《信号与系统》第五章连续系统的复频域分析

1、第五章 连续系统的s域分析5.1 拉普拉斯变换5.2 拉普拉斯变换的性质5.3 拉普拉斯变换逆变换5.4 复频域分析 频域分析以虚指数信号ejt为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2t(t);（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。 本章引入复频率 s = +j，以复指数函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率 s ，故称为s域分析。引言（1）掌握单边拉普拉

2、斯变换的定义和性质；（2）掌握拉普拉斯逆变换的计算方法（部分分式分解 法）；（3）掌握系统的拉普拉斯变换分析方法；（4）掌握系统函数和频率响应的概念；（5）掌握系统的框图表示。教学基本要求若乘一衰减因子 其中 为任意实数，则 收敛，便满足狄里赫利条件一、从傅里叶到拉普拉斯变换有几种情况不满足狄里赫利条件：5.1 拉普拉斯变换相应的傅里叶逆变换 为令 , ，有5.1 拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换对 称为 的双边拉氏变换（或象函数）， 称为 的双边拉氏逆变换（或原函数）。 符号表示：5.1 拉普拉斯变换 从上述推导过程可得：（1） 可看成是信号 的傅里叶变换；（2）也可看成是信号 的双边拉氏变换；

3、（3） 是拉氏变换在 的特例； 物理意义：信号 可分解成复指数信号 的线性组合。5.1 拉普拉斯变换（4）许多原来不存在傅里叶变换的信号都可能存在拉氏变换；二、收敛域 拉氏变换存在的充分条件：（5）拉氏变换的物理概念不如傅里叶变换的概念清楚。使f(t)拉氏变换存在的的取值范围称为拉氏变换的收敛域。 下面举例说明拉氏变换收敛域的问题。5.1 拉普拉斯变换例1: 因果信号 ，求其拉普拉斯变换。 解： 对于因果信号，仅当Res=时，其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。收敛域收敛边界因果信号的收敛域为某直线的右半平面5.1 拉普拉斯变换例2 :反因果信号 ，求其拉普拉斯变换。 解： 对于反因果信号，仅当

4、Res=时，收敛域：Res当 2Res= 3 3 2象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。5.1 拉普拉斯变换例5： 时间有限信号时间有限信号的收敛域为S全平面。5.1 拉普拉斯变换通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。 三、单边拉氏变换 5.1 拉普拉斯变换简记为（1） 的单边拉氏变换和双边拉氏变换可能相等也可能不相等；说明：（2） 的双边拉氏变换和 的单边拉氏变 换相等；5.1 拉普拉斯变换（3）满足 的信号称为指数阶信号，指数阶信号的单边拉氏变换一定存在；（4） 等信号比指数函数增长快，找不到收敛坐标，为

5、非指数阶信号，无法进行拉氏变换；（5）有界的非周期信号的拉氏变换一定存在；（6）一般求信号的单边拉氏变换可以不加注其收敛 范围。5.1 拉普拉斯变换四、常用函数的拉普拉斯变换 1. (t) 2. (t)或1 3. 指数函数 Res0(t) 0 01， - s， -1/s ， 05.1 拉普拉斯变换4. 周期信号 05.1 拉普拉斯变换5. 矩形脉冲信号 特例：5.1 拉普拉斯变换五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系 Res0 要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。 根据收敛坐标0的值可分为以下三种情况： （1）0-2； F(j)=1/( j+2)5.1 拉普拉斯变换（2）0 =0，即F(s)的收

6、敛边界为j轴， 如f(t)= (t)F(s)=1/s = () + 1/j （3）0 0，F(j)不存在。 如f(t)=e2t(t) F(s)=1/(s 2) , 2； 其傅里叶变换不存在。5.1 拉普拉斯变换一、线性性质例1：二、尺度变换5.2 拉普拉斯变换性质例2：如图信号 的拉氏变换求图中信号 的拉氏变换 。解：5.2 拉普拉斯变换性质三、时移（延时）特性 若 且有正实常数t00则与尺度变换相结合例3: 求下图所示信号的单边拉氏变换。5.2 拉普拉斯变换性质解：例4：例5:5.2 拉普拉斯变换性质5.2 拉普拉斯变换性质解：例6: 已知 求5.2 拉普拉斯变换性质四、复频移（s域平移）特

7、性 例7: 已知因果信号 的象函数求 的象函数。 且有复常数5.2 拉普拉斯变换性质五、时域的微分特性（微分定理） 若 为因果信号，则例8:例9: 例10:5.2 拉普拉斯变换性质六、时域积分特性（积分定理） 例11:5.2 拉普拉斯变换性质例12:已知因果信号 如图 ，求解：对 求导得 ，如图结论：若 为因果信号，已知 则5.2 拉普拉斯变换性质七、卷积定理 时域卷积定理 若因果信号 则复频域（s域）卷积定理 例14：例13：5.2 拉普拉斯变换性质八、s域微分和积分 例15：5.2 拉普拉斯变换性质例16：例17：5.2 拉普拉斯变换性质九、初值定理和终值定理 初值定理：设函数f(t)不含

8、(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，若F(s)为假分式化为真分式），则 5.2 拉普拉斯变换性质终值定理： 若f(t)当t 时存在，并且 f(t) F(s) , Res0, 00，则 注意：终值定理是取S 0的极限，因而S=0的点 应在SF(S)的收敛域内，否则不能应用终值定理5.2 拉普拉斯变换性质例18：解1：解2：5.2 拉普拉斯变换性质例19：解：解：例20：假分式5.2 拉普拉斯变换性质例21：例22：5.2 拉普拉斯变换性质线性时域微分时移频移尺度变换5.2 拉普拉斯变换性质终值定理卷积定理初值定理时域积分时域积分时域积分5.2 拉普拉斯变换性质 直接利用定义式求反变换-复变函

9、数积分，比较困难。 通常的方法 （1）查表 （2）利用性质 （3） 部分分式展开 -结合 一般象函数F(s)是s的有理分式，可写为 若mn （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。 5.3 拉普拉斯逆变换由于L-11=(t)， L -1sn=(n)(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。下面主要讨论有理真分式的情形。 一、查表法 见课本5.3 拉普拉斯逆变换ai,bi为实数，m,n为正整数。s1, s2, sm是B(s)=0的根，称为F(s)的零点p1, p2, pn是A(s)=0的根，称为F(s)的极点二、部分分式展开法分解5.3

10、拉普拉斯逆变换 找出F(s)的极点 将F(s)展开成部分分式 求f(t)2、部分分式展开法 (真分式，mn)1、拉氏逆变换的过程根据极点的情况分别讨论： F（s）有实单极点 F（s）共轭单极点 F（s）有重极点5.3 拉普拉斯逆变换（1）F(s)为单阶实极点例1：5.3 拉普拉斯逆变换5.3 拉普拉斯逆变换例2：5.3 拉普拉斯逆变换5.3 拉普拉斯逆变换（2）F(s)包含共轭单极点(p1,2 = j)K2 = K1* f1(t)=2|K1|e-tcos(t+)(t) 若写为K1,2 = A jBf1(t)= 2e-tAcos(t) Bsin(t) (t) 5.3 拉普拉斯逆变换例3：5.3

11、拉普拉斯逆变换5.3 拉普拉斯逆变换5.3 拉普拉斯逆变换5.3 拉普拉斯逆变换例4：例5：5.3 拉普拉斯逆变换（3）F(s)有重极点（重根） 若A(s) = 0在s = p1处有r重根， K11=(s p1)rF(s)|s=p1， K12=(d/ds)(s p1)rF(s)|s=p1 5.3 拉普拉斯逆变换例6：5.3 拉普拉斯逆变换5.3 拉普拉斯逆变换2.含e-s的非有理式三、F(s)两种特殊情况1.非真分式真分式多项式 （作长除） 5.3 拉普拉斯逆变换一、微分方程的变换解 描述n阶系统的微分方程的一般形式为 系统的初始状态为y(0-) ,y(1)(0-),，y(n-1) (0-)。

12、思路：用拉普拉斯变换微分特性若f (t)在t = 0时接入系统，则 f (j )(t) s j F(s)5.4 复频域分析yzs(t)Yzi(s)Yzs(s)yzi(t)y(t)=+5.4 复频域分析例1： 描述某LTI系统的微分方程为 y(t) + 5y(t) + 6y(t) = 2f (t)+ 6 f (t)已知初始状态y(0-) = 1，y(0-)= -1，激励f (t) = 5cost(t)，求系统的全响应y(t)。解： 方程取拉氏变换，并整理得Yzi(s)Yzs(s)若已知y(0+)=1，y(0+)= 95.4 复频域分析y(t)= 2e2t (t) e3t (t) - 4e2t (

13、t) + yzi(t)yzs (t)自由响应(暂态响应)强迫响应(稳态响应)5.4 复频域分析总结：与时域分析的不同：初始值的关系：5.4 复频域分析二、系统函数 H(s)的求解方法：1. 2. 已知微分方程，在零状态下做拉氏变换3. 已知系统框图，找出零状态下系统的响应与 激励的关系；4. 已知电路图，由电路图的s域模型来求解。5.4 复频域分析例2： 已知当输入f (t)= e-t(t)时，某LTI因果系统的零状态响应 yzs(t) = (3e-t -4e-2t + e-3t)(t)求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。 解：h(t)= (4e-2t -2e-3t) (t)微分方程为

14、y(t)+5y(t)+6y(t) = 2f (t)+ 8f (t) s2Yzs(s) + 5sYzs(s) + 6Yzs(s) = 2sF(s)+ 8F(s) 取逆变换 yzs(t)+5yzs(t)+6yzs(t) = 2f (t)+ 8f (t) 再求g(t)?若y(0-)=1, y(0-)=-1,求yzi(t)5.4 复频域分析例3:描述一线性时不变因果连续系统的微分方程为 （1）求该系统的冲激响应 和频率响应 。 （2）初始状态 , ，试求零输入响 应 。（3）若输入信号为 ，求系统的零状态响应 。5.4 复频域分析三、系统的s域框图 （因果信号）时域模型S域模型5.4 复频域分析X(s)s-1X(s)s-2X(s)例4： 如下框图，列出其微分方程解： 画出s域框图,s-1s-1F(s)Y(s) 设左边加法器输出为X(s)，如图X(s) = F(s) 3s-1X(s) 2s-2X(s) s域的代数方程Y(s) = X(s) + 4s-2X(s) 微分方程： y(t) + 3y(t) + 2y(t) = f (t)+ 4f (t) 再求h(t)?5.4 复频域分析四、电路的s域模型 1、电阻 u(t)= R i(t)2、电感 U(s)= R I(s)5.4 复频域分析U(s