南开大学数学期末考试试题

1、2022 年一、（11 分）求定积分11x dx x. 2 x1y2,x22 y0,争论f x y 在 0,0二、（12分）设f x y , 0122 xy2 sin点是否连续？偏导数xf0,fx ,y 在 0,0 点是x2y200,0,yf0, 0是否存在？假如存在,争论否可微？三、（12 分）设z2 y f xy,x, f 具有连续二阶偏导数,试求z,2z；yxx y四、（ 10分）求曲面2x2y22z25在点 1,1,1处的切平面与法线方程；五、（2 918 分）求以下二重积分：（1 ）xydxdy,其中 D 是由yx2x0,y2x和y0所围成的区域；D（2 ）x+y dxdy,其中 D

2、 是由曲线x+y2和坐标轴所围成的区域；D六、（ 10分）求函数f x y , xy 在条件2x2y224下的最大值,最小值；七、（10 分）求三重积分I2 z dxdydz,其中是由平面xyz1与三个坐标面所围成的区域；八、（10分）设是三个坐标面和xyz2围成的四周体的表面,求曲面积分xyzdS2九、（ 7 分）设f x 连续,且恒大于零,y2t2.2 f x2 y2 z dV2 f x2 ydxdyF t f x2y2dxdy,G t D t tt2 f x dx,D t 其中tx,y,z|x2y22 zt2,Dtx,y|x2（1 ）争论Ft在区间,0内的单调性；（2 ）证明当t0,时F

3、t2Gt. 1 / 4 2022 年一、（ 10分）求定积分 1 x dx；0 1 x1 2 2xy cos 2 2 , x y 0二、（ 12分）设 f x y x y,争论 f x y 在 0,0 点是否连2 20, x y 0续？偏导数 xf 0,0,yf 0, 0 是否存在？假如存在,争论 f x , y 在 0,0 点是否可微？三、（ 10分）设 z x f xy 2 2, y , f 具有连续二阶偏导数,试求 z,2z；x x x y四、（ 10分）求曲面 x 22 y 2z 24 在点 1,1,1处的切平面与法线方程；2 2五、（ 10分）求函数 f x y , 2 x 3 y

4、在圆域 D , x y x y 13 上的最大值,最小值；六、（ 13分）求三重积分Ix2y22 z dxdydz,其中:x2y2z2, 0zc；a2b2c2七、（ 2 918分）求以下二重积分：y2；（1 ）xy dxdy,其中D:xDx（2 ）x eydxdy ,其中D: 0 x1,0 xy1；D八、（ 10分）设是三个坐标面和xyz1围成的四周体的表面,求曲面积分xyzdS；2九、（ 7 分）设f x 0在a b 上连续,b af x dxA ,证明：bf x ef dxb1dxba baA；aaf x 2 / 4 2022 年 x 2 y 2 sin 2 12 , x y 0,0一、（

5、13 分）争论函数 f x y , x y 在 0,0 点是0, x y 0,0 否连续？偏导数 f x 0,0 , f y 0 0, 是否存在？以与在 0,0 点是否可微？2二、（12 分）设 z x 3f xy , y , f 具有连续的二阶偏导数,试求 z, z；x y x y2 2 2三、（12 分）在曲面 3 x y z 16 上求一点, 使曲面在此点的切平面与以下直线平行：l 1 : x 3 y 6 z 1 ,4 5 8l 2 : x y z四、（11 分）求 z x y 2 4 x y 在 D x , y | x y 6 , x , y 0 上的最大值, 最小值；2五、（10 分）运算 | y x | dxdy , 其中 D : 0 x ,1 0 y 1D六、（12 分）运算 x y z 2 dV , 其中 是 x 2y 2z 2R 2的球体；2 2 2七、（12 分）运算曲面积分 I ydydz xdzdx z dxdy,其中 为锥面 z x y在平 面 z 2 与 z 3 之间的内侧；2 2 2八、（12 分）设 是单位球面 x y z 1 的外侧,求曲面积分xdydz ydxdz zdxdyI 2 2 2