的结果比经典力学大四倍，这是因为入射波可以发生衍射，s 波是各向同性的，因此刚球表面各处对散射有同等的贡献。例2刚球散射。刚球散射是一个典型的散射问题，它是球方势垒的极限情况，数学上处理较为简单，容易得出相移的作用可如下表示：表达式。刚球的 , raa( r ) V0 , r显然，l 分波的径向波函数可写为r aR

21、(kr ) 0, R (kr ), r all其中 Rl (kr) 满足 k2 l(l 1) R (kr) 0， 1 d r2dr ar2lr2drdr该方程有两个独立解：jl(kr) 和 n（lkr）所以R（lkr） c1 （jlkr） c2n（lkr）jl(kr)和n（lkr）渐近行为分别是（r ）kr）sin（kr l /2）co（s kr l /2）kr，n（lkr）（jlkrkr）的渐近解为故R（lR（kr）c sin（kr l / 2）c co（s kr l / 2）l21krkr与 R（lkr）应满足的边条件：sin(kr l )1R (kr) rllkr2F coslc2 si

22、nl l Rl (kr) cosl jl (kr) sinlnl (kr) r a r a l ka x Rl (x) cosl jl (x) sinlnl (x) 0即jl (x)tan(36)ln (x)l分两种情况。(a)低能极限 (x 0) 。利用xlx 0j ( x) l(2l 1)!n ( x) x0 (2l 1)!lxl 1可求出x2l1j (x)tanx0 l l(2l 1)!2 (2l 1)n (x)lx 0时，只有 l0 分波的l 0 分波，显然，当相移0 重要，所以求截面时只考虑即s波。由于tan 0 x又 x 1 ，所以0 x ka 0因而总截面为 4 sin2 4 4

23、 a220t0k 2k 2角分布是各向同性的。总截面是经典刚球截面a2的4倍，与刚球面积相等。(b)高能极限(x )。利用式子(20)、(36), 4 x(2l 1) sin2 tlk 2l 04(2l 1) j (x)2xl j (x) n (x)k222l0ll(x ) 时当 4 x(2l 1) sin2 (x l2)sin2 (x l2) cos2 (x llk 22)l 04 x(2l 1) sinl 0(x l22)k 2因为当 l 当 l 所以偶， sin2 (x l奇， sin2 (x l2) sin22) cos2xx 4 x x (2l1) sinx (2l 1) cos x

24、22tk 2l 0,2l 1,3,5x(x 1)x (x 1)(x 2) cos2x42sink 222当 (x ) 时， 4 4x2x2 a(sinx cos x) 2222tk 2k 222是经典刚球截面的2倍，也是刚球面积的一半。12.3近似Lippman-Schwinger方程，Born下面给出散射问题的另一种处理方法，即采用积分方程的形式，这个方法的特点是不去进行分波，而把散射振幅作为一个整体，从求解一个积分方程得出。这个方法对于高能量粒子的散射较为适用，因为在此情况下，相当多的分波都对散射振幅有可观的贡献，用分波法来处理就很冗繁。12.3.1Green函数，Lippman-Schw

25、inger方程在13.1中已提到，粒子被势场V (r) 的散射，归结为求解Schrdinger方程 22 k 2 (r)V (r)(r)(1)22 是入射粒子能量）， (r)( E 2k 2满足下列边条件：expik r (r) expik r f ( ,) r (2)r定义Green函数，它满足G(r , r ) (r(2k )G(r , r )2r )(3)可以证明 2 d r G(r , r )V (r )(r )3(r )(4)2满足方程(1)。因为，利用式(3)，(2 k 2 ) (r ) 2 d 3r(2 k )G(r , r )V (r )(r ) 22 2V (r ) (r )

26、2但式(4)解不是唯一的，因为 2 r d r G r , r V r r r032r 0也满足方程(1)，只要满足 0方程2 k02r这种不确定性可由入射波和出射波的边条件来r a（力确定。例如，对于有限力程作用当 r exp ik r （入射粒程），V 0 ，要求r ik ，用平面波描述）,(0)子具有确定动量可取为 i ，于是散射问题归结为求解下列积分方程： r r exp ik r(7)sc22 exp ik r 3d r G r , rVrr此即Lippman-Schwinger方程，通常要求满足出射波边条件 2 d r G r , r V r r 3rsc2r f , expikr

27、r下面来Green函数的求解。根据方程(3) 的空间平移不变性，G r , r 应表示成下列形式 G r , r 其Fourier变换为 G rr G rr dq exp iq r r G q 3代入式(3)，利用12 3 d q exp iq3rrrr 2exp iq r r q exp iq2rr1q2 k2 G q2 311 k 2 G q q22 312 31G d q q23rrexp iqrrk 2 R R rrexp iq R1 d 3G(R) 2 q k322expiqR cos 120sin d 0dq xpiqR 2 32q dqk 2q201 2 2 iR dk 2q2q

28、 k Ckqk01 G Rexp ikR R4 exp ik rrG r r 4rr代入式(7)，得 r exp ik r d 3r exp ik rr 2 2V r r(14) rr这就是方程(1)的解，它满足边条件(2)。由r 于积分内含有待求解的未知函数，所以是一个积分方程。具体计算时，往往只能采用逐级近似法求解。12.3.2Born近似如把入射粒子与靶的相互作用V看成微扰，按微扰论的精神：作为一级近似，式(14)中的 V r r 可用 V rexp ik r 代替，则 r exp ik r exp ik rr 2 2(15)V rexp ik rd 3r rr此即势散射问题的Born一

29、级近似解。根据它在r 的渐近行为，与式(2)比较，即可求出散射f波幅的一级近似解。假设 V r 具有有限力程，则式(15)中对 r的积分实际上局限于空间中一个有限区域。当时r r r 1 r r 1 2 22r r r22rrr 式(15)被积函数中，分母 rr是一个光滑的r 时，可径直用 r缓变化函数，当代替，但分子是一个随r 迅速振荡的函数。 exp ikr 1 r r exp ik r r2r exp ikr ik fr (16)k k r其中，f 是出射粒子动量，对于弹kfr k性散射，k f得出。这样，由式(15)、(16)可 exp ikr2 2r r r d r exp k r

30、Vr3i k fsc与式(2)比较，得 (18) d r exp iq rVr32 2式中q k f kq是散射过程中粒子的动量qk f转移（见左图）， 是的夹角，即散射角。fk与 kf还与入k射粒子能量有关系，但式(18)中未明显标记出。由图可看出q 2k sin 2k 和 越大，则动量转移q越大。除一个常数因子外，散射波幅(18)即相互V (r )作用的Fourier变换。若 V 是中心力场（或对于入射方向具有轴对称性），则f与 角无关。计算式(18)的积分时，可选择 q 方向为 z轴方向，采用球坐标系，可得出f ( ) 2rV (r) sin qrdr02(21) q而散射截面表为4 2

31、22 )( ) f (r V (r ) sin qr dr4q20可以看出， q愈大，则 ( ) 愈小，即入射粒子受到势场V (r ) 的影响愈小。由此可以看出，对于高能入射粒子（ k 很大）， ( ) 主要集中在小角度范围内。Born近似的适用条件在Born近似下 exp ik r(r )(r )sc exp ik r r exp ik r d 3r 2 2rr V (r ) exp ikr 如Born近似为一个好的近似，就要求 1(r ) exp ikr sc势场V 对散射波的影响，在靶子邻域 (r 0) 内最强，因此上述条件可换成 sc (0) 1设 V 为中心场，则3 r exp ik

32、r 2 2(0 )dV ( r ) exp ikr scr 2 2 kdr exp ikr V ( r ) sin kr 0 1此即Born近似成立的条件。进一步分析表明，Born近似比较适用于高能粒子散射（详细见曾谨言:量子力学(I)p687-688)。相移的近似计算公式利用展开公式（注意：q 2k sin (2) ）sin qr (2l 1) j (kr)P (cos )2llqrl 0代入公式(21)，得f ( ) 2 (2l 1)P (cos ) V (r) j2 (kr)r 2drll20l 0与分波法计算公式12.2.2:(18)式f ( ) 1 (2l 1) expi sin P (cos )lllkl 0比较expil 1 sin ll l 2kV (r) j2 (kr)r 2drll20 V (r) 0l0 V (r) 0 l 012.4全