高中数学人教A版高中必修1第三章 函数的应用-方程的根与函数的零点教学设计

1、方程的根与函数的零点教学设计教学目标：1结合方程的根的概念，初步领会函数零点的概念，培养学生函数与方程的数学思想；2学生亲历函数零点存在条件的探究过程，构建函数零点存在性的判断方法，培养学生数形结合的数学思想及辩证思维能力；3利用函数零点的概念及零点存在性定理进行辨析及解决简单的具体问题，培养学生的逻辑思维能力，培育理性精神。教学重点：函数零点的概念，连续函数在给定区间上存在零点的判断。教学难点：如何引导学生发现函数零点与对应方程的根之间的关系；利用函数零点的概念引导学生自主探究“零点存在性定理”的条件。教学过程：设立目标，自主学习问题1：判断下列方程的根的个数。（1）；（2）；（3）学生1：

2、第一个方程只有一个根，第二个方程有两个不同的根，对于第三个方程不知道怎么去判断。设计意图：问题1中（1）、（2）是学生已经学习过的一元一次方程和一元二次方程，很容易判断它们的根的个数，对于（3）中的超越方程以及学生现在的知识水平没有办法判断根的个数。以问题为主导产生认知冲突，激发学生的求知欲望。二情境再现，共建知网问题2：填写下表 方程方程的根 函数 函数图象函数图象与x轴的交点教师：观察图表，方程的根与对教师应函数图象与x轴的交点有什么关系？学生2：方程有几个根，函数图象与x轴有几个交点；方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标。教师：其中一次方程的根叫做对应一次函数的零点，二次方程的根叫做对

3、应二次函数的零点，对数方程的根为其对应的对数函数的零点。能否从一般性的角度来给函数的零点下个定义？学生3：对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。教师：板书函数零点的概念。教师：既然我们已经给函数零点下了定义，再观察表格，方程f(x)=0的根，函数y=f(x)的零点，函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标这三者之间有什么关系？学生4：方程的根就是其对应函数的零点也是函数图象与x轴交点的横坐标。这三者是等价关系。教师：板书三者之间的关系。设计意图：设计问题2，通过对函数图象的观察，经历根的求解过程，抓住问题的本质，从感性认识上升到理性认识，助推认识的升华。通过

4、分析、比较，提炼出函数的零点这个概念，生成概念也就顺理成章。我们知道，数学概念的教学是发展学生数学核心素养的重要载体，在教学中，设置情境，剖析问题，让学生弄清概念的来龙去脉，理解概念进而才能灵活运用概念。例1 下列函数是否有零点？若有请求出它的零点，若没有请说明理由。(1)；(2)；(3)学生5：在（1）、（2）问中，直接令f(x)=0,分别得出各一个解为：，所以函数有一个零点。在（3）问中，当时，令f(x)=0，得x=3（舍）；当时，令f(x)=0，得x=-1（舍），所以函数没有零点。教师：回答的非常好，请问还有不同的方法吗？学生6：可以作函数图象，判断图象与x轴是否有交点，有几个交点。教师

5、：非常棒！其实我们判断函数是否存在零点或者求函数零点时，既可以利用函数图象解决，也可以通过解函数相应的方程来解答。设计意图：例1涉及函数的图象，性质和函数的零点等。让学生温习旧知识的同时，能够多角度地理解零点的概念，这即培养了数形结合思想，又提升了直观想象素养。三合作探究，建构定理问题3：（1）观察二次函数的图象，完成下列问题：函数在区间内有零点吗？在区间内呢？学生7：由图象观察得到，函数在区间和内都有零点。（2）作出函数的图象，并完成下列各题： 学生8：作图后易知， 设计意图：让学生亲历直观想象、逻辑推理和数学运算的过程，探求函数在不同区间的端点值，感受函数在给定区间存在零点的充分条件，为建

6、构定理奠定基础。问题4：观察下列函数图象，判断的符号，函数在区间内是否有零点？ 学生9：，函数在区间内没有零点。 教师：很好！对于区间，如果时情况怎样呢？ 学生9：，函数在区间内没有零点。 教师：非常好！对于区间，如果时情况怎样呢？ 学生9：，函数在区间内没有零点。 教师：很好，请问第二幅图呢？ 学生10：，函数在区间内没有零点。 教师：大家都非常棒！下面请分组讨论一下，如果将区间在x轴上滑动，函数在区间满足什么条件时在区间内有零点？ （学生分组讨论后，回答问题）学生11：如果函数y=f(x)在区间上图象不断开，函数y=f(x)在区间内就有零点。教师：你刚才说“函数y=f(x)在区间上图象不断

7、开”用数学语言描述就是“函数y=f(x)在区间上图象是连续不断的一条曲线”，此时函数y=f(x)在区间内就一定有零点吗？学生11：还要满足。教师：请你用数学语言完整地表达出这个结论。学生11：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y=f(x)在区间内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根。教师：很好，这就是我们今天要学习的零点存在性定理。（教师板书并强调此定理的两个要点）下面请同学们思考这样一个问题。例2 已知函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，下列结论正确的是（ ）A.若，则函数在区间内没有零点；B.若函数在区间内有零点，则；C.若，则函数在区间内有且仅有一个

8、零点；D.若，则函数在区间内至少有一个零点。学生12：在二次函数中，有，但函数在区间内有零点，A选项错误；同样二次函数在在区间内有零点，B选项错误；在连续不断的函数图象中，但函数在区间内有多个零点，所以D选项正确。教师：很好，请大家思考一下C选项在什么情况下是正确的？众生：函数在区间上单调。教师：非常好！设计意图：通过例2对函数零点存在性定理做进一步剖析、理解，让学生理解是函数在区间内有零点的充分不必要条件。通过对例2的辨析，提升学生的应变能力，完善学生思维的严密性。四、案例分析，整合拓展例3 指出函数零点所在的大致区间（ ）A、（1,2） B、（2,3） C、（3,4） D、（4,5）学生1

9、3：，所以选B。教师:很好，我们已经判断出该函数在区间（2,3）内有零点了，请该函数问有几个零点？学生14：因为该函数是一个增函数加上一个增函数为增函数，在定义域内单调，所以只有一个零点。教师：还有其他方法吗？学生15：函数的定义域为，令，则得方程，这个方程的解所表示的点既在函数的图象上，也在的图象上，所以函数的零点就是函数与函数图象交点的横坐标。设计意图：通过上述例题可以检验学生对函数零点存在性定理的理解、掌握、运用的程度，拓展学生的思维空间，培养学生严谨的思维习惯，提升学生的数学运算能力、直观想象和逻辑推理等素养。练习（1）函数的零点所在的一个区间是（ ）A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D(1,2)判断函数的零点个数。五反思小结，完善提升教师：通过本节课的学习，你学到了哪些知识？学生16：本节课我们主要学习了两个内容：（1）函数零点的概念及求函数零点的方法；（2）判断函数在给定区间是否存在零点的方法，即零点存在性定理。还知道了函数零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间的等价关系。教师：注意函数零点存在性定理有两个要点：（1）函数图象在区间上要连续；（2）函数在区间端点处的函数值异号。教师：这节课我们