2021-2022学年高二物理竞赛课件：角动量的共同本征态_第1页
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1、角动量的共同本征态2 一个量子体系处于角动量 的共同本征 态上，总角动量平方值为 。已知测量 得 值为 0 的几率是1/2，求测量 得值为 的 几率。分析：需知道在角动量表象下 的本征值和本征函数， 然后将体系的状态按照本征态来展开。还有一个问题：目前体系处在哪个状态？解：根据上题的结论，在此角动量表象下容易求得本征值及对应的本征函数为答案：肯定是 三个状态之一？根据题目所给条件来判断。角动量的共同本征态3下面来判断体系到底处在哪个状态。假设体系处在状态假设体系处在状态则 的几率为则 的几率为满足条件因而不会处在这个状态。4假设体系处在状态则 的几率为也满足条件故体系波函数为 或下面求在这俩体

2、系中，测量 的几率体系波函数为 时体系波函数为 时可见，处在 或 态，测量 几率都是1/4.5然后将波函数用球函数展开，看是那些本征函数的叠加。 粒子处于态 ，其中 为 正实数，C为归一化常数。求(1) 的取值； (2) 的平均值；(3) 的几率；(4) 的可 能取值及相应的几率。第4问中，角度部分波函数用Lx的本征函数展开需要掌握几个球函数的表达式分析：研究角动量算符问题，应该将波函数换到球坐标 下表示。经过代换、化简有6容易求得本征值及对应的本征函数为在角动量表象下，上页波函数其角度部分可以写为由此可得 的几率为同理可得 的几率为 根据前题的结论，在此角动量 表象下7 在由正交基矢 构成的

3、三维态矢空 间中，哈密顿算符 与力学量 的矩阵为(1)证明 为守恒量；(2)求出 与 的共同本征态矢组。分析：第一问思路明确；第二问要使用定理： 非简并本征态必为某守恒量的本征态。 H属于本征值E0的本征态是非简并的，故它是A算符的本征态；但-E0简并，如何处理？8解：（2）求哈密顿算符的本征态可以求得属于不同本征值的本征态二重简并，可以给出其简并态为9根据定理： 非简并本征态必为某守恒量的本征态可以发现，非简并本征态是算符 的一个本征态。但简并态不是A的本征态不过，我们可以将其进行适当的线性组合，使其成为A算符的本征态：现在关键是求组合系数。10问题：对于组合后的波函数它是否H算符的本征态？为求组合系数，写出A满足的本征值方程根据求解矩阵本征值方程的一般方法，可以求得 故 与 的共同本征态矢组为11 质量为 的粒子在势场 中作一维运动，试建立动量表象中的能量本征方程。解：采用狄拉克符号，能量本征方程可写为 （1）以 左乘上式后一等式得利用完备性关系可得由于且则上式变为12 其中 定义上式即为 表象中的能量本征方程。其中代入上式得 （3）13 在 的 表象中，基矢为 求 与 的矩阵表示。分析：显然在这三个基矢所组成的表象中， 是对角化

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