专题24 空间几何体的表面积与体积(学生版)

1、1 21 上 下 上 下3 专题 24一、柱、锥、台和球的侧面积和体积空间几何体的表面积与体积圆柱圆锥圆台直棱柱正棱锥正棱台球面积S 2rh侧S rl侧S (r r )l 侧S Ch侧1S Ch侧 21S (CC)h 侧 2S 4R2 球面体积VShr2h1 1 1V Sh r2h r2 l2r2 3 3 31 1V (S S S S )h (r 2 3 3r2r r )h2 1 2VSh1V Sh31V (S S S S )h 上 下 上 下4V R33二、注意点(1)在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲

2、面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底 面圆的面积之和.在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法 .在求一个几何体被分成 两部分的体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积.(3)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上， 将问题转化为平面上的最值问题.(4)如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交 线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上.如果是圆柱、圆锥则可沿母线

3、展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题.(5)本题的易错点是，不知道从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图 .缺乏空间图形向平面图形的转化 意识.1方法与技巧1.棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决.旋转体要抓住“旋转”特点， 弄清底面、侧面及展开图形状.2.要注意将空间问题转化为平面问题.3.求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.4.一些几何体表面上的最短距离问题，常常利用几何体的展开图解决.题型一、柱与锥的体积与表面积例 1、如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正

4、六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是cm.变式 1、（多选题）等腰直角三角形直角边长为 1 ，现将该三角形绕其某一边旋转一周 ，则所形成的几何体的表面 积可以为（ ）A 2 B12C2 2D22 变式 2、学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD A B C D1 1 1 1挖去四棱锥OEFGH 后 所 得 的 几 何 体 ， 其 中 O 为 长 方 体 的 中 心 ， E ， F ， G ， H 分 别 为 所 在 棱 的 中 点 ，AB = BC = 6 cm , AA = 4 cm1为_g.，3D 打

5、印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量2变式 3、已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，侧棱长均为 5 若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱 的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_变式 4、已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为 45，若 SAB 的面积为 5 15 ，则该圆锥的侧面积为_题型二、球的切与接的问题例 2、已知 A, B , C 为球 O 的球面上的三个点， O 为 ABC 的外接圆，若 O 的面积为 4 ，1 1AB BC AC OO1，则球O的表面积为（ ）A C64

6、36BD4832变式 1、若棱长为 2 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）AC12 36BD24144变式 2、中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知 PA 平面ABCE，四边形ABCD为正方形， AD 5 ， ED 3 ，若鳖臑 P ADE 的外接球的体积为 9 2 ，则阳马 P ABCD 的外接球的表面积等于_.变式 3、已知正三棱锥S ABC的侧棱长为 4 3 ，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的表面

7、积是（ ）A16B 20C 32D6439 变式 4、已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC eq oac(,，)ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别 是 PA，AB 的中点，CEF=90，则球 O 的体积为（ ）A 86B 46C 2 6D 6实战演练1、已知边长为 2 的等边三角形ABC，D 为BC的中点，以 AD 为折痕进行折叠，使折后的BDC 2，则过 A ，B ， C ， D 四点的球的表面积为（ ）A 3B 4C 5D62、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积 等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A5 14B5 12C5 14D5 123、已 eq oac(,知)ABC 是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上.若球 O 的表面积为 16 ，则 O 到平面 ABC4的距离为（ ）A 3B32C1 D3244、已知圆锥的侧面积（单位：cm2）为 2 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm） 是_5、如图，长方体ABCD A B C D1 1 1 1的体积是 120，E 为 CC 的中点，则三棱锥 EBCD 的体积是1.6、如图所示，正方体的