函数逼近的插值法

1、函数逼近的插值法第1页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一引言 许多实际问题都用函数 来表示某种内在规律的数量关系,其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的.虽然 在某个区间a，b上是存在的，有的还是连续的，但却只能给出a,b上一系列点 这只是一张函数表；有的函数虽然有解析表达式,但由于计算复杂,使用不方便,通常也构造一个函数表。如三角函数表、对数表、平方根表、立方根表等等。第2页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一引言问题提出1 函数表达式过于复杂不便于计算, 而又需要计算许多点处的函数值2 仅有采样值, 而又需要知道非采样点处的函数值 上述问题的一种解决

2、思路：建立复杂函数或者未知函数的一个便于计算的近似表达式. 第3页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一引言 第4页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一2.1 Lagrange插值法第5页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一线性插值第6页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一 第7页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一 第8页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一Lagrange插值法第9页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一构造插值基函数 引理1 设在区间a,b上有n+1个

3、互异节点 ，如果n次多项式 满足则第10页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一构造插值函数Ln(x)第11页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第12页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第13页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第14页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一误差估计第15页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一特例第16页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第17页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第18页，共83页，2022年，5月

4、20日，9点43分，星期一第19页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一例题第20页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第21页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一例题第22页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第23页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第24页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第25页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第26页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一Lagrange插值算法第27页，共83页，2022年，5月20日，9

5、点43分，星期一 第28页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一编写程序如下function yy = Lagrange(x,y,xi )m=length(x);n=length(y);if m=n, error(The length of vector x and y must be consistent);ends=0;for i=1:n z=ones(1,length(xi); for j=1:n if j=i z=z.*(xi-x(j)/(x(i)-x(j); end end s=s+z*y(i);endyy=s;end第29页，共83页，2022年，5月20日，9点4

6、3分，星期一 例2 已知数据如表所示，试用Lagrange插值多项式求x=0.5626，0.5635，0.5645时的函数近似值。 xi0.561600.562800.564010.56521yi0.827410.826590.825770.81495第30页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一x=0.5610,0.56280,0.56401,0.56521; y=0.82741,0.82659,0.82557,0.82495; xi=0.5625,0.5635,0.5645; yi=Lagrange(x,y,xi)yi = 0.8268 0.8260 0.8252 plot

7、(x,y,o,xi,yi,g)第31页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第32页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一关于Langrange插值的几点说明 仅与已知数据 有关，与 的原来形式无关，但余式与 密切相关。若 本身是一个不超过n次多项式，则第33页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一Langrange插值也有其不足 为了提高精度有时需增加结点，但这时原来求的 全改变，也就是原来的数据不能利用，浪费资源；第34页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第35页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一例3

8、在区间【-5，5】上取节点数n=11，等距间隔h=1的节点为插值点，对于 进行Lagrange插值，画出 和插值多项式的曲线图。作业：取节点数n=21 等距间隔h=1第36页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一t=-5:0.1:5;ft=5./(1+t.*t);t1=-5:1:5;ft1=5./(1+t1.*t1);y1=Lagrange(t1,ft1,t);plot(t,ft,b+,t,y1,r:)第37页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第38页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第39页，共83页，2022年，5月20日，9点43分

9、，星期一第40页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第41页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第42页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第43页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一差商的性质 第44页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第45页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一差商的性质第46页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第47页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第48页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第49页，共

10、83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第50页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第51页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第52页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一Newton插值计算插商表1一阶插商二阶插商三阶插商单元号F(0)F(1)F(2)F(3)F(n)第53页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一插商表2第54页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一求Nn(x)插商表1计算简单，好实现，但数值不稳定。插商表2在计算机上稳定性好，但算法复杂。下面用n=3举例计算“秦九韶算法” 第55

11、页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第56页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一例题第57页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第58页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第59页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第60页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一function yi=Newton Int(x,y,xi)n=length(x);m=length(y);if n=m error(The length of vector x and y must be consistent

12、); return;endY=zeros(n);Y(:,1)=y;for k=1:n-1 for i=1:n-k Y(i,k+1)=(Y(i+1,k)-Y(i,k)/(x(i+k)-x(i); endendyi=0;for i=1:n z=1; for k=1:i-1 z=z*(xi-x(k); end yi=yi+Y(1,i)*z;end第61页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一n=2; x=linspace(0,2,n);y=2*exp(x)+sin(x); xi=0:0.01:2;yi=New_Int(x,y,xi); xx=0:0.01:2;yy=2*exp(xx)

13、+sin(xx); plot(xx,yy,b,x,y,b*,xi,yi,r-) 第62页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一Lagrange插值公式所求得L(x)保证了节点处的函数值相等，也就是保证了函数的连续性，但不少实际问题还需要插值得光滑度，也就是还要求它在节点处的导数值也相等，导数的阶数越高则光滑度越高。现代的仿生学就是一个典型的例子。在设计交通具的外形，就是参照海豚的标本上已知点及已知点的导数，做插值在计算机上模拟海豚的外形制成飞机、汽车等外形。第63页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第64页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期

14、一Hermite插值多项式构造H(x)第65页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第66页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第67页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第68页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第69页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第70页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第71页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第72页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一算法第73页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一第74页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一Hermite插值余项第75页，共83页，2022年，5月20日，9点43分，星期一特例第76页，共83页，2022年，5月20日，9点