2021-2022学年上海外国语大学双语学校高一数学理月考试卷含解析

1、2021-2022学年上海外国语大学双语学校高一数学理月考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）已知=，则sin2+cos（）等于（）ABCD参考答案：A考点：同角三角函数基本关系的运用 专题：三角函数的求值分析：将已知关系式中的“切”化“弦”，整理可得sin+cos=，两端平方后可得sin2=，cos（）=sin（x+）=，从而可得答案解答：解：由已知得：=sin+cos=，（sin+cos）2=1+2sincos=1+sin2=，sin2=，又sin+cos=sin（+），sin（+）=，cos（）=

2、cos（）=sin（x+）=，sin2+cos（）=故选：A点评：本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查诱导公式与二倍角的正弦，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题2. 有下列四个命题：只有在区间上，正弦函数才有反函数；与是同一函数；若函数的最小正周期为，则；函数的最小正周期为.其中正确的命题个数为 （ ）A. B C D参考答案：A3. 下列函数中，既是偶函数又在(0,+)上单调递增的是（）A. B. C. D. 参考答案：B【分析】对选项逐一分析函数的奇偶性以及在上的单调性，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，函数为非奇非偶函数.对于B选项，既是偶函数又在上单调递增.对于C选项，函数

3、是偶函数，但在上递减.对于D选项，函数是非奇非偶函数.故本小题选B.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.4. 已知点（3，1）和点（4.6）在直线3x2y+m=0的两侧，则m的取值范围是（）A（ 7，24）B（7，24）C（24，7 ）D（7，24 ）参考答案：B【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域【分析】根据题意，若两点在直线两侧，则有（3321+m）3（4）26+m0，解可得m的取值范围，即可得答案【解答】解：因为点（3，1）和点（4，6）在直线3x2y+m=0的两侧，所以，（3321+m）3（4）26+m0，即：（m+7）（m24）0，解得7m24，即m的取值

4、范围为（7，24）故选：B5. 已知a=log0.60.5，b=ln0.5，c=0.60.5则( )AabcBacbCcabDcba参考答案：B【考点】对数值大小的比较 【专题】函数的性质及应用【分析】根据指数函数和对数函数的性质即可得到结论【解答】解：log0.60.51，ln0.50，00.60.51，即a1，b0，0c1，故acb，故选：B【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用指数函数和对数函数的单调性是解决本题的关键6. （5分）设点O是面积为4的ABC内部一点，且有+2=，则AOC的面积为（）A2B1CD参考答案：B考点：向量的加法及其几何意义 专题：计算题分析：利用向量的运算法

5、则：平行四边形法则得到O是AB边的中线的中点，得到三角形面积的关系解答：设AB的中点为D，+2=，O为中线CD的中点，AOC，AOD，BOD的面积相等，AOC与AOB的面积之比为1：2，同理BOC与A0B的面积之比为1：2，A0C是ABC面积的，A0C的面积为1故选B点评：此题是个基础题本题考查向量的运算法则：平行四边形法则及同底、同高的三角形面积相等7. 的值是（ ）A B C D 参考答案：B8. 中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M:N为（ ）A. B. 1 C. D. 2参考答案

6、：B9. 已知实数x、y满足x2+y2=4，则的最小值为( )ABCD参考答案：A10. 在ABC中，AB=2，BC=3，ABC=60，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若 ，则+=（）A1BCD参考答案：D【考点】相等向量与相反向量【分析】通过解直角三角形得到BD=BC，利用向量的三角形法则及向量共线的充要条件表示出利用向量共线的充要条件表示出，根据平面向量就不定理求出，值【解答】解：在ABD中，BD=1又BC=3所以BD=O为AD的中点故选D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知x，y0，且满足，则的最小值为_参考答案：16【分析】将所求式子变为，整理为符合基本不

7、等式的形式，利用基本不等式求得结果.【详解】，,故答案为16.【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值的问题，关键是构造出符合基本不等式的形式，从而得到结果，属于常规题型.12. 定义在R上的偶函数f(x)是最小正周期为的周期函数，且当时， ，则的值是 参考答案：13. 若ABC的面积为，BC=2，C=，则边AB的长度等于_.参考答案：214. 已知函数，方程有4个不同实数根，则实数的取值范围是_ _ 参考答案：15. 已知函数的定义域是，对任意都有：，且当时，给出结论：是偶函数；在上是减函数则正确结论的序号是 参考答案：16. 设向量绕点O逆时针旋转, 得向量, 且2+=(8, 9), 则向

8、量=_.参考答案：（-2,5）17. 已知幂函数的图象过，则_ . 参考答案：9略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，E为AB的中点，F为CC1的中点.（1）证明：B F/平面E CD1（2）求二面角D1ECD的余弦值.参考答案：（1）证明：取CD1 中点G，连结FGF为CC1的中点.D1 且FG /C1D1且AB /C1D1且FG /BE四边形FG EB为平行四边形BF /GE4分平面E CD1 平面E CD1 B F/平面E CD17分（2）连结DEAD=AA1=1，AB

9、=2 , E为AB的中点9分平面ABCD E C又 平面E DD1 平面E DD1平面E DD1 E D111分 DED1为二面角D1ECD的平面角. 12分中 中cosDED114分19. 已知数列an满足a1=2，an+1=2（Sn+n+1）（nN*），令bn=an+1（）求证：bn是等比数列；（）记数列nbn的前n项和为Tn，求Tn；（）求证：+参考答案：【考点】8E：数列的求和；8K：数列与不等式的综合【分析】（I）a1=2，an+1=2（Sn+n+1）（nN*），可得a2=8利用递推关系可得：an+1=3an+2，变形为：an+1+1=3（an+1），即bn+1=3bn，即可证明（I

10、I）由（I）可得：bn=3n利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出（III）bn=3n=an+1，解得an=3n1由=，即可证明左边不等式成立又由=，即可证明右边不等式成立【解答】（I）证明：a1=2，an+1=2（Sn+n+1）（nN*），a2=2（2+1+1）=8n2时，an=2（Sn1+n），相减可得：an+1=3an+2，变形为：an+1+1=3（an+1），n=1时也成立令bn=an+1，则bn+1=3bnbn是等比数列，首项为3，公比为3（II）解：由（I）可得：bn=3n数列nbn的前n项和Tn=3+232+333+n?3n，3Tn=32+233+（n1）?3n+n?3n

11、+1，2Tn=3+32+3nn?3n+1=n?3n+1=3n+1，解得Tn=+（III）证明：bn=3n=an+1，解得an=3n1由=+=，因此左边不等式成立又由=，可得+=因此右边不等式成立综上可得：+【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、“错位相减法”、“放缩法”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题20. 设函数f（x）2cos2xcos（2x）（1）求f（x）的周期和最大值；（2）已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A），b+c2，求a的最小值参考答案：（1）周期为，最大值为2.（2）【分析】（1）利用倍角公式降幂，展开两角差的

12、余弦，将函数的关系式化简余弦型函数，可求出函数的周期及最值；（2）由f（A），求解角A，再利用余弦定理和基本不等式求a的最小值【详解】（1）函数f（x）2cos2xcos（2x）1+cos2xcos（2x）+1，1cos（2x）1，T，f（x）的最大值为2；（2）由题意，f（A）f（A）cos（2A）+1，即：cos（2A），又0A，2A，2A，即A在ABC中，b+c2，cosA，由余弦定理，a2b2+c22bccosA（b+c）2bc，由于：bc，当bc1时，等号成立a2413，即a则a的最小值为【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，余弦形函数的性质的应用，余弦定理和基本不等式的应用，是中档题21. 已知二次函数的图象过点，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式参考答案：解法一：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，可设二次函数为ya(x3) (x1) (a0)，展开，得 yax22ax3a， 顶点的纵坐标为 ，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，|4a|2，即a所以，二次函数的表达式为y，或y 解法二：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，对称轴为直线x1又顶点到x轴的距离为2，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 顶点的纵坐标为2，或2于是可设二次函