《近世代数》课程教学大纲

1、近世代数课程教学大纲 课程编码：171210100课程性质：专业方向限选课程教学对象： 信息与计算科学专业学时学分： 40学时 2.5学分所需先修课高等代数编写单位： 数学与信息科学系一、课程说明 1、课程简介近世代数的主要内容就是研究代数系统，即带有运算的集合本课程主要学习群、环、域这三个代数系统，主要介绍群、环、域的基本概念和基本理论近世代数是四年制高等师范院校数学专业及信息与计算科学专业的必修课程近世代数在数学的其它分支和自然科学的许多方面都有重要的应用，最近几十年近世代数的理论被直接应用于许多领域，如群论对结晶学和某些组合计算、有限域对编码和密码技术、群表示论对理论物理的应用等2、教学

2、目的要求 通过教学应使学生掌握近世代数的基本概念、基本理论和基本方法，进一步提高学生抽象思维和逻辑推理能力，提高他们的数学修养，初步了解现代数学研究的基本思想和方法，为学生将来进一步学习其他学科及从事中学数学教育打下坚实的基础3、教学重点难点第二章 群论、第三章 环与域4、考核方式 本课程是考试课；考试的形式：闭卷；成绩的合成及评分标准：平时占20、期末占：805、课时分配表表1 课程学时分配表章次教学内容讲授课学时数讨论(习题)课学时数第一章基本概念 6第二章群论 18第三章环和域16总计40二、各部分教学纲要第一章 基本概念 （6学时）教学目标 本章概述了近世代数理论建立的最基础的概念，介

3、绍了主要研究对象和研究工具熟练掌握集合、映射、代数运算的概念及代数运算的三个运算律，即结合律、交换律、分配律，这是近世代数研究的对象；熟练掌握同态、同构的概念，这是近世代数的重要研究工具；掌握等价关系与集合的分类，这是研究代数系统的又一重要工具本章重点代数运算、结合律、交换律、分配律、同态、同构、自同构、等价关系与集合分类本章难点同态、等价关系与集合分类教学内容1集合、映射2代数运算、结合律、交换律、分配律3.一一映射、变换4同态与同构、自同构5等价关系与集合分类第二章 群论（18学时）教学目标1熟练掌握群的定义2认识和掌握一些具体群的例子，如整数加群，模n剩余类加群，置换群等3熟练掌握循环群

4、的定义、深入理解循环群的结构、存在性和个数4掌握子群、不变子群、商群的概念及有关性质和判定方法5理解和掌握同态基本定理的内容，能正确使用同态基本定理处理一些简单问题本章重点：群的三个定义、群的例（整数加群，模n剩余类加群等）、置换群、循环群的定义、循环群的结构、子群、不变子群、商群的概念及有关性质和判定方法、同态基本定理本章难点：变换群、置换群、子群的陪集、商群的概念及相关定理教学内容群的定义、单位元、逆元、消去律、群的阶、元的阶群的同态3变换群、Cayley定理、置换群4循环群5子群的陪集、不变子群、商群6群同态、同态基本定理第三章 环和域（16学时）教学目标1掌握环的定义及其简单运算规则2

5、熟练掌握具有多种附加条件的环，如整环、除环、域等3认识和掌握一些具体环的例子，如整数环、模n剩余类环、多项式环等4掌握子环的概念及其判定方法；理解环同态基本定理的内容5掌握理想、最大理想的含义及其判定方法、理解最大理想的作用6理解商域构造及存在性问题本章重点环的定义、环的例子（如整数环、模n剩余类环整环）、整环、除环、域、子环的概念及其判定方法、环同态基本定理、理想、最大理想的定义及其判定方法本章难点 多项式环、最大理想、商域构造及存在性问题教学内容加群、环的定义、环中一些简单的运算规则交换律、单位元、零因子整环、除环、域无零因子环的特征子环，环的同态基本定理多项式环理想剩余类环、同态与理想9最大理想及其判定方法10商域（简介）三、使用教材及参考书使用教材：张禾瑞主编，近世代数基础（第一版），高等教育出版社