三垂线定理及逆定理的应用

1、三垂线定理及逆定理的应用第1页，共15页，2022年，5月20日，23点59分，星期六三垂线定理及逆定理的应用第2页，共15页，2022年，5月20日，23点59分，星期六例一：判断下列命题是否正确（）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在平面上的射影。( )（）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行。( )（ 3 ）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在平面上的射影互相垂直。( )错误正确正确第3页，共15页，2022年，5月20日，23点59分，星期六ABDCCABD1111例二：在正方体 中：猜想 和 具有什么特殊的位

2、置关系？能否找到与 具有这种关系的其他面对角线吗？并简要证明。 证明：第4页，共15页，2022年，5月20日，23点59分，星期六 变题: 是 上一动点，在平面 上能否作一条过点 的线段与 垂直 ？ 是面 内一点，在平面 上能否作一条过点 的线段与 垂直？ ABCABCD1D111P.F分析：第一问：显见 过点 作 的平行线即可。第二问：找到 在面内的射影 ，过点 作射影的垂线段即可。 第5页，共15页，2022年，5月20日，23点59分，星期六.EOAPBCD例三：第6页，共15页，2022年，5月20日，23点59分，星期六.EOAPBCDF第7页，共15页，2022年，5月20日，2

3、3点59分，星期六NMPABCD.E 练习：已知，PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点 求证：MN AB第8页，共15页，2022年，5月20日，23点59分，星期六ABDCCABD1111.PO思考：在正方体 中， 是 的中点， 为底面 的中心。求证：分析： 与 异面， 、 既可为平面的斜线，也可为平面内直线。关键在于平面的选择 ,射影的确定。方法一：以 为平面，则 是平面的斜线， 是平面内直线。由条件可知： 平面 ， 则 为 在平面 内的射影。根据三垂线定理，问题转化为证明 即可。第9页，共15页，2022年，5月20日，23点59分，星期六ABDCCABD1111

4、.POM方法二：以 为平面， 是平面的斜线， 是平面内直线。由条件可知： 平面 ， 则 是 在平面内的射影，再构造出 平面 ，找到 在平面内的射影 。因此 是 在平面 内的射影，问题转化为证明 即可。1、不同平面的选择，不同射影的确定，使图形中构造“一面四线”有难有易。2、在空间的任一平面内，平几的公理、定理仍然成立。在解证立几问题时，灵活运用平几知识是十分重要的。第10页，共15页，2022年，5月20日，23点59分，星期六例一：在下列三个命题中，为真命题的共有（ ） 1、如果一条直线和一条斜线在这个平面内的射影垂直，则这条直线和这条斜线垂直 2、如果一条直线和一条斜线垂直，那么这条直线和

5、斜线在这个平面内的射影垂直 3、如果一条直线和一条斜线垂直，也和这条斜线在这个平面内的射影垂直，那么 这条直线在平面内，或者和平面平行 A.O个 B.1个 C. 2个 D.3个B判断命题的真假，应严格按照三垂线定理及逆定理。第11页，共15页，2022年，5月20日，23点59分，星期六ABCEF( )A第12页，共15页，2022年，5月20日，23点59分，星期六引入：道路旁有一条河，河对岸有一嘹望塔，高10米。利用测角仪和皮尺，设计一个合理的方案测出塔顶与道路的距离。ABlCD分析：将道路、塔、河岸抽象为线段或直线。塔顶与道路的距离是点A到L的垂线段长，关键是垂足的确定。假设AC是距离，

6、连结BC，由三垂线定理的逆定理：BC l。因此要确定垂足C，用测角仪测定BC l 即可。问题转化为在Rt ABC中求AC.利用工具构造Rt BCD，求出BC，即得AC.第13页，共15页，2022年，5月20日，23点59分，星期六ABCDO例二：四面体 中， ， 求证：当题中具备了（构造后具备了）定理所需条件“一面四线”可用定理解题。三垂线定理证明异面垂直，逆定理证明共面垂直。分析：AD、BC是两条异面直线。即证两条异面直线垂直。根据三垂线定理，只需证明AD在平面BCD内的射影和BC垂直。因此可作AO 平面BCD于O点，问题转化为证明OD BC。连结BO、CO，根据三垂线定理的逆定理可证：BO CD，CO BD，确定O是 BCD的垂心，则OD BC得以解决。 第14页，共15页，2022年，5月20日，23点59分，星期六三垂线：反映了“一面四线”的三种垂直关系（垂线和平面、平面内的直线