高中数学一轮复习课件：构造函数证明不等式

1、构造函数证明不等式题型移项构造函数证明不等式解由f(x)ex3x3a，xR，知f(x)ex3，xR.令f(x)0，得xln 3，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：例1 已知函数f(x)ex3x3a(e为自然对数的底数，aR).(1)求f(x)的单调区间与极值；x(，ln 3)ln 3(ln 3，)f(x)0f(x)极小值故f(x)的单调递减区间是(，ln 3)，单调递增区间是(ln 3，)，f(x)在xln 3处取得极小值，极小值为f(ln 3)eln 33ln 33a3(1ln 3a)，无极大值.于是g(x)ex3x3a，x0.g(x)的最小值为g(ln 3)3(1ln 3

2、a)0.于是对任意x0，都有g(x)0，所以g(x)在(0，)内单调递增.而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导数研究其单调性等相关函数性质证明不等式.因为当x1时，所以g(x)在(1，)上是增函数，题型分拆函数法证明不等式1.若直接求导后导数式比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.在证明过程中，等价转化是关键，此处g(x)minf(x)max恒成立，从而f(x)g(x)恒成立.2.等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，ex与

3、ln x要分离，常构造xn与ln x，xn与ex的积、商形式.便于求导后找到极值点.感悟提升若a0，则f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；训练2 (2022百校大联考)已知函数f(x)eln xax(xR).(1)讨论函数f(x)的单调性；当ae时，由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，f(x)maxf(1)e.(2)当ae时，证明：xf(x)ex2ex0.当0 x1时，g(x)1时，g(x)0，故g(x)在(0，1)上单调递减；在(1，)上单调递增，g(x)ming(1)e.法二由题意知，即证exln xex2ex2ex0，设函数g(x)ln xx2，当x(

4、0，1)时，g(x)0，当x(1，)时，g(x)0，故g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，从而g(x)在(0，)上的最大值为g(1)1.当x(0，1)时，h(x)0，故h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，从而h(x)在(0，)上的最小值为h(1)1.综上，当x0时，g(x)h(x)，即xf(x)ex2ex0.题型放缩后构造函数证明不等式又易证exx1(0 x1)，而x3x，x2x(0 x1)，而2x2x10恒成立，g(x)0，g(x)在(0，1)上单调递减，当x(0，1)时，g(x)g(1)0，法二x(0，1)，ex(1，e)，又x2x(0 x1)，而x2x

5、10恒成立，h(x)0，h(x)在(0，1)上单调递减，当x(0，1)时，h(x)h(1)0，由常用不等式exx1，故ex1x.令f(x)exln x2(x0)，则f(x)e(ln x1)，指对同构例 (1)(2020新高考全国卷节选)已知函数f(x)aex1ln xln a.若f(x)1，求a的取值范围.解f(x)的定义域为(0，)，f(x)aex1ln xln aeln ax1ln xln a1，等价于eln ax1ln ax1ln xxeln xln x.令g(x)exx，上述不等式等价于g(ln ax1)g(ln x).显然g(x)为单调增函数，所以又等价于ln ax1ln x，即ln aln xx1.令h(x)ln xx1，当x(0，1)时，h(x)0，h(x)单调递增；当x(1，)时，h(x)0，h(x)单调递减，所以h(x)maxh(1)0，所以ln a0，即a1，a的取值范围