三角函数辅助角公式化简

1、三角函数辅助角公式化简一、解答题1.已知函数f(x)=sin2xcos2xH，3丿(1)求f(x)的对称中心;(2)讨论f(x)在区间二3才上的单调性.2.已知函数f(x)=4sinxcosIx+|+由.k3丿将f(x)化简为f(x)=Asin(x+0)的形式，并求f(x)最小正周期;求f(x)在区间-?,?上的最大值和最小值及取得最值时x的值.463已知函数f(x)5)xcosx12丿13丿=4tanxsin(1)求f(x)的最小正周期;求f(x)在区间送,1上的单调递增区间及最大值与最小值.精选文库精选文库(1)(1)(II)讨10.已求I若关7.已知函数f(x)=4cosxsinx+-1

2、，求6丿求f(x)的最小正周期；求函数f(x)的单调递增区间求f(x)在区间-2?上的最大值和最小值.648.设函数/(x)=tanx(1)求f(x)的最小正周期;(2)讨论f(x)在区间上的单调性.11.设求锐12.已9.已知函数f(x)二23sinxcosx-2cos2x+1,(I)求f(x)的最大值和对称中心坐标;5的内角角，,所对的边分别是若飞I一，且.31:的面积为点，求.的值.5的内角角，,所对的边分别是若飞I一，且.31:的面积为点，求.的值.3313.设函数I厶L.；:：:：.：(1)求隈:的最大值，并写出使I:心取最大值时紺勺集合;3已知5中角的边分别为-，若I.：，求啲最小

3、值.14.已知f(x)-(3sinx+cosx)cosx-2其中0，若f(x)的最小正周期为4兀.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)锐角三角形ABC中，(2a-c)cosB=bcosC，求f(A)的取值范围rr2、15.已知a=(sinx,cosx),b=(cos,sin巾)(|巾|/5cosx(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)讨论f(x)在上的单调性.44cosx已(1)(2)已(1)(2)若单位长21.已矢口f(x)=2u3cos2x+sin2x-、；3+1(xgR)，求:(1)f(x)的单调增区间;兀兀当xG-时求f(x)的值域.精选文库精选文库参考答案1（1）对称中心

4、为(k兀兀J+,0I212丿,_64_，减区间为一一3一6_keZ；2）增区间为【解析】试题分析：利用降幂公式和辅助角公式将已知函数解析式转化为正弦型函数，根据正弦函数的性质来求对称中心,其对称中心能使函数值为0，从而角的终边在x轴上；（2）首先求出函数的单调区间，再根据自变量的取值范围来求落在给定范围上的的单调区间f(x)=1一观x-(2+cos2x+I3丿2-sin2x一丄cos2x=丄sin2x442k(k令2x一2=k，得x=+TT，keZ，对称中心为,06212I212(kJkeZ212丿(2)令2k-12x62k-+|,keZ,兀，兀得k兀一xk兀+63,keZ，增区间为k,k+,

5、keZ633令2k+2x2k+,keZ625得k+xk+,keZ，增区间为k+6757,k+,keZ36一一了疋，减区间为L36-上的增区间为2.(1)f(x)(、=2sin2x+I3丿T=兀；(2)x二-时，f(x)=-14minx=-12时，f(x)=2max【解析】试题分析：（1）由三角函数的公式化简可得f（x）二2sin（2x+-3丿，由周期公式2可得答案；（2）由x的范围可得-72x+的范围，可得f（x）的范围，结合二633角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x值.试题解析：(1)f(x)=4sinx(.)cosxcossinxsm+33丿=2sinxcosx2空3sin2x+3

6、=sin2x+V3cos2x=2sin2x+I3所以T=兀.2TOC o 1-5 h z2(2)因为一x，所以一一2x+6633所以-1f(x)2,所以-1sin2x+11,I3丿当2x+=一，即x=一时，fx丿=一1,364min当2x+=，即x=时，fx丿=2.3212min2根据T=空=求3.(2)f(x丿最大值为-2，最小值为1.【解析】试题分析：(1)化简函数的解析式得f(x)=2sin2x-?V3丿周期；(2)先求出函数f(x丿的单调递增区间，再求其与区间-4,；4的交集即可；根据2x-3的取值范围确定函数在上的最大值与最小值。试题解析：(1)f(x)=(1=4tanxcosxco

7、sx-V3丿=4sinxcos卜一宁JV(1朽1=4sinxcosx+sinx-J3=2sinxcosx+2j3sin2x-J32V丿1=sin2x+羽(1cos2x)73=sin2x-V3cos2x=2sin2x一二.3丿所以f(x丿的最小正周期T=22)函数y=2sinz的单调递增区间是由-+2k2x一y+2k5得一一+kx+k1212kgZ.5B=x1一12+kx12+kkGZ易知AnB=精选文库精选文库精选文库122122f(x)的单调增区间为12+如专+如(kgz)兀兀所以，当xG时,f(x)兀兀在区间一迈肓上单调递增。兀兀TOC o 1-5 h z一x，44兀亠兀5兀2x一,636

8、.1sinf2x叫1,I3丿.12sin2x-丿2I3丿:,f(x)最大值为2,最小值为T.点睛:解题的关键是将函数化成f(x)二Asin(ex+0)的形式后，把wx+申看成一个整体去处理,特别是在求单调区间的时候，要注意复合函数单调性规律“同增异减”，如果e0,那么一定先借助诱导公式将e化为正数，防止把单调性弄错.4.(1)T=兀，最大值为1(2)-12+kn,12+k(kgz)(kgZ)，解得函数f(x)的单调递增区间.试题解析f(x)=止归+2sin2x亭【解析】试题分析:(1)先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求最小正周期T及最大值；(2)根据

9、正弦函数性质列不等式兀兀兀一+2k兀2x+2k兀23cos2x=sin2x+I3丿(1)T=兀c兀兀“当2x+=+2k兀2即x=+k兀(kgZ)时12f(x)取最大值为1兀兀兀/、令一I+2kK2x+1I+2kK(kgz)5(1)答案见解析；(2)解析】试题分析：(1)整理函数的解析式可得f(x)二sin1；对(兀in2x-，则函数的最小正周期为T=I6丿称轴方程为x二(kgz)；(2)结合函数的定义域和(1)中整理的函数的解析式可得函数的值域为试题解析：/)cos2x+2sinxsinx+13丿14丿14丿(1)Qf(x)二=丄cos2x+sinx一cosx)(sinx+cosx)22二丄c

10、os2x+sin2x+sin2x一cos2x22=丄cos2x+sin2x一cos2x=sin2221.周期T二兰=兀2由2x一1二ki+-(kgZ),得x二k1+-(kgZ)6223函数图象的对称轴方程为x二ki+(kgZ)(2)Qxg1一1235一1，6()sin2x一一在区间上单调递增在区间16丿L123L32上单调递因为f(x)二减，所以x七时f(x)取最大值1又Qf-x一吉时f(x)取最小值一*精选文库精选文库C兀5兀0,冗L3L6故所求单调区间为,1(k兀兀_c兀5兀6.(1)+,-1,kgZ(2),卞1212丿L3L6所以函数f(x)在区间-12,|上的值域为1【解析】试题分析：

11、f(x)=”3sinxcosx-cos2x-一二sin(2x-仝-1，令2x-2二k兀解得x即可(II)求f(x)在0,262222k兀2x2k兀+解得x,对k赋值得结果.262试题解析：上的单调区间，则令(I)f(x)上sin2x-1+cos2x-1222:八二sin2x一-16丿兀T,k兀兀令2x一二k兀，得x二+-,6212(k兀兀J,故所求对称中心为帀+击，-1,kEZI212丿兀亠兀兀，兀，(II)令2kn-2x-2E+2，解得kn6-X-kn+亍kGZ又由于xwo,兀，所以xG0,二5兀3点睛：三角函数的大题关键是对f(x)的化简，主要是三角恒等变换的考查，化简成y=Asin(wx

12、+申)类型，把WX+9看成整体进行分析.3)f(x)=-1minTOC o 1-5 h z兀兀7.(1)T=2；(2)单调递增区间为k兀一,k兀+,kgZ6 HYPERLINK l bookmark32 o Current Document f(x)=2.miax()(兀)【解析】试题分析：(1)由和差角公式及二倍角公式化简得：f(x)2sin2x+7，进而I6丿得最小正周期；22(2)由2k兀2x+2k兀+一,kgZ可得增区间；62兀兀兀兀2兀(3)由x=得.：2x+，根据正弦函数的图象可得最值.64663试题解析：(1)Qf(x)=4cosxsin一1=4cosx亘sinx+丄cosx22

13、一1=2p3sinxcosx+2cos2x一1=73sin2x+cos2x=2sin2x+-.I6丿.f(x)的最小正周期T=兀.兀兀(2)由2k兀2x+2k兀+,kgZ62,兀，兀，解得k兀一xk兀+,kgZ36兀兀Q一三x64兀兀2x32 HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 兀兀2兀2x+663兀兀当2x+=时,66兀兀当2x+=时，.函数f(x)的单调递增区间为f(x)=Tmin兀x=一一6当2x+=时，X=，f(x)=2.626miax点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进

14、行合理的拆分，从而正确使用公式；2)而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.仃r()(c兀)(兀兀)8.(1)T=n(2)f(x)在区间|，百上单调递增，在区间tt-，牙上单调递减.k12丿k122丿【解析】试题分析：(1)先根据诱导公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质得f(x)的最小正周期；(2)根据正弦函数性质求0,2)上单调2区间，即得f(x)在区间0,牛上的单调性.试题解析：(1)=sinf2x+f+I3丿f(x)=(inx+J3

15、cosx)?cosx=sinxcosx+J3cos2x1+cos2x=sm2x+*32fff5ff令-+22x+-込+2，解得-+knx迈+k(eZ)(x)在区间f0,二上单调递增，在区间(二,上单调递减.12丿122丿,0(kgZ)丿小兀(II)递增区间：0,丁和5兀兀5兀,冗；递减区间：6_36_9.(1)最大值为2，对称中心为:【解析】试题分析：(1)由正弦的倍角公式和降幕公式，f(x)可化简为ffff(x)=2sin2x一二，可知最大值为2，对称中心由2x一丁=k兀，解得x可求。(2)先6丿6求得f(x)最大增区间与减区间，再与兀做交，即可求得单调性。试题解析：(I)f(x)=2sin

16、f2x一斗I6丿f，所以最大值为2，由2x-=k兀，解得6kffx二丁+12，r所以对称中心为:fff仃I)先求f(x)的单调增区间，由-=+2k兀2x-+2k兀,kgZ，解得2625兀和3一殳+k兀，叟+k兀,kgZ，在【0,兀上的增区间有|。,二同理可求得f(x)的单调减区间f+k兀,5f+k兀,kgZ,在【0,兀上的减速区间有_36_兀5兀亍百C兀5兀兀5兀0,可和r,冗；递减区间：L3_L6_36_递增区间：|TL10.(1)-；(2)的取值范围为J1-/：，【解析】试题分析：(1)由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系整理函数的解析式为f(x)=2sin；，结合三角函数的周期公式可

17、知T=n.(2)原问题等价于，结合函数的图象可得汚，丨或，求解不等式可得a的取值范围为J丨二试题解析：H(1)f(x)=2cosxcos(xL：),-sin2x+sinxcosxsin2x+sinxcosx严cos2x+sinlxT=n.I-八I-1IT0j画出函数f)在xL刃的图像,由图可知川丨-或.：丨故a的取值范围为TOC o 1-5 h z11.(1)-+k兀上+k兀(kgZ)(2)b+c=73+1_44_1【解析】试题分析：(1)由三角恒等变换化简得f(x)=sin2x-,由 HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 兀兀(A-+2kn2x+

18、2k兀,kgZ可解得增区间(2)由f=0得sinA,cosA，由余2212丿弦定理得3bc=b2+c2-1，即(3+2)bc=(b+c)2-1即得b+c试题解析：(1)由题意知f(x)=巴竽1+cos2x+2丿2TOC o 1-5 h zsin2x1-sin2x1=一=sm2x一，2 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 由一一+2k2x+2k,kgZ可得一一+kxir由；当1时等号成立，最小为1.点睛：（1）要求三角函数的最值，就要化成，一次一角一函数的形式；（2）巧妙利用三角函数值求得角A,再利余弦定理得边的关系，得到最值;14.(1)4kK-

19、竺,4kK+竺,kgZ(2)纟332、:f（小斗解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数：f（x）=sinf2x+2，再根据正弦函数周期性质求，并根据单调性性质求单调增区间6丿（2）先根据正弦定理将边化为角，由诱导公式及两角和正弦公式化简得cosB二2，即得B=葺，根据锐角三角形得A取值范围，根据正弦函数性质求f（A）的取值范围.试题解析：（1）f（x）=帀-21(兀sin2x+cos2x=sin2x+，最小正周期为4兀,f(x)=sinx+2ky-一x+2kK+l，即22624兀2兀4kn3-X-4加+亍kGZ:,f（x）的单调递增区间为4k兀竺,43(2)

20、7(2a-c)cosB=bcosC，.:(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,兀整理得：2sinAcosB=sinA，cosB=一，B=一，7锐角三角形ABC,.：0A32精选文库精选文库17.JA1，注1A+1迺，.迈f(A)v2624261224115.(I)f(x)二sin(x+),35兀兀2刼-_6,2刼+-,keZ；(II)71Q【解析】试题分析：(1)利用向量的坐标运算得到f(x)二sin(x+9),再由f(=-x)=f7ZITTT兀(x)可知函数f(x)的图象关于直线x二二对称，所以二+巾二-+kn,进而得到巾二,利用三角函数的性质求解单调区间即可；1(2)将f(x

21、)的图象向右平移一单位得g(x)二sinx,即sinx+lWax+cosx在xw0,3斗上恒成立，利用数形结合分别研究h(x)二sinx-cosx和巾(x)=axl即可.试题解析：Vf(x)二J-gsinxcos+cosxsin二sin(x+),7171再由f(-x)=f(x)可知函数f(x)的图象关于直线x=对称，TLTL7T兀+二+瓦n,kZ，又|1,.二=?1f(x)=sin(x+),371TUIT-5兀7T由2kn2Wx+已W2kn+?可得2kn白x2kn+&,呂兀函数的递增区间为2kn-二，2kn+，kZ；77：4由图象平移易知g(x)=sinx,即sinx+lWax+cosx在xw

22、0,上恒成立.7Tr”4一，、也即sinx-cosxWax-1在xw0,上恒成立.兀兀4.4-令h(x)二sinx-cosx=Wsin(x-),xwO,；(x)=ax-1如下图：h(x)的图象在巾(x)图象的下方，16(1)f(x)=2sin根据正弦函数性质列不等式：W则函数f(x)=已b=2cos2n=解得3=2,兀.*.f(x)=2sin(2x+&)7T(2)令-殳+2knW2x+&7T?+knWxW&+kn.+1;兀7TW殳+2kn,kWZ,kZ,兀：f(x)的单调递增区间为-彳+kn,+kn,kWZ.ak=TOC o 1-5 h z兀.nn(2x+)+1；(2)单调递增区间为-+kn,

23、+kn,kWZ.636【解析】试题分析：(1)先根据向量数量积得函数关系式，再根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求3(2)nnn-+2kn2x+：0),Qx7Tcos殳二cos3x+1+3sinsx=2sin(3x+&)Vf(x)的最小正周期为n,(1)f(x)二=2sin2x+I6丿(2)见解析(3)882兀【解析】试题分析：(1)直接由函数图象求得A和周期，再由周期公式求得3，由五点作图的第三点求9;一(a1.(a1.5)3)由f一求出sin+丁，然后把sin-a14丿2k26丿4k6丿2)由先平移后改变周期和先改变周期后平移两种方法给出答案；转化为余弦

24、利用倍角公式得答案试题解析:解：(1)f(x)=兀(2)法1：先将y二2sinx的图象向左平移一个单位，再将所得图象纵坐标不变，横坐62x+壬丿的图象.I6丿1标压缩为原来的-倍，所得图象即为f(x)二2sin法2：先将y二2sinx的图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的二倍，再将所得图象向兀/(兀的图象.左平移12个单位，所得图象即为f(x)2sin2x+丄厶得：而sin(冗)(a-acosa+1-2sin2+16丿13丿、I6丿点睛：图象变换(1)/序f册柏闻主為mi就簡血应mi诃卫対加儁fy=Asin旺工丘R(2)圧祁点的播州h期蛇kwL戒忡罰血”“丹廉配旳悄g/?变L治v两仃赵已左I芦种

25、唱FH诃球屮耐牛*1祗尺准(4)y=san(x+)saeR(a、(a兀、(a兀)2sin2+2sin一+、才丿I46丿126丿3)由f精选文库精选文库1010阳首畑出h输和仙:或忡hMliiilft-ffi,P三SJM血斗护hJT/用ff或曲貼电K井K忖泊值简加脈*1洞世Jfc片迪舟PM冲或则瞰卓卩)X在Fm5n3m-4T(n)18.(1)=和n。(2)丄【解析】试题分析：f(x)=sin(2x-)整理函数的解析式为卜,m利用正弦函数的单调性可得函数7!：在上的单调递增区间是和(2)由题意可得n4nnn3$_4，则试题解析：f(x)-sin(2xn5n所以函数m在卜讨上的单调递增区间为和Gn3

26、rt4f(a=sin(2a-co&(2a因为；所以-、所以n7ikk7inn334135-4f(a+)-sin2cc=$in(2a-)+=sin2a-)cDS-+COS(2a-_)引nx-v-二1匚精选文库精选文库k-5,k+121219.(1)k兀一叟，k兀+竺36(kgz)；(2)a.=、：4一23=、：31min【解析】试题分析：利用和差角及二倍角公式对函数化简可得f(x)二2sin717E乐兀+互,解不等式可得答案；(2)由及0VAVn可得.,利用向量数量积的定义可得,bc=2,利用余弦定理可得可得又ABC中a2=b2+c2bccosA.=b2+c)比，从而可求题_解f(k)=2gos

27、5cco&龍氐兀+2寸二XZk7T+匚-上兀兀FTOC o 1-5 h z由：-得，k兀耳辺+刊旧)故所求单调递增区间为fA)二0WAC兀A=v(2)由得*石=匚，即宀心2：4=2,又Aabc中，$+匚2讥；2人:+g(2-的)尿n5k5k3h20.(1)n,1、(2)在，”上单调递增；在W,“上单调递减.【解析】试题分析：(1)整理函数的解析式f(x)=sinf2x斗I3丿-牛，则函数的最小正周期为兀，最大值为2(2)结合(1)中函数的解析式和三角函数的性质可得函数在兀5兀7,12上单调递增；12,3上单调递减.124试题解析：(1)f(x)=cosxsinx.彳cos2x=cosxsinx

28、?(l+cos2x)丄晅晅=sin2x?cos2x/=sin(2x)?,1?因此f(x)的最小正周期为n最大值为nnn(2)当xe4，-i时，杠2x.nnnn5ir易知当U2x，即4x丿时，f(x)单调递增,5irnn7n当/2x,n所以f(x)在4,即I七xl时，f(x)单调递减.5k5iv3hI门上单调递增；在I丿，上单调递减.21.(1)k兀一竺裁兀+1212,(kgZ)(2)0,3【解析】试题分析：(1)根据二倍角公式及配角公式将函数化为基本三角函数,再根据正弦函数性质求单调增区间；(2)根据自变量范围求2x+33范围,再根据正弦函数性质求值域试题解析：f(x)=sin2x+3Gcos

29、2x1)+1=sin2x+p3cos2x+1TOC o 1-5 h z兀1=2sin2x+1I3丿 HYPERLINK l bookmark30 o Current Document 5(1)由2k-2x+2k+，得2k-2x2k+23266k-x-1试题解析：解：(l)T为偶函数,sini-wx+-1对门恒成立，卩=sin/ux+-ujx=+n-即：、nn申=又故、f(x)-2$injwx+勻2nn=2由题意得-丁，所以一故一,J（2）将I的图象向右平移个单位后,6的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象.精选文库精选文库=J2cos2x+环丿=J2cos2x+环丿2rt3n4krt+x4kn+(kEZ)即；时，匸单调递减,因此人乂的单调递减区间为2応4kn+r4kn+点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握无论是