华师一附中届高三第一轮复习教案第二讲绝对值不等式

1、其次讲 肯定值不等式教学目的：懂得肯定值的定义及几何意义,并能求解和证明简洁的含肯定值的不等式教学重点：求解和证明简洁的含肯定值的不等式教学难点：懂得和敏捷应用重要的不等式 | a | | b | | a b | | a | | b |【学问概要】学问点 1 肯定值的定义|a|a ,a0,正数的肯定值是它的本身,负数的肯定值是它的相反数,零的肯定值仍是零即0,a0,a a0.肯定值的几何意义：一个数的肯定值,是数轴上表示它的点到原点的距离去掉肯定值符号的方法：方法一：利用定义去掉肯定值符号；方法二：利用平方去掉肯定值符号（a22 a aR ）关于含有肯定值的不等式的问题,主要包括两类：一类是解

2、不等式,另一类是证明不等式；学问点 2 含肯定值的不等式的性质bb；（ 1）a bab;aab0bb（ 2） |a|b| |ab| |a|b|证： 假如ab0,那么aba.b所以ababab.假如ab0,那么abab .所以abab aba 依据的结果,有abbabb,就是,abba；aba当ab b0时,左边等号成立；当ab0 时,右边等号成立|a|b| |ab| |a| |当ab b0时,左边等号成立；当ab0时,右边等号成立|a|b|ab| |a| | b 学问点 3 简洁肯定值不等式的解法|x|aa 0 xa 或 x-a；|x| aa 0-axa |ax+b| c 或|ax+b| cc

3、 0类型的不等式的解法：|ax+b| cc 0ax+b c 或 ax+b -c；|ax+b| cc0-cax+b c. 【基础题典例解析】例 1 （解肯定值得不等式）或解不等式：（1）|x+2|-|2x- 1| 1（2）|x211x21|x解：（1）零点区间争论法；原不等式等价于：xx,22 x112 x22x2x1,或x1,2x1 1.；解之得 或0 x1 或 21 x2,即 0 x2；原不等式的解 22211x2集为0, 2；x3 ,x22 1及y.1在同一坐标系中作出上解法二：数形结合,构造函数：y=|x+2|-|2x-1|=3x,1x2述两个函数的图像,可由图像得原不等式的解为：x3,

4、x120 x2；指出： 解法一：（分类争论思想） ：令每个肯定值符号里的一次式为0,求出相应的根；把这些根由小到大排序,它们把实数轴分成如干个小区间；在所分区间上,依据肯定值的定义去掉肯定值符号,争论所得的不等式在这个区间上的解集；这些解集的并集就是原不等式的解集；解法二：（函数与方程思想） ：构造函数 f x | x a | | x b | c,写出 f x 的分段解析式作出图象,找出访 f x 0（或 f x 0）的 x 的取值范畴即可；解法三：（数形结合思想）利用肯定值的几何意义求解,| x a | | x b | 表示数轴上点 Px到点 Aa、Bb距离的和；关键找出到 A、B 两点距离

5、之和为 c 的点, “”取中间, “”取两边；x 0（ 2）不等式同解于 x 0 或x 211 x 21 x 或 x 211 x 21 x,解得 x 0 或 3 x 7 或0 x 6 15 或 x 6 15 . 原不等式的解集为 , 6 15 3 7, 6 15 , ；例 2 （解肯定值得不等式）当1设函数fx|x1|x2|,求不等式fx3的解集；x0；解： 当x1时,有fx 1x2x32x；由fx3得32x3,解得x2时,有fx x12x1；此时,不等式fx 3无解；当x2时,有fxx1x22x3；由fx3得2x33,解得x3；或x0故不等式fx3的解集为 , 0 3, ；指出：可画出数轴如

6、图,| AB|1,| PB|1,| PA|1,故由图可得x3例 3 （含参数的肯定值不等式的解法）解关于 x 的不等式：xxa2a2a0；a2a2, 即xx2a2a20,9解： 当xa 时,不等式可转化为:xa9xx99 axax3617a, 即xa2 a2, 0当xa 时,不等式可化为:xax 2 a2ax a9x29 axxa或2 axa .；33不等式的解集为,a2 a,3617a ；33例 4 （肯定值不等式的证明）（ 1）已知xac,ybc,求证：xy ab c .c22（ 2） 已知xa,ya.求证：2 x3ya；46（ 3） 已知 fx=x2-x+13 ,且 |x-a|1. 求证

7、： |fx-fa|2|a|+1；证：（1）xy abxa yb xayb（1）xac,ybc,xaybccc（ 2） 由（1）,（2）得：xyab 2222（ 2）xa,ya,2xa,3ya,2x3y2x3yaaa；462222（ 3） |x-a|1, |fx-fa|=|x2-x-a 2+a|=|x-ax+a-1|x+a-1|=|x-a+2a-1| |x-a|+|2a-1|1+|2a|+1 =2|a|+1. 例 5 （含参数的肯定值不等式的解法）已知关于 x 的不等式|x3|x4|a；x5 2,（ 1）当a2时,解上述不等式；（ 2）假如关于x 的不等式|x3|x4|a的解集为空集,求实数a

8、的取值范畴；解：（1）a2时,原不等式为|x3|x4|2,当x3时,原不等式化为72x2,解得5x3,当3x4时,原不等式化为12,3x4；当x4时,原不等式化为2x72,解2得x9,4x9；2213时,综上,原不等式解集为x|5x9；22（ 2）作出函数y|x3|x4|与ya的图象,如使|x3|x4|a解集为空集,只须y|x3|x4|的图象在ya的图象的上方,或ya与y1重合,a1；所以 a 的范畴为 , 1；2x7x4解法二：y|x3|x4|13x4；当x4时,y1；当3x4时,y1；当x72xx3y1,综上y1,原问题等价为a|x3|x4| min,a1；解法三：|x3|x4|x3x4|

9、1,当且仅当x3x40时,上式取等号,a【综合题典例解析】例 1 解不等式：2x1|1|. -2x2x-1. 解得 x1 ,再与 x0 求交集得 2xx解： 不等式中 x 取值范畴是x 0, x 1.（ 1）当 x0 时, x-10, 原不等式变形为解集是 x|x-1. （ 2）当 0 x1 时, x-10, 原不等式变形为 2x21 时,x-10, |x|=x0,原不等式变形为 2x2x-1 ,其解集是全体实数再与 x1 求交集,可得解集为 x|x1. 综上,可得原不等式的解集为 x|x1. 例 2 对任意实数 x,如不等式 |x+1|-|x-2|k 恒成立,求 k 的取值范畴；解： 依据肯

10、定值几何意义：|x+1| 可以看做是点 x 到点 -1 的距离, |x-2| 可以看做是点 x 到点 2 的距离,我们在数轴上任取三个点 xA-1,-1x E2,从图 1-2-6 中可以看出： |x A+1|-|x A-2|=-3, |x D+1|-|x D-2|=3, -3|x E+1|-|x E-2|3. kk ,3 x 2 .从图象可以看出,只要 k-3 即可；例 3 已知不等式 | ax b | 2 a 0 的解集为 x | 1 x 5 ,求实数 a、b 的值 . 解： 原不等式等价于 2 ax b 2 . 当 a 0 时 ,解之得 2a bx 2a b,与 1 x 5 比较系数得 2

11、 2b a b5 1,a ,1 b 3a当 a 0 时,解之得 2a b x 2a b,与 1 x 5 比较系数得 2a2 bb 15 ,解得 a ,1 b 3 . a综上所述 , a ,1 b 3 或 a ,1 b 3 . 例 4 求不等式 | log 1 x | | log 3 1 | 1 的解集3 3 xx 0解： 对数必需有意义,即解不等式组 1 0 ,0 x3,原不等式可化为 |log 3x|+|lo g 33- x| 13 x（ 1）当 0 x1时,不等式化为-log 3x+lo g33-x 1即 log 33-x log 33x, 3- x3x, x4 3 ,综合得： 0 x3

12、4（ 2）当 1x2时,即 lo g3x+lo g33- x log33 x2-3x+30, x （ 3）当 2x3 时, lo g3x-lo g33- x log 33 x33-x, x9 ,结合前提得：49 x340；1；综上,原不等式的解集为0, 39 4, 3 4例 5解关于 x 的不等式：（ 1）|xlogax|x|logax|a1；（2）23x2xa 2x2x（已知a0）；解：（1）分析：|ab|a|b|,“ =”当且仅当ab0时成立,如|ab|a|b|,就ab依据肯定值三角不等式,原不等式可化为xlogax0；又x0,logax0,a1,0 x不等式的解集为0|0 x1；a0（

13、2）2x0,原不等式等价于24x22xa22x1,即4 2x4xa4xa化为4x1 4x 当 a 1 时,1 4 x a,原不等式解集为 x | 0 x log 4a ； 当 a 1 时, 4 x 1 2 0,原不等式无解；x 当 0 a 1 时,a 4 1,原不等式的解集为 x | log 4 a a 0 ；2 2例 6 关于 x 不等式 x a 1 a 1 解集为 A ,关于 x 不等式 x 23 a 1 x 2 3 a 1 02 2的解集为 B, 如 A B A,求实数 a 的取值范畴；解：由 x 1 a 1 21 a-1 2,得-1 a-1 2x-1 a+1 21 a-1 2. 解得

14、2axa 2+1. A=x|2a xa 2+1, 2 2 2 2 2aR. 由 x2-3a+1x+23 a+1 0,得 x-2x- 3a+10.当 3a+12,即 a1 时,得 B=x|2 x3a+1； 当 3a+12 ,即 a3（ 1）当 a1 时,由 A3 B,得 2a 2 2 a1 ,3 a 1 .解得 1a3.（ 2）当 a0 , 2x2+mx-1=0 的两根在 -1 ,1上,即 fx 的图f10,2m10 ,0 的解集2,像与 x轴交点在 -1,1 上；f 1 0,2m10 ,-1m1；当 -1m1时, fx1m14m44为CAB；（ 2） m A, x B|m| 1, x21 ,

15、|fx|=|2x 2+mx- 1| |2x 2-1|+|mx|=1-2x22+|mx| 1-2x2+|x|=-2|x|2+|x|+1=-2|x|-1 2+ 49 9 ；当且仅当 |x|=8 81 时,等号成立；4|fx|9 ；8例 12 已知 a、b、 c 是实数,函数fx=ax2+bx+c, gx=ax+b,当-1x1时, |fx|1.（ 1）证明： |c| 1;（2）证明：当 -1x1时, |gx|2;（ 3）设 a0 ,当 -1x1时, gx 的最大值为2,求 fx 证：（1）由条件当 -1x1时, |fx|1. 取 x=0, 得|c|=|f0|1, 即|c| 1.（ 2）当 a0 时,

16、 gx=ax+b在-1,1 上是增函数g- 1 gx g1.|fx|1-1x1,|c| 1, g1=a+b=f1- c|f1|+|c|2,g-1=-a+b=-f- 1+c -|f- 1|+|c|-2.由此得 |gx|2;当 a0 , gx 在-1,1上是增函数,当x=1 时取最大值2,即 g1=a+b=f1-f0=2. fx=0-1f0=f1-21-2=-1, c=f0=-1., 当 -1x1时, fx -1,即 fx f0.由二次函数性质知,直线为 fx 的图象的对称轴,由此得-b=0,即 b=0 由 a+b=2 ,得 a=2 , fx=2x2-1. 0 2a例 13 设fx ax2bxc

17、,当|x|1时,总有|fx|1,求证： |f2 | 7. 证： |x| 1,|f0 | 1,|f1 | 1,|f 1| 1,f0 cabbcc,af1 2f1bf1 2f1,f 1af1cf 0 |f24 a2 bc4f12f 1f0f2f12f 1f03 1f 13 0f2 | |3 1f13 03|f1| 1| 3|f0 | 7；方法二： 当 |x| 1时,|fx| 1,|f0| 1,即|c| 1又|f1| 1, |f-1| 1,|a+b+c| 1, |a-b+c| 1又|a+b+c|+| a-b+c|+2| c| | a+b+c+a-b+c-2c|=|2a|,且 |a+b+c|+|a-b

18、+c|+2| c| 4,|a| 2 |2b|=|a+b+c-a-b+c| | a+b+c|+| a-b+c| 2, |b| 1,|f2|=|4 a+2 b+c|=|f1+3 a+b| | f1+3| a|+|b| 8,即 |f2| 81, |F-1| 1,证明：例14 给定函数 Fx=ax2+bx+c ,以及 Gx=cx2+bx+a ,其中 |F0|1, |F1|对于 |x| 1 有：（1）|Fx|5 ；4（2）|Gx| 2；F1 F 1 , 解：（1） F0=c, F1=a+b+c, F-1=a-b+c. a=F 1 F12F0 , b=22Fx=ax2+bx+c, F 1 F1 2F0）x

19、2F 1 F1）x+F0 22|1x2|,xx1F 1 x x1 F1 1x2F0 .22xx1 |F1 |xx1 |F1 |1x2|F0 |xx1 xx1 2222-1x1, 01+x2, 0 1-x21, |Fx| x 1+x+ 2| x|1-x+1-x2=-x 2+|x|+1 2=-|x|-1 2+ 25 5 . |Fx|4 45 ；4（ 2）|Gx|=F0 x2F1F1 xF 1 F1 2F022x21 F0 x21F 112xF1 |x21|x2112x1x212x12x2x22. 肯定值不等式的解法 1. 求以下不等式的解集：1|4x- 3| x+1；2|3x+5|2x-1. x2

20、,由得：x4.原不等式的解集解： 1 |4x- 3| x+1, -x+1 4x-3x+1, 由得：53为 x|2x4. 53由得x-6, 由得x2x-1, 3x+52x-1, 或 3x+52x+1. 解： 原不等式等价于4x30 x或 14x4302 x1,即x3或x34 1,44x32x3 xx23x2 或 x2 或 x2 或 x2x+14x-32x+1或 4x-32 或 x1 . 35. 解不等式：2x1|1|. xx1 ,再与 x0 求交集得 2解： 不等式中 x 取值范畴是x 0, x 1.（ 1）当 x0 时, x-10, 原不等式变形为-2x2x-1. 解得 x解集是 x|x-1.

21、 （ 2）当 0 x1 时, x-10, 原不等式变形为 2x21 时, x-10, |x|=x0,原不等式变形为 2x2x-1 ,其解集是全体实数再与 x1 求交集,可得解集为 x|x1. 综上,可得原不等式的解集为 x|x1. 6. 解不等式 |x+3|+|x+2|+|x+1|3. 解： 此题是含有三个肯定值的不等式,可采纳零点分段争论法求解,第一找到使肯定值为零的点,然后划分区间,分段争论求解,最终求各段结果的并集令 x+3=0 , x=-3 ； 令 x+2=0 , x=-2 ； 令 x+1=0, x=-1. （ 1）当 x-3 时,原不等式变形为：-x+3+-x+2+-x+13,此时,

22、解为x-3. （ 2）当 -33,即 x+3-x-2-x-13 ,得 x-3. 此时无解（ 3）当 -23,得 x-1. 此时无解2 ；a（ 4）当 x-1 时,原不等式变形为x+3+x+2+x+13,得 x-1. 此时,解为x-1. 综上,原不等式解集为x|x-1. 7. 解关于 x 的不等式：xxa2 a2a0. 9解： 当xa 时,不等式可转化为:xaa2a2, 即xx2a9 ax2a20,9xx9ax3617a当xa 时,不等式可化为:xax 2 a2, 即xx2a9 ax2 a2, 0ax a9xa或2axa,故不等式的解集为,a2 a,3617a；33338. 解关于 x 的不等式：2a0 时, |x1|1 2, x11 2 或 x1 1a2 ,解得 x2 aa 当 2a0 时,解集为； 当 a 2 时, |x1|1 2 , 1a2 x11 a2 ,解得a2 x a2 2；a综上可得：当 a=0 或, 2a0 时,解集是x2a2a当 a 2 时,解集为2 x0 即 a -1 时, - a+12x+3 a24 x a22. 综上得：a1 时,解集为；a1 时,解集为x|a24xa2210. 如不等式 |ax+2|6 的解集为 -1,