全等三角形经典题型-辅助线问题

1、全等三角形问题中常有的辅助线的作法(含答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称今后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试一试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形角平分线在三种添辅助线垂直平分线联络线段两端用

2、“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后组成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是组成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以获得在数值上相等的二条边或二个角。进而为证明全等三角形创立边、角之间的相等条件。8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以获得在数值上相等的二条边或二个角，进而为证明全

3、等三角形创立边、角之间的相等条件。常有辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点经常是角平分线的性质定理或逆定理（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形

4、成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的极点相等长度的地址上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，详尽做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的相关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求相关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各

5、极点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例1、已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_.解：延长AD至E使AE2AD，连BE，由三角形性质知AAB-BE2ADAB+BE故AD的取值范围是1AD4BDC例2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG2EF，连BG，EG,A显然BGFC，E在EFG中，注意到DEDF，由等腰三角形的三线合一知FEGEFBCD在BEG中，由三角形性质知EGBG+BE故：EFBE+FC例3、如图，ABC中，

6、BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.ABDEC解：延长AE至G使AG2AE，连BG，DG,显然DGAC，GDC=ACD由于DC=AC，故ADC=DAC在ADB与ADG中，BDAC=DG，ADAD，ADB=ADC+ACD=ADC+GDCADG故ADBADG，故有BAD=DAG，即AD平分BAE应用：1、以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等ABC腰RtACE，BADCAE90,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的地址关系及数量关系（1）如图当ABC为直角三角形时，AM与DE的地址关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2）将图中的等腰RtABD绕

7、点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图所示，（1）问中获得的两个结论是否发生改变？并说明原因解：（1）ED2AM，AMED；证明：延长AM到G，使MGAM，连BG，则ABGC是平行四边形ACBG，ABGBAC180DDAEBAC180又NABGDAEHE再证：DAEABGADE2AM，BAGEDA延长MN交DE于HBCBAGDAH90MHDADAH90GAMEDF（2）结论依旧成立DN证明：如图，延长CA至F，使ACFA，FA交DE于点P，并连接BFPEDABA，EAAFABAF90DAFEAD在FAB和EAD中FAAEBMCBAFEADBADAFABEAD（SAS）BFDE，FAENFPDF

8、APEAEN90FBDE又CAAF，CMMBAM/FB，且AM12FBAMDE，AM1DE2二、截长补短1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CDAC解：（截长法）在AB上取中点F，连FDADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知DFAB，故AFD90ADFADC（SAS）ACDAFD90即：CDA2、如图，ADBC，EA,EB分别平分DAB,CBA，CD过点E，求证;ABAD+BC解：（截长法）在AB上取点F，使AFAD，连FEADEAFE（SAS）ADEBCADEAFE，ADE+BCE180AFE+BFE180故ECBEFBFBECBE（AAS）故有B

9、FBC进而;ABAD+BCABQPC0400，P，Q分3、如图，已知在ABC内，BAC60，C别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP解：（补短法,计算数值法）延长AB至D，使BDBP，连DP在等腰BPD中，可得BDP40进而BDP40ACPADPACP（ASA）故ADAC又QBC40QCB故BQQCBDBP进而BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分求证：AC1800解：（补短法）延长BA至F，使BFBC，连FDBDFBDC（SAS）故DFBDCB，FDDC又ADCD故在等腰BFD中DFBDAF故有B

10、AD+BCD180ABC，ADBC5、如图在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PCA12PBCD解：（补短法）延长AC至F，使AFAB，连PDABPAFP（SAS）故BPPF由三角形性质知PBPCPFPCBF=BA+AF=BA+AC进而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=P例2如图，在ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.BD=CE,DM=EM,DMNEMA(SAS),DN=AE,同理BN=CA.延长ND交AB于P,则BN+BPPN,DP+PAAD,

11、相加得BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去DP,得BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE。四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD，DC+AE=AC证明(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)B=60度,则BAC+BCA=120度;AAD,CE均为角平分线,则OAC+OCA=60度=AOE=COD;AOC=120度.在AC上截取线段AF=AE,连接OF.又AO=AO;OAE=OAF.则OAEOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;AOF=AOE=60度.EOBCD则COF=AOC-AOF=60度=COD;又CO=C

12、O;OCD=OCF.故OCDOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F.1）说明BE=CF的原因；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.解：(垂直平分线联络线段两端)连接BD，DCDG垂直平分BC，故BDDCA由于AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，故有EEDDFBGCF故RTDBERTDFC（HL）D故有BECF。AB+AC2AEAE（a+b）/2BE=(a-b)/2应用：1、如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三

13、角形。请你参照这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其余条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否依旧成立？若成立，请证明；若不成立，请说明原因。BMBEEFDFDOPACC图NA图图(第23题图)解：（1）FE与FD之间的数量关系为FEFD（2）答：（1）中的结论FEFD依旧成立。证法一：如图1，在AC上截取AGAE，连接FG12，AF为公共边，AEFAGFAFEAFG，FEFGB60，AD、

14、CE分别是BAC、BCA的平分线2360AFECFDAFG60BCFG60EFD34及FC为公共边CFGCFDFGFDFEFD证法二：如图2，过点F分别作FGAB于点G，FHB60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线可得2360，F是ABC的内心GEF601，FHFG又HDFB1GEFHDF可证EGFDHFFEFD1423AGC图1BC于点HBGDEHF1423AC图2五、旋转例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数.证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ADABGF则GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，AF=AG

15、，所以三角形AEF全等于AEGBEC所以EAF=GAE=BAE+GAB=BAE+DAF又EAF+BAE+DAF=90所以EAF=45度例2D为等腰RtABC斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。若AB=2，求四边形DECF的面积。解：(计算数值法)（1）连接DC，D为等腰RtABC斜边AB的中点，故有CDAB，CDDACD平分BCA90，ECDDCA45由于DMDN，有EDN90由于CDAB，有CDA90进而CDEFDA故有CDEADF（ASA）故有DE=DFS=2,S=S=1（2）ABC四DECFACD例3如图，ABC是边长为3

16、的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC1200，以D为极点做一个600角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为；解：(图形补全法,“截长法”或“补短法”,计算数值法)AC的延长线与BD的延长线交于点F，在线段CF上取点E，使CEBMABC为等边三角形，BCD为等腰三角形，且BDC=120，MBD=MBC+DBC=60+30=90，DCE=180-ACD=180-ABD=90，又BM=CE，BD=CD，CDEBDM，CDE=BDM，DE=DM，NDE=NDC+CDE=NDC+BDM=BDC-MDN=120-60=60，在DMN和DEN中，DM=DEMDN=EDN

17、=60DN=DNDMNDEN，MN=NE在DMA和DEF中，DM=DEMDA=60-MDB=60-CDE=EDF(CDE=BDM)DAM=DFE=30DMNDEN(AAS)，MA=FEAMN的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6应用：1、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，ABC120o，MBN60o，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F当MBN绕B点旋转到AECF当MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请恩赐证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量

18、关系？请写出你的猜想，不需证明AAABEMBEMBCFDCFDFCDNNNE（图1）（图2）（图3）M解：（1）ABAD，BCCD，ABBC，AECFABECBF（SAS）；ABECBF，BEBFABC120，MBN60ABECBF30，BEF为等边三角形BEEFBF，CFAE1BE2AECFBEEF2）图2成立，图3不成立。证明图2，延长DC至点K，使CKAE，连接BK则BAEBCKABEBK，ABEKBCBEMFBE60，ABC120FBCABE60KCDFBCKBC60FKBFFBE60N图2KBFEBFKFEFKCCFEF即AECFEF图3不成立，AE、CF、EF的关系是AECFEF2

19、、（西城09年一模）已知:PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.如图,当APB=45时,求AB及PD的长;当APB变化,且其余条件不变时,求PD的最大值,及相应APB的大小.解析：（1）作辅助线，过点A作AEPB于点E，在RtPAE中，已知APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在RtABE中，根据勾股定理可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将PAD绕点A顺时针旋转90获得PAB，可得PADPAB，求PD长即为求PB的长，在RtAPP中，可将PP的值求出，在RtPPB中，根据勾股定理可将PB的值求

20、出；解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在RtAEG中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在RtPFG中，可求出PF，在RtPDF中，根据勾股定理可将PD的值求出；（2）将PAD绕点A顺时针旋转90，获得PAB，PD的最大值即为PB的最大值，故当P、P、B三点共线时，PB取得最大值，根据PBPPPB可求PB的最大值，此时APB180APP135解：（1）如图，作AEPB于点ERtPAE中，APB45，PA2D2CAEPE212APB4PEBBEPBPE3在RtABE中，AEB902ABAEBE10解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将将PAD绕点A顺时

21、针旋转90得到PAB，可得PADPAB，PDPB，PAPADPAP90，APP45，PPB90CPP2，PA2PAPDPBPP2PB2224225；解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于PEBF，设DA的延长线交PB于G在RtAEG中，可得AGAEAE10，EG1，PGPEEG2cosEAGcosABE33D3在RtPFG中，可得PFPGcosFPGPGcosABE10，FG10C515在RtPDF中，可得A22PDPF2ADAGFG21010101025G5153PFEB（2）如下列图，将PAD绕点A顺时针旋转90,获得PAB，PD的最大值，即为PB的最大值PPB中，PBPP

22、PB，PP2PA2，PB4且P、D两点落在直线AB的两侧当P、P、B三点共线时，PB取得最大值（如图）此时PBPPPB6，即PB的最大值为6此时APB180APP1353、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为VABC外一点，且MDN60,BDC120,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系图1（I）如图1，当点M、N边图2AB、AC上，且DM=DN图3时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时Q；L（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立

23、吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=（用x、L表示）解析：（1）如果DMDN，DMNDNM，因为BDDC，那么DBCDCB30，也就有MBDNCD603090，直角三角形MBD、NCD中，因为BDDC，DMDN，根据HL定理，两三角形全等。那么BMNC，BMDDMDNDNC，60，三角形NCD中，MDN60，因此三NDC角形30，DN2NCDMN是个等，在三角形DNM中，边三角形，因此MNDN2NCNCBM，三角形AMN的周长QAMANMNAMANMBNCABAC2AB，三角形ABC的周长L3AB，因此Q:L2:3（2）如果D

24、MDN，我们可经过成立全等三角形来实现线段的变换。延长AC至E，使CEBM，连接DE（1）中我们已经得出，MBDNCD90，那么三角形MBD和ECD中，有了一组直角，MBCE，BDDC，因此两三角形全等，那么DMDE，BDMCDE，EDNBDCMDN60三角形MDN和EDN中，有DMDE，EDNMDN60，有一条公共边，因此两三角形全等，MNNE，至此我们把BM转换成了CE，把MN变换成了NE，因为NECNCE，因此MNBMCNQ与L的关系的求法同（1），得出的结果是同样的。（3）我们可经过成立全等三角形来实现线段的变换，思路同（2）过D作CDHMDB，三角形BDM和CDH中，由（1）中已经得

25、出的DCHMB90，我们做的角BDMCDH，BDCD，因此两三角形全等（ASA）那么BMCH，DMDH，三角形MDN和NDH中，已知的条件有MDDH，一条公共边ND，要想证得两三角形全等就需要知道MDNHDN，因为CDHMDB，因此MDHBDC120，因为MDN60，那么NDH1206060，因此MDNNDH，这样就组成了两三角形全等的条件三角形MDN和DNH就全等了那么NMNHANACBM，三角形AMN的周长QANAMMNANABBMANACBM2AN2AB因为ANx，AB1L，因此三角形AMN的周长3Q2x2L3解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系：（2）猜想：结论依旧成立证明

26、：如图2，延长AC至E，使CEBM，连接BDCD，且BDC120DBCDCB30又ABC是等边三角形MBDNCD90在MBD与ECD中BMNCMN；此时Q2L3ADEMNBCND图1BMCEAMBDECDBDDCMBDECD（SAS）BCNDMDE，BDMCDEMEDNBDCMDN60DE在MDN与EDN中图2ADMDEMDNEDNDNDNBMDNEDN（SAS）MDMNNENCBM图3故AMN的周长QAMANMNAMBMANNCABAC2AB而等边ABC的周长L3ABQ2AB2L3AB3（3）如图3，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若ANx，则Q2x2L（用3x、L表示）点评：此题考察

27、了三角形全等的判断及性质；题目中线段的变换都是根据全等三角形来实现的，当题中没有显然的全等三角形时，我们要根据条件经过作辅助线来成立于已知和所求条件相关的全等三角形。HCDDCCAPAPBPPB【全等三角形经典题型】4.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图1所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去玻璃店，就能配一块与原来同样大小的三角形？应该带（）A第1块B第2块C第3块D第4块第4题图23.（8分）已知，在ABC中，ACB=90，AC=BC，点D是AB边上的中点，点E在AC边上，点F在BC边上，且AE=CF。试探究DE、DF两条线段之间的关系，并说明原因。第2

28、3题图24.（8分）用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成四边形ABCD，把一个含60角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60角的极点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转。1）当三角尺的两边分别于四边形的两边BC、CD相较于点E、F时（如图a），经过察看或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？并说明原因。（2）当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD的延长线相较于点E、F时（如图b），你在（1）中获得的结论还成立吗？并说明原因。25.（10分）（1）如图（1），正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接AE，过点A作AFAE交CB的延长线于F，猜想AE与A

29、F的数量关系为。（说明理由）（2）如图（2）在（1）的条件下，连接AC，过点A作AMAC交CB的延长线于M，察看并猜想CE与MF的数量关系。（不必说明原因）解决问题：王师傅有一块如下列图的板材余料，其中A=B=90，AB=AD。王师傅想切下一刀后把它拼成正方形。请你帮王师傅在图（3）中画出剪拼得示意图。王师傅现在有两块同样大小的该余料，能否在每块上各切一刀，然后拼成一个大的正方形呢？若能，请你画出剪拼的示意图：若不能，简要证明原因。20、（此题满分6分）如图，线段AB经过线段CD的中点E，且ACAD.求证：BCBDAECDB第20题25、（此题满分10分）如图，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE90.点A、D、E在同一条