动态电路的时域分析

1、动态电路的时域分析第1页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一含有动态元件电容和电感的电路称为动态电路。特点：1. 动态电路 7.1 动态电路的方程及其初始条件 当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。例+-usR1R2（t=0）i0ti过渡期为零电阻电路第2页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一K未动作前，电路处于稳定状态i = 0 , uC = 0i = 0 , uC= UsK+uCUsRCi (t = 0)K接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态+uCUsRCi (

2、t )前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1USuct0?i有一过渡期电容电路第3页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一K未动作前，电路处于稳定状态i = 0 , uC = 0i = 0 , uC= UsK动作后很长时间，电容放电完毕，电路达到新的稳定状态前一个稳定状态过渡状态第二个稳定状态t1USuct0i有一过渡期第三个稳定状态+uCUsRCi (t 0)2. 动态电路的方程第8页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一+uLus（t）RLi (t 0)有源电阻电路一个动态元件一阶电路应用KVL和电感的VCR得：若以电感电压为变量：第9页，共110页

3、，2022年，5月20日，20点44分，星期一+uLuS（t）RLi (t 0)CuC二阶电路若以电流为变量：第10页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一一阶电路一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。（1）描述动态电路的电路方程为微分方程；结论：（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；二阶电路二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。第11页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一高阶电路电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。 动态电路的分析方法（1）根据KVL、KCL和VCR建立微分方程

4、第12页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一复频域分析法时域分析法 （2）求解微分方程经典法状态变量法数值法卷积积分拉普拉斯变换法状态变量法付氏变换本章采用 工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。第13页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一 稳态分析和动态分析的区别稳态动态换路发生很长时间后状态微分方程的特解恒定或周期性激励换路发生后的整个过程微分方程的一般解任意激励第14页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一 (1) t = 0与t = 0的概念认为换路在 t=0时刻进行0 换路前一瞬间 0 换路后一瞬间3. 电路的初始条

5、件定义：初始条件为 t = 0时u ，i 及其各阶导数的值000tf(t)第15页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求开关闭合后电容电压随时间的变化。例R+CiuC(t=0)解特征根方程：得通解：代入初始条件得：说明在动态电路的分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。第16页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一t = 0+时刻当i()为有限值时iucC+-q (0+) = q (0)uC (0+) = uC (0)换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。 (2) 电容的初始

6、条件0q =C uC电荷守恒结论第17页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一当u为有限值时L (0)= L (0)iL(0)= iL(0)iuL+-L (3) 电感的初始条件t = 0+时刻0磁链守恒换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。结论第18页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一L (0+)= L (0)iL(0+)= iL(0)qc (0+) = qc (0)uC (0+) = uC (0)（4）换路定则（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。注意: 换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电

7、流（磁链）换路前后保持不变。 换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。（2）换路定则反映了能量不能跃变。第19页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一5.电路初始值的确定求初始值的步骤:1. 由换路前的稳态电路（ 0等效电路）求uC(0)和iL(0)；2. 由换路定则得 uC(0+) 和 iL(0+)。3. 画0+等效电路。4. 由0+电路求所需各变量的0+值。b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。a. 换路后的电路（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。第20页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期

8、一0+时刻0时刻与0+时刻电路元件的等效模型RRC+U0C+0时刻第21页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一0+时刻0时刻LLI0第22页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一(2) 由换路定则 uC (0+) = uC (0)=8V+-10ViiC+8V-10k0+等效电路(1) 由0电路求 uC(0)或iL(0)+-10V+uC-10k40kuC(0)=8V(3) 由0+等效电路求 iC(0+)iC(0-)=0 iC(0+)例1求 iC(0+)+-10ViiC+uC-k10k40k电容开路电容用电压源替代第23页，共110页，2022年，5月20

9、日，20点44分，星期一iL(0+)= iL(0) =2A例 2t = 0时闭合开关k , 求 uL(0+)iL+uL-L10VK14+uL-10V140+电路2A先求由换路定则:电感用电流源替代10V14解电感短路第24页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一iL(0+) = iL(0) = ISuC(0+) = uC(0) = RISuL(0+)= - RIS求 iC(0+) , uL(0+)例3K(t=0)+uLiLC+uCLRISiC解0+电路uL+iCRISR IS+0电路RIS由0电路得：由0电路得：第25页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星

10、期一例4iL+uL-LK2+-48V32C求K闭合瞬间各支路电流和电感电压解由0电路得：12A24V+-48V32+-iiC+-uL由0+电路得：iL2+-48V32+uC第26页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一例5求K闭合瞬间流过它的电流值。iL+200V-LK100+uC100100C解（1）确定0值（2）给出0等效电路1A+200V-100+100V100100+uLiC第27页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一7.2 一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。1. RC电路的零输入响应已知 uC (

11、0)=U0特征根特征方程RCp+1=0则 uR= Ri零输入响应iK(t=0)+uRC+uCR第28页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一代入初始值 uC (0+)=uC(0)=U0A=U0第29页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一tU0uC0I0ti0令 =RC , 称为一阶电路的时间常数 （1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；从以上各式可以得出：连续函数跃变 （2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；第30页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短 = R C

12、 大 过渡过程时间长 小 过渡过程时间短电压初值一定：R 大（ C一定） i=u/R 放电电流小放电时间长U0tuc0 小 大C 大（R一定） W=Cu2/2 储能大物理含义注意： 中的R是从C两端看进去的戴维南等效电阻第31页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一工程上认为, 经过 35, 过渡过程结束。：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。 t2t1 t1时刻曲线的斜率等于I0tuc0t1t2U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 t0 2 3 5U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 次切距的长

13、度第32页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一（3）能量关系 电容不断释放能量被电阻吸收, 直到全部消耗完毕.设uC(0+)=U0电容放出能量： 电阻吸收（消耗）能量：uCR+C第33页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一例 已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求K闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：i3K3+uC265Fi2i1+uC45Fi1t 0等效电路分流得：第34页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一2. RL电路的零输入响应特征方程 Lp+R=0特征根 代入初始值

14、 i(0+)= I0A= i(0+)= I0iK(t=0)USL+uLRR1t 0iL+uLR第35页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一-RI0uLttI0iL0从以上式子可以得出：连续函数跃变 （1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数； （2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；第36页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一令 = L/R , 称为一阶RL电路时间常数L大 W=Li2/2 起始能量大R小 P=Ri2 放电过程消耗能量小放电慢大 大 过渡过程时间长 小 过渡过程时间短物理含义时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间

15、的长短 = L/R电流初值i(0)一定：注意： 中的R是从L两端看进去的戴维南等效电阻第37页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一（3）能量关系 电感不断释放能量被电阻吸收, 直到全部消耗完毕.设iL(0+)=I0电感放出能量： 电阻吸收（消耗）能量：iL+uLR第38页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一iL (0+) = iL(0) = 1 AuV (0+)= 10000V 造成V损坏。例1t=0时 , 打开开关K，求uv。现象 ：电压表坏了电压表量程：50V解iLLR10ViLK(t=0)+uVL=4HR=10VRV10k10V第39页，共11

16、0页，2022年，5月20日，20点44分，星期一例2t=0时 , 开关K由12，求电感电压和电流及开关两端电压u12。解iLK(t=0)+24V6H3446+uL212t 0iL+uLR第40页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一小结4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的 响应, 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路 = L/R R为与动态元件相连的一端口电路的戴维南等效电阻。3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。iL(0+)= iL(0)u

17、C (0+) = uC (0)RC电路RL电路第41页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一动态元件初始能量为零，由t 0电路中外加输入激励作用所产生的响应。列方程：iK(t=0)US+uRC+uCRuC (0)=07.3 一阶电路的零状态响应 非齐次线性常微分方程解答形式为：1. RC电路的零状态响应零状态响应齐次方程通解非齐次方程特解第42页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解变化规律由电路参数和结构决定全解uC (0+)=A+US= 0 A= US由初始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A的通解通解（自

18、由分量，暂态分量）特解（强制分量，稳态分量）的特解第43页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一-USuCuC“USti0tuc0 （1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数； 电容电压由两部分构成：从以上式子可以得出：连续函数跃变稳态分量（强制分量）暫态分量（自由分量）+第44页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一 （2）响应变化的快慢，由时间常数RC决定；大，充电 慢，小充电就快。 （注意： 中的R是从C两端看进去 的戴维南等效电阻） （3）响应与外加激励成线性关系；（4）能量关系电容储存：电源提供能量：电阻消耗RC+-US电源提供的能量一半

19、消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。第45页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一例t=0时 , 开关K闭合，已知 uC（0）=0，求（1）电容电压和电流，（2）uC80V时的充电时间t 。解50010F+-100VK+uCi(1) 这是一个RC电路零状态响应问题，有：（2）设经过t1秒，uC80V第46页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一2. RL电路的零状态响应iLK(t=0)US+uRL+uLR已知iL(0)=0，电路方程为：tuLUStiL00第47页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一例1t=0时 ,开关K打

20、开，求t0后iL、uL的变化规律 。解这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：iLK+uL2HR8010A200300iL+uL2H10AReqt0注意： 中的R是从L两端看进去的戴维南等效电阻第48页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一例2t=0时 ,开关K打开，求t0后iL、uL的及电流源的端电压。解这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：iLK+uL2H102A105+ut0iL+uL2HUSReq+第49页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一3. 正弦激励下电路的零状态响应在如图的RC电路中，t 0时电路中外加输入激励为正弦电

21、压iK(t=0)+uRC+uCR电路方程为其特解 满足其通解 满足第50页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一可求得在零状态情况下， ，所以第51页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一7.4 一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。iK(t=0)US+uRC+uCR解答为 uC(t) = uC + uCuC (0)=U0以RC电路为例，电路微分方程：=RC1. 全响应全响应稳态解 uC = US暂态解uC (0+)=A+US=U0 A=U0 - US由起始值定A第52页，共110页，2022年，5月20日，20

22、点44分，星期一2. 全响应的两种分解方式强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)uC-USU0暂态解uCUS稳态解U0uc全解tuc0全响应 = 强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)（1） 着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰第53页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一iK(t=0)US+uRC+uCRuC (0)=U0iK(t=0)US+uRC+ uCR=uC (0)=0+uC (0)=U0C+ uCiK(t=0)+uRR全响应= 零状态响应 + 零输入响应零状态响应零输入响应(2)着眼于因果关系便于叠加计算第54页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星

23、期一零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U0第55页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一例1t=0时 ,开关K打开，求t0后的iL、uL解这是一个RL电路全响应问题，有：iLK(t=0)+24V0.6H4+uL8零输入响应：零状态响应：全响应：第56页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一或求出稳态分量：全响应：代入初值有：62AA=4例2t=0时 ,开关K闭合，求t0后的iC、uC及电流源两端的电压。解这是一个RC电路全响应问题，有：+10V1A1+uC1+u1稳态分量：全响应：A=10第57页，共110页，2022年，5月20

24、日，20点44分，星期一+24V1A1+uC1+u1第58页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一3. 三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶微分方程：令 t = 0+其解答一般形式为：分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题用0+等效电路求解用t的稳态电路求解直流激励时：第59页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一1A2例113F+-uC已知：t=0时合开关，求换路后的uC(t) 。解tuc2(V)0.6670第60页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一例2t=0时 ,开关闭合，求t0后的iL、i1、i2解三要素为：i

25、L+20V0.5H55+10Vi2i1应用三要素公式第61页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一三要素为：+20V2A55+10Vi2i10等效电路第62页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一例3已知：t=0时开关由12，求换路后的uC(t) 。2A410.1F+uC+4i12i18V+12解三要素为：4+4i12i1u+第63页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一例4已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t) 。解三要素为：+1H0.25F52S10Vi第64页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一例5

26、i10V1Hk1(t=0)k2(t=0.2s)32已知：电感无初始储能 t = 0 时合k1 , t =0.2s时合k2 求两次换路后的电感电流i(t)。0 t 0.2s解第65页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一(0 t 0.2s)( t 0.2s)it(s)0.25(A)1.262第66页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一例6 脉冲序列分析1. RC电路在单个脉冲作用的响应RCusuRuci10Ttus(1) 0tTuc(t )uR(t )t0第68页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一t0(a) T, uc为输出t0输

27、出近似为输入的积分RCusuRuciuCTT第69页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一2. 脉冲序列分析t0(a) T U1U2ucuRRCusuRuci第71页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一7.5 一阶电路的阶跃响应 单位阶跃函数用(t)表示， 其定义为(t)= def0 t01 t0一、 单位阶跃函数10t(t)其波形如图所示。在不连续点t=0处的函数值一般可不定义，或者定义为其左、右极限的平均值1/2。 第72页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一 单位阶跃函数可以用来描述1V的直流电源在t=0时接入电路的情况，如

28、图所示。若开关K在t=0时闭合，则一端口电路N的端口电压可写为 u(t)=(t) (V)(t=0)动态电路+1Vu(t)(t)动态电路+u(t)第73页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一(t=0)动态电路1Ai(t) 单位阶跃函数可以用来描述1A的直流电源在t=0时接入电路的情况，如图所示。若开关K在t=0时打开，则一端口电路N的端口电流可写为 i(t)=(t) (A)动态电路i(t)(t)第74页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一如果在t=0时接入电路的直流源幅度为A， 则可表示为A(t)， 其波形如图所示， 称为阶跃函数。A0tA(t)第75

29、页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一如果单位直流源接入的瞬时为t0，则可写为 0 t t0 1 t t0 称其为延时阶跃函数， 其波形如图所示。 (t-t0)=(1)单位阶跃函数的特性之一：延时性10t(t)t0第76页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一 利用阶跃函数和延时阶跃函数可以方便地表示某些信号。 图(a)的矩形脉冲信号可以看作是图(b)和图(c)所示的两个阶跃信号之和，即f(t)=(t)-(t-t0)(2)单位阶跃函数的特性之二：表达性10tf(t)t0(a)(b)10t(t)-(t- t0)-10tt0(c)第77页，共110页，20

30、22年，5月20日，20点44分，星期一例：如图的信号可表示为例：如图的信号可表示为10tf(t)123-1f(t)=(t)-2(t-1)+(t-2)f(t)=(t)+(t-1)-(t-2)-(t-3)10tf(t)1232第78页，共110页，2022年，5月20日，20点44分，星期一图(a)是任意信号f(t)， 如果想使其在t0时为零， 则可乘以(t)，写作 f(t)(t)如图(b)所示。（3）单位阶跃函数的特性之三：起始性0tf(t)(a)0tf(t)(b)0tf(t)(t-t0)(c)t0如果要使其在t 0+时是零输入电路，故冲激响应可视为由冲激激励建立的初始状态所引起的零输入响应。冲激激励建立的初始状态由换路定则决定，此时电容电压从uc(0-)跃变到了uc(0+)；电感电流从iL(0-)跃变到了