公开课角的平分线的性质

1、公开课角的平分线的性质第1页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，则AC所在直线就是这个角的平分线。你能说明这是为什么吗？动脑想一想第2页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一证明：在ADC和ABC 中 AB=AD（已知） AC=AC（公共边相等） DC=BC（已知） ADCABC (SSS)DAC=BAC（对应角相等）即 AE平分BAD动脑想一想第3页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一通过刚才的启发，你能想到怎样画出下面的角的平分线吗？动脑想

2、一想BAO仅用尺规作图，已知AOB，求作AOB的平分线第4页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一尺规法画角平分线BAO以点O为圆心，任意适当长度为半径画弧，交OA于点M，交OB于点NMN第5页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一尺规法画角平分线BAO分别以点M，N为圆心，大于MN的长度为半径画弧，两弧在AOB的内部交于点CMNC第6页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一尺规法画角平分线BAO画射线OC，即为AOB的角平分线MNC第7页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一思考和交流在你刚才画好的角平分线OC上任意取一点P，过

3、点P画出OA和OB的垂线段，分别记垂足为D，E。PD和PE的长度有什么关系？在OC上再取几个点试一下，并和你的伙伴交流结论，你们发现角平分线有什么性质？第8页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一思考和交流经过测量，PD=PE总成立。经过讨论，我们猜想：角分线上的点到角两边的距离相等。你能用全等三角形证明吗？第9页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一给出图形和数学语言如图，已知AOC=BOC，点P在OC上，且PDOA，PEOB，垂足分别为D，E。求证：PD=PE。第10页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一证明过程第11页，共44页，2022

4、年，5月20日，6点46分，星期一角的平分线的性质角分线上的点到角两边的距离相等EDOABPCOC平分AOB，PDOA，PEOBPD=PE第12页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一P到OA的距离P到OB的距离角平分线上的点知识回顾几何语言： OC平分AOB， 且PDOA， PEOB PD= PE角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线的性质：不必再证全等ODEPACB第13页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一OABED思考：如图所示OC是AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?CPPD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线

5、上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等第14页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一 ABC中, C=900,AD平分 CAB,且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？ABCDE（点D到AB的距离是3）第15页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一如图所示，在ABC中，C=90，AD是BAC的平分线交BC于D，BC=15，且CD：DB=1：2，则点D到AB的距离为_。 第16页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一 如图：在ABC中，C=90 AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EBACDEBF实践

6、应用(1) 分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即RtCDF RtEDB. 现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件DC=DE (因为角的平分线的性质) 再用HL证明.试试自己写证明。你一定行！第17页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一动笔练一练证明：AD平分CAB且DEAB，C90（已知）CDDE 在RtCDF和RtEDB中,CD=DE （已证）DF=DB （已知） RtCDFRtEDB (HL) CF=EBAEFCDB第18页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一例3：在OAB中，OE是 AOB的角平分线

7、，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D，求证：AC=BD。OABECD例题讲解OABECDOABECD第19页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一2.如图,在ABC中，ACBC，AD为BAC的平分线，DEAB，AB7，AC3，求BE的长。EDCBA第20页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一动脑想一想如图，要在S区建一个集贸中心，使它到铁路、公路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m，这个集贸中心应建在哪里？第21页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建

8、一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？思考题第22页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一角分线上的点到角两边的距离相等。到角的两边的距离相等的点是否也在角的平分线上呢？动脑想一想画出几何图形，写出已知和求证，证明这个猜想。第23页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一给出图形和数学语言如图，P是AOB上的一点，PDOA于D，PEOB于E，且PD=PE。求证：OP是AOB的平分线。第24页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一证明过程第25页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一角的平分线的判定角的内部到角

9、的两边距离相等的点在角的平分线上EDOABPP是AOB内的一点，PDOA，PEOB，且PD=PEOP是AOB的平分线第26页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一PC 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 PDOA，PEOB， PDPEOP平分AOB用数学语言表示为：角平分线性质的逆定理（角平分线的判定）总结不必再证全等第27页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一ABCEFD 如图，ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F，且BECF。求证：AD是ABC的角平分线课堂练习第28页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，

10、星期一已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在A的平分线上.AAAAAAADNEBFMCA课堂练习第29页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一动笔练一练如图，ADOB于D，BCOA于C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则1和2的大小关系是（ ）1=21212无法确定A第30页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一我们之间就学习了三角形的角分线，之前谈到过，三条角分线一定交于一点，不过当时我们没有给出证明，而只是通过画图的方法给出了印证。现在我们学习了角分线的性质和判定定理，怎样证明这个结论呢？我们先看下面的例题。动脑

11、想一想第31页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一如图，ABC的平分线BM，CN相交于点P。求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。动脑想一想第32页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F。BM是ABC的角平分线，点P在BM上PD=PE，同理PE=PFPD=PE=PF即点P到三边AB，BC，CA的距离相等动脑想一想第33页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一根据PF=PD，且PDAB，PFAC的事实，你现在能得到什么结论？点P也在A的平分线上，也就是说，点A是三

12、角形三条角平分线的交点。动脑想一想第34页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一角的平分线的性质图形已知条件结论PCPCOP平分AOBPDOA于DPEOB于EPD=PEOP平分AOBPD=PEPDOA于DPEOB于E角的平分线的判定归纳、比较第35页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一角分线的判定和性质点在角平分线上点到角两边的距离相等判定性质第36页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一学完本节课你应该知道角的平分线尺规画角的平分线性质和判定点在角平分线上点到角两边的距离相等判定性质会证明第37页，共44页，2022年，5月20日，6点46分

13、，星期一练一练填空：(1). 1= 2,DCAC, DEAB _(_)(1). DCAC ,DEAB ,DC=DE_(_ _)ACDEB121= 2DC=DE到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。在角平分线上的点到角的两边的距离相等第38页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一动笔练一练如图，OP平分AOB，PAOA于A，PB垂直于OB于B，下列结论一定成立的是（ ）PA=PBPO平分APBOA=OB以上都一定成立OABPD第39页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一动笔练一练如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是（ ）线段C

14、D的中点CD与过点O做CD垂线的交点CD与AOB的平分线交点CD上任意一点COABCD第40页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一3、如图，ABC中，C=90，AC=CB，AD为BAC的平分线，DEAB于点E。求证：DBE的周长等于AB。ABCDE练习证明：周长 =DE+EB+BD=CD+DB+EB=CB+EB=AC+EB=AE+EB=AB第41页，共44页，2022年，5月20日，6点46分，星期一证明：过点F作FGAE于G，FHAD 于H，FMBC于M，GHM点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBC，FG=FM.又点F在CBD平分线上， FHAD， FMBC.FM=FH.FG=FH，点F在DAE的平分线上. 如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在DAE的平分线