南京航空航天大学《复变函数》课件-第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点

1、第五章 解析函数的洛朗 (Laurent)展式与孤立奇点MathMath第一节、解析函数的洛朗(Laurent)展式 在本节中，考虑在圆环内解析的函数的另一种重要的级数展式。首先考虑级数其中 是复常数。作变换 则该级数变为1、双边幂级数那么，原级数在 内绝对收敛、内闭一致收敛，并且收敛于一个解析函数。设其收敛圆为更一般地，考虑级数(双边幂级数 )这里 是复常数。当级数都收敛时，我们说原级数收敛，并且它的和等于上式中两个级数的和函数相加。设上式中第一个级数在 内绝对收敛并且内闭一致收敛；第二个级数在 内绝对收敛并且内闭一致收敛。于是两级数的和函数分别定义在又设 ，那么这两个级数都在圆环内绝对收敛

2、并且内闭一致收敛，于是级数在这个圆环内绝对收敛并且内闭一致收敛；于是，它的和函数是圆环从而，可以总结出下面的定理：内的一个解析函数。 定理5.1 设双边幂级数 在圆环：内收敛于函数 f(z)，那么（1） f(z)在H内绝对收敛且内闭一致收敛。（2） f(z)在H内解析。（3） 在H内可逐项求导。（4） 在H内可逐项积分。定理5.1表明，双边幂级数在其收敛圆环内是一个解析函数。反过来我们也有下面的洛朗(Laurent)定理：2、解析函数的洛朗(Laurent) 展式 定理5.2（Laurent定理）设函数 f(z) 在圆环：内解析，那么在 H 内其中， :并且展式是唯一的. 定义5.1 设函数

3、f(z) 在圆环：内解析，称为 f(z) 的洛朗(Laurent)展式, 右端级数称为 洛朗级数。称为 f(z) 的洛朗系数。注解：注解1、由于函数 f(z) 的解析区域不是单连通区域，所以公式不能写成：注解2、Taylor级数是Laurent级数的特殊情形.例5.1 求函数 在下列区域上的Laurent展式.(1)圆|z|1; (2)圆环1|z|2;(3)圆环 . .例5.2 求函数 在z=1, z=2 的去心邻域内的Laurent展式例5.3. 及 在内的洛朗级数展式是：例5.4 在 内的洛朗展式是：例5.4 在 内的 Laurent级数。 第五章 解析函数的洛朗展式 与孤立奇点第二节、解

4、析函数的孤立奇点Math解析函数的孤立奇点：设函数 f(z) 在去掉圆心的圆盘内解析，在 不解析，那么我们称 为 f(z) 的孤立奇点。例如，0是 的孤立奇点。在D: 内，f(z) 有洛朗展式 是圆其中按照它的洛朗展式含负数幂（主要部分)的情况，可以把孤立奇点进行分类。孤立奇点的分类可去奇点：（1）如果当 时， 那么我们说 是 f(z) 的可去奇点。这是因为令 ，就得到在整个圆盘 内的解析函数 f(z)。孤立奇点的分类-极点：（2）如果存在正整数m，使 而当 n1，我们也称 是 f(z) 的单极点或m阶极点。孤立奇点的分类本性奇点：（3）如果有无限个整数 n0，使得那么我们说 是 f(z) 的

5、本性奇点。例如，0分别是的可去奇点、单极点及本性奇点。可去奇点的刻画定理5.3 设 是函数 f(z) 的孤立奇点,则下列等 价: 是 f(z) 的可去奇点; (2) (3) f(z) 在点 的某个去心邻域内有界.极点的刻画：定理5.4 设 是 f(z) 的孤立奇点, 则下列等价:(1) 是 f(z) 的 m 阶极点;(2) 在 某个去心邻域内 其中 在 解析, 且 (3) 注：f(z) 以 为 (m阶)极点 以 为 (m阶)零点。 定理5.5. 函数 f(z) 的孤立奇点 是极点的必要与充分条件是：本性奇点的刻画：定理5.6. 函数 f(z) 的孤立奇点 是本性奇点的充要条件是: 不存在, 即

6、 定理5.7. 设 是 f(z) 的本性奇点，且在 的充分小去心邻域内不 为0， 则 也是 的本性奇点。 例5.8. 0 是函数 的本性奇点，不难看出 不存在。例5.7. 以z=1为一阶极点，z= - 1/2为二阶极点。 6.皮卡(Picard)定理 定理5.8 (Weierstrass, 1876) . 设 a 是 f(z) 的本性奇点，则对于任何常数 A, 不管它是有限数还是无穷，都存在收敛于 a 的点列 使得 亦即，在本性奇点的任意小的去心邻域内，函数 f(z) 可以取到任意接近于事先给定的任何数值（有限或无穷）。 例5.9 例5.10例5.9 例5.10 定理5.9（Picard, 1879）. 设 a 是 f(z) 的本性奇点，则对于任何常数 A , 除去可能的 一个值 ， 都存在收敛于 a 的点列 ， 使得 第五章 解析函数的洛朗展式 与孤立奇点第三节、解析函数在无穷远点的性质Math定义5.4 设函数 f(z) 在 的去心邻域内解析，那么无穷远点 称为 f(z) 的孤立奇点。作变换在去心邻域 K-0: 内解析，即（1）对应于扩充z平面上 的去心邻域 有扩充 平面上0点的去心邻域；（2） 在对应的点 z与 上，