函数与方程高考复习

1、函数与方程高考复习函数与方程高考复习28/28函数与方程高考复习从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也但是是大器晚成第11课函数与方程最新考纲要求内容ABC函数与方程1函数的零点(1)函数零点的定义关于函数yf(x)(xD)，把使函数yf(x)的值为0的实数x叫作函数yf(x)(xD)的零点(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根?函数yf(x)的图象与x轴有交点?函数yf(x)有零点(3)函数零点的判断(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条不中止的曲线，且f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)上有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c

2、也就是方程f(x)0的根2二分法关于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，经过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而获得零点近似值的方法叫作二分法3二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该扎实的去做！从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也但是是大器晚成(x0)，与x轴的交点1,无交点1,(x2,0)(x0)零点个数2101(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的

3、打“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)，xD在区间(a，b)?D内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点()二次函数2bxc在b24ac0时没有零点()(4)yax答案(1)(2)(3)(4)教材改编)函数f(x)x3x的零点个数是_2(e1f(1)e30，f(0)10，f(x)在(1,0)内有零点，又f(x)为增函数，函数f(x)有且只有一个零点3下列函数中，既是偶函数又存在零点的是_(填序号)ycosx；ysinx；ylnx；yx21.由于

4、ysinx是奇函数；ylnx是非奇非偶函数，yx21是偶函数但没有零点，只有ycosx是偶函数又有零点4函数f(x)3xx2的零点所在区间是_(填序号)(0,1)；(1,2)；(2，1)；(1,0)f(2)35，f(1)2，93f(0)1，f(1)2，f(2)5，f(0)f(1)0，f(1)f(2)0，当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该扎实的去做！从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也但是是大器晚成f(2)f(1)0，f(1)f(0)0.5函数f(x)ax12a在区间(1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是_13，1函数f

5、(x)的图象为直线，由题意可得f(1)f(1)0，1(3a1)(1a)0，解得3a1，1实数a的取值范围是3，1.当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该扎实的去做！从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也但是是大器晚成函数零点所在区间的判断(1)函数f(x)x23x18在区间1,8上_(填“存在”或“不存在”)零点已知函数1x2的零点为x，则x所在的区间是(k，k1)(k(2)f(x)lnx200Z)，则k_.2(1)存在(2)2(1)法一：f(1)13118200，f(1)f(8)0，又f(x)x23x18，x1,8的图象是连续的，

6、故f(x)x23x18在x1,8上存在零点法二：令f(x)0，得x23x180，(x6)(x3)0.x61,8，x3?1,8，f(x)x23x18在x1,8上存在零点(2)f(x)lnx1x2在(0，)上是增函数，2又f(1)ln1121ln120，10f(2)ln220，11f(3)ln320，x0(2,3)，即k2.规律方法确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法1定义法：使用零点存在性定理，函数yf(x)必须在区间a，b上是连续的，当f(a)f(b)m，其中m0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_(1)(0,3)(2)(3，)(1)函数f(x)

7、2x2xa在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)2x2xa的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)f(2)0，(a)(41a)0，即a(a3)0，0a3.(2)作出f(x)的图象如下列图当xm时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三个不同的根，则有4mm20.又m0，解得m3.当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该扎实的去做！从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也但是是大器晚成思想与方法1转变思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转变为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转变为函数

8、值域问题2判断函数零点个数的常用方法(1)经过解方程来判断(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断(3)将函数yf(x)g(x)的零点个数转变为函数yf(x)与yg(x)图象公共点的个数来判断3利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分别参数法、数形结合法易错与防范1函数的零点不是点，是方程f(x)0的实根2函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件课时分层训练(十一)当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该

9、扎实的去做！从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也但是是大器晚成A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题若函数f(x)axb有一个零点是，那么函数2ax的零点是12g(x)bx_10，2由题意知2ab0，即b2a.2a1令g(x)bxax0，得x0或xb2.2(2017江期中镇)方程lgxsinx0的解的个数是_lgxsinx0，lgxsinx，分别作出函数ylgx与函数ysinx的图象可知，两个函数有3个交点3已知函数f(x)2x1，x1，则函数f(x)的零点为_1log2x，x1，x11由f(x)0得，210或log2x10，解得x0或x2(舍去)4已知函数2xa(a0)在区间(

10、0,1)上有零点，则a的取值范围为f(x)x_.【导学号：62172061】(2,0)由x2xa0得ax2x.又yx2xx12214x(0,1)，y(2,0)即a(2,0)5已知关于x的方程x2mx60的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是_(，1)设函数f(x)x2mx6，则根据条件有f(2)0，即42m60，解得m1.6若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_(0,2)由f(x)|2x2|b0得|2x2|b.当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该扎实的去做！从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也

11、但是是大器晚成在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如下列图，则当0b2时，两函数图象有两个交点，进而函数f(x)|2x2|b有两个零点2已知函数f(x)x，x2，若关于x的方程f(x)kx有两个不同7x13，0 x2，的实根，则实数k的取值范围是_.【导学号：62172062】1函数y(x1)3在R20k2上单调递增；函数yx在2，)上单调递减，32又因为x2时，(x1)1且x1，所以f(x)的最大值为1，对应点为(2,1)，又ykx过原点(0,0)，所以k101可见1202.0k1，个不同的实根时，实数a的取值范围是_(注：e为自然对数的底数)1，1由题意可知yf(x)与ya

12、x有2个交点，4e11当a4时，易知ylnx与y4x恰有两个交点，当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该扎实的去做！从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也但是是大器晚成设yax与ylnx的切点为(x0，y0)，易知当a1时为临界状态，此时切线x0方程yy010恰过原点(xx)(0,0)x0111解得x0e，即ae，故所求实数a的取值范围为4，e.|x|210(2017启东中学高三第一次月考)已知函数f(x)x2kx(xR)有两个零点，则k的取值范围_.【导学号：62172063】(，0)(0,1)|x|kx2k|x|2(*)，由f(

13、x)0得x2显然x0是f(x)0的一个根，故原命题等价于当x0时，(*)式1k|x|x2有且只有一个根1分别作出yx2及yk|x|的图象，(实线表示k0的情况，虚线表示k0，且x0时，k|x|可化为kx2kx10.由4k24k0得k1或k0(舍去)，结合图象可知，当k(0,1)时合题意(2)当k0，只需f00，34a0，12a0，解得2a4.43故实数a的取值范围为a2a0，为_3，1，1，2由题意知f(f(x)，由1得或1，241f(x)x2x2则函数yf(f(x)1的零点就是使f(x)2或f(x)1的x的值21解f(x)2得x3或x4，解f(x)1得x1或x2，22进而函数yf(f(x)1

14、的零点组成的会集为3，1，1，2.242x2x有实根，求实数a的取值范围3若关于x的方程2aa10 x2解法一(换元法)：设t2(t0)，则原方程可变为tata10，(*)令f(t)t2ata1.若方程(*)有两个正实根t1，t2，a24a10，则t1t2a0，解得1a222；t1t2a10，若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则f(0)a10，解得a1；当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该扎实的去做！从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也但是是大器晚成a若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f(0)0且

15、20，解得a1.综上，a的取值范围是(，22222x1法二(分别变量法)：由方程，解得a2x1，设t2x(t0)，t212则at1tt11t12，其中t，2t111由基本不等式，得(t1)222，当且仅当t21时取等号，故a2t122.4已知二次函数f(x)x216xq3.(1)若函数在区间1,1上存在零点，求实数q的取值范围(2)是否存在常数t(t0)，当xt,10时，f(x)的值域为区间D，且区间D的长度为12t(视区间a，b的长度为ba)解(1)因为函数f(x)x216xq3的对称轴是x8，所以f(x)在区间1,1上是减函数因为函数在区间1,1上存在零点，f10，116q30，则必有即f

16、10，116q30，所以20q12.(2)因为0t10，f(x)在区间0,8上是减函数，在区间8,10上是增函数，且对称轴是x8.当0t6时，在区间t,10上，f(t)最大，f(8)最小，所以f(t)f(8)12t，即t215t520，解得t1517，所以t1517；22当6t8时，在区间t,10上，f(10)最大，f(8)最小，所以f(10)f(8)12t，解得t8；当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该扎实的去做！从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也但是是大器晚成当8t0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab.2几个重要的

17、不等式(1)a2b22ab(a，bR)；ba(2)ab2(a，b同号且不为零)；ab2(a，bR)；(3)ab2(4)ab2a2b222(a，bR)3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为ab，几何平均数为ab，基本不等2式可表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该扎实的去做！从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也但是是大器晚成(1)如果xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2p(简记：积定和最小)2q(2)如果

18、xy是定值q，那么当且仅当xy时，xy有最大值是4(简记：和定积最大)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)1(1)函数yxx的最小值是2.()函数f(x)4，x0，的最小值等于4.()(2)cosxcosx2xy(3)x0，y0是yx2的充要条件()31(4)若a0，则aa2的最小值为2a.()答案(1)(2)(3)(4)2若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()2b22abAaBab2ab112baC.ababD.ab2a2b22ab(ab)20，A错误；关于B，C，当a0，b0，22.abab安徽合肥二模)若，都是正数，则1b14a的最小值为()3(2

19、016ababA7B.8C9D.10，都是正数，1b14ab4a52b4a9，当且C5abababab仅当b2a0时取等号，应选C.14若函数f(x)xx2(x2)在xa处取最小值，则a等于()当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该扎实的去做！从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也但是是大器晚成【导学号：01772209】A12B.13C3D.411C当x2时，x20，f(x)(x2)x222x2x224，当且仅当x21，即时取等号，即当取得最小值时，x2(x2)x3f(x)x3即a3，选C.5(教材改编)若把总长为20m的篱笆围成

20、一个矩形场所，则矩形场所的最大面积是_m2.设矩形的一边为xm，矩形场所的面积为y，1则另一边为2(202x)(10 x)m，则yx(10 x)x10 x225，2当且仅当x10 x，即x5时，ymax25.利用基本不等式求最值12(1)(2015湖南高考)若实数a，b知足abab，则ab的最小值为()A.2B.2C22D.4(2)(2017郑州二次质量预测)已知正数x，知足x22xy30，则2xy的y最小值是_(1)C(2)3(1)由12ab知a0，b0，所以ab1222，即abababab22，当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该扎

21、实的去做！从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也但是是大器晚成12ab，当且仅当即a42，b242时取“”，所以ab的最小12ab，ab值为22.3x231313x3(2)由x22xy30得y2x2x2x，则2xy2x2x2x22x23x33，当且仅当x1时，等号成立，所以2xy的最小值为3.22x规律方法1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”2在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之可以使用基本不等式变式训练1(1)(2016湖北七市4月联考)已知a0，b0，且2ab1，21若不等式a

22、bm恒成立，则m的最大值等于()A10B.9C8D.71(2)(2016湖南雅礼中学一模)已知实数m，n知足mn0，mn1，则m1n的最大值为_(1)B(2)4(1)2122ab2ab42b2a152baababababba121522ab9，当且仅当ab3时取等号又abm，m9，即m的最大值等于9，应选B.(2)mn0，mn1，m0，n0，b0，ab1，求证：111(1)abab8；11a1b9.11111证明(1)abab2ab，ab1，a0，b0，11ababababab2ba224，3分1118(当且仅当ab1时等号成立).5分abab2(2)法一：a0，b0，ab1，111ab2b，

23、同理112a，aaabb11ba1a1b2a2b52ba549，10分ab1111a1b9(当且仅当ab2时等号成立).12分11111法二：1a1b1abab，由(1)知，1118，10分abab11111故1a1b1abab9.12分规律方法1.“1”的代换是解决问题的重点，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形2利用基本不等式证明不等式，重点是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，经过将“和”式转变为“积”式或将“积”式转变为“和”式，达到当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该扎实的去做！从现在开始，不留余力地努力吧，

24、最差的结果，也但是是大器晚成放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到11变式训练2设a，b均为正实数，求证：a2b2ab22.【导学号：01772210】证明由于a，b均为正实数，11112分所以22222，3ababab11当且仅当a2b2，即ab时等号成立，又因为2ab22，ababab222当且仅当abab时等号成立，112所以a2b2ababab22，8分11即ab4当且仅当a2b2，时取等号.12分22ab，ab基本不等式的实际应用运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50 x100(单位：千米/时)假设汽

25、油的价格是每升2元，而汽车每小时耗x2油2360升，司机的薪水是每小时14元(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值130解(1)设所用时间为tx(h)，130 x2130yx2236014x，x50,100.2分所以这次行车总费用y关于x的表达式是130182130yx360 x，x50，100.当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该扎实的去做！从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也但是是大器晚成234013(或yx18x，x50，100).5分130182130(2)y

26、x360 x2610，130182130当且仅当x360 x，即x1810，等号成立.8分故当x1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元.12分规律方法1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数2根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值3在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解变式训练3某化工企业2016年年关投入100万元，购入一套污水办理设备该设备每年的运转费用是0.5万元，其他每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，今后每年的维护费都比上一年增加2万元设该企业使用该设备

27、x年的年平均污水办理费用为y(单位：万元)(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水办理费用最低时，企业需重新更换新的污水办理设备则该企业几年后需要重新更换新的污水办理设备解(1)由题意得，y1000.5x2462x，x100*即yxx1.5(xN).5分(2)由基本不等式得：100100yxx1.52xx1.521.5，8分100当且仅当xx，即x10时取等号故该企业10年后需要重新更换新的污水办理设备.12分当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该扎实的去做！从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也但是是大器晚成思想与方法1基本不

28、等式拥有将“和式”转变为“积式”和将“积式”转变为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转变，然后经过解不等式进行求解2基本不等式的两个变形：22ab2ab(a，bR，当且仅当ab时取等号)22aba2b2abab2，当且仅当时取等号(2)2211(a0b0ab)ab易错与防范1使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可2“当且仅当ab时等号成立”的含义是“ab”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会致使解题错误3连续使

29、用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致课时分层训练(七)二次函数与幂函数A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题12，则k()1已知幂函数f(x)kx的图象过点2，2【导学号：01772040】1B.1A.23D.2C.2当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该扎实的去做！从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也但是是大器晚成12121C由幂函数的定义知k1.又f22，所以22，解得2，进而3k2.函数2mx3，当x2，)时，f(x)是增函数，当x(2f(x)2x，2时，f(x)是减函数，则f(1)的值为()A3B.13C.7

30、D.5函数f(x)2x2mx3图象的对称轴为直线xm4，由函数f(x)的增减区间可知m42，m8，即f(x)2x28x3，f(1)28313.3若幂函数y(m23m3)xm2m2的图象但是原点，则m的取值是()A1m2B.m1或m2Cm2D.m1由幂函数性质可知m23m31，m2或m1.又幂函数图象但是原点，m2m20，即1m2，m2或m1.4已知函数yax2bxc，如果abc且abc0，则它的图象可能是()【导学号：01772041】ABCDcD由abc0，abc知a0，c0，则a0，除掉B，C.又f(0)c0，所以也除掉A.若函数f(x)2axa在区间0,2上的最大值为1，则实数a等于()

31、5xA1B.1C.2D.2B函数f(x)x2axa的图象为开口向上的抛物线，当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该扎实的去做！从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也但是是大器晚成函数的最大值在区间的端点取得f(0)a，f(2)43a，a43a，a43a，解得a1.a1，或3a，41二、填空题6(2017海八校结合测试改编上)已知函数f(x)ax22ax1b(a0)若f(x)在2,3上的最大值为4，最小值为1，则a_，b_.10因为函数f(x)的对称轴为x1，又a0，f21，所以f(x)在2,3上单调递增，所以f34，a222a21b

32、1，即a322a31b4，解方程得a1，b0.7已知P2，Q23，R13，则P，Q，R的大小关系是_.52【导学号：01772042】233212PRQP22，根据函数yx是R上的增函数且225，31323得225，即PRQ.已知函数22ax5在(，2上是减函数，且对任意的x，x8f(x)x121，a1，总有|f(x1)f(x2)|4，则实数a的取值范围是_2,3f(x)(xa)25a2，根据f(x)在区间(，2上是减函数知，a2，则f(1)f(a1)，进而|f(x1)f(x2)|maxf(1)f(a)a22a1，由a22a14，解得1a3，又a2，所以2a3.三、解答题9已知幂函数f(x)x(m2m)1(mN*)经过点(2，2)，试确定m的值，并求知足条件f(2a)f(a1)的实数a的取值范围解幂函数f(x)经过点(2，2)，当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该扎实的去做！从现在开始，不留余力地努力吧，最