《数理逻辑之命题演算》

1、数理逻辑之命题演算数理逻辑是用数学方法去研究思维的形式结构及其规律的科学，把对思维的研究转变为对符号的研究，从而克服了自然语言的局限，消除歧异性，构成类似于算术和代数那样的严格精确的演算理论，其中主要包括命题演算和谓词演算。下面以数理逻辑命题演算为例，简单介绍其研究内容。主要内容逻辑学是一门古老而又充满活力的大学科，它研究判断和推理的真伪性。它第一次质的飞跃开始于德国数学家Leibniz。他倡导用通用符号语言和符号演算改造形式逻辑学。到19世纪，德国数学家Frege等人建立命题演算和一阶谓词演算系统。之后，在“两算”的基础上，逐步建立了公理集合论、递归函数论、模型论和证明论，共同创立了数理逻辑

2、学体系。他们用精确的数学方法研究二值世界的形式逻辑问题，彻底改变了古典逻辑学的哲学式研究和论述风格，将形式逻辑学的概念、规则和推理过程的自然语言描述转化为抽象的形式语言描述和符号演算，把推理的形式和内容严格区分开来，使形式逻辑学的表达有了严谨的数学形式，从而大大促进了形式逻辑的完善和广泛应用。数理逻辑是一门大量使用符号并建立了完整体系的高度数学化的交叉学科，它既是数学的一个重要分支，也是思维科学的一个重要分支。由于具备强有力的形式表达和形式分析功能，数理逻辑在哲学、语言学、经济学、决策学、计算机科学和人工智能科学等诸多领域的现代发展中获得了广泛而实质性的应用。一阶逻辑是数理逻辑的基础组成部分，

3、也是数理逻辑最具直接应用价值的部分。而命题演算又是一阶逻辑的基础。过去通常认为命题演算没有能行方法，但从未有过严密论证，认定经典命题演算的能行方法不存在。命题演算的能行方法问题，既是逻辑学研究的对象，又是数学定理的机器证明研究的对象。数学定理的机器证明，在西方学术界也称为自动推理，是数学机械化的一项重要内容。数学机械化对于整个脑力劳动的机械化来说，具有特殊甚至是关键意义。通过数学思维机械化来实现更广泛意义上的脑力劳动机械化，这是人类梦寐以求的目标。学习需注意的地方命题演算的能行方法研究具有重要的理论意义和现实价值。通过对命题演算能行方法的研究，不仅可以深刻揭示命题演算特有的内在规律，进一步丰富

4、数学定理机器证明理论，为其他各类逻辑演算的能行证明问题提供一种有价值的新方法，还可以改进数理逻辑课程的教学，拓宽逻辑学研习者的思路，使其更全面地掌握逻辑演算的技术要领。命题演算能行方法的给出，可以进一步发展数理逻辑的知识体系。在命题逻辑的常见公理系统中，仅以公理和推理规则为工具进行定理的形式证明，往往不易找到证明的出发点，对于初学者而言尤为困难。过去通常认为命题演算没有能行方法，但从未有过严密论证认定命题演算的能行方法不存在。命题演算虽然有能行方法，但并非所有逻辑演算都有能行方法，比如一阶谓词演算就被证明没有能行方法。那么，是否还有其他类型的逻辑演算也有能行方法?如果还有，又是哪些类型的逻辑演

5、算?它们的能行方法又是什么样的?这些问题都是值得进一步深入研讨的。通过例子总结重要结论的使用方法和技巧逻辑与推理是密不可分的。逻辑系统所具有的推理能力也是体现逻辑自身价值的很重要的因素。在经典的二值逻辑体系之下形成的类似取式推理、假言推理和三段论推理等，展示了经典逻辑在推理中的巨大作用。但是，现实的世界是一个模糊、不确定、甚至矛盾的柔性系统，人们的思维、行动、决策也已经习惯了这一切，如果还用刚性的思维去解决，无疑会事与愿违。因此，研究相应逻辑系统的推理也是十分必要的。公理模式: Ax1:A-(B-A)Ax2:（A-(B-C)-(A-B)-(A-C)Ax3:(-A-B)-(B-A)推导规则: M

6、P:从A和A-B可以推出寻B设待证目标定理为R1-R0,若按照“执果索因”的方式来分析，则R1-R0必定是以下四种情况之一:(1)一条公理;(2)由两条公理经MP规则而得:(3)由两条已获得证明的定理经MP规则而得;(4)由一条公理和一条已获得证明的定理经MP规则而得。对于(1)而言，形式证明的过程就是待证目标定理本身:对于(2)(3)(4)而言，不妨将待证定理R1-R0看作是由公式X1和X1-(R1-R0)经MP规则而得。于是考察对象就由R1-R0转化为X1和X1-(R1-R0)两条公式。对于X1和X1-(R1-R0)，又可以再次进行如上的“执果索因”式分析，如此循环下去，直至考察对象全都转

7、化为公理或已获得证明的定理。总之，在课本中通过对命题演算能行方法的研究，可以得到如下结论:命题演算本身有着独特而丰富的内在规律可循，也就是说命题逻辑系统的结构本身有丰富的内在规律。正是这些规律决定了命题演算有能行方法存在，也正是这些规律揭示了命题逻辑系统与命题演算二者之间的特定联系。在给出了命题演算能行方法的基础上，我们知道命题逻辑系统中的任一定理都可套用演算的能行方法找到本定理证明过程的出发点公理。当然，可作为某定理出发点的公理也许不唯一。这是命题演算的一条基本性质，也是命题逻辑系统本身除可靠性、完全性和公理独立性之外的又一条元性质。建议将这一条新增的元性质命名为回归性或还原性，它是命题逻辑系统所特有的元性质。命题演算能行方法的哲学价值在于进一步完善了命题逻辑系统的元性质，使命题逻辑系统在哲学意义上更加成熟，并在方法论上为命题演算提供了准备了有力的支撑。命题演算能行方法的给出，是现代数学中定理的机器证明理论在数理逻辑领域取得的一项进展，从这个角度上说，也是丰富和发展了数学定理的机器证明理论，但这还只是给出了算法原理。依托于命题演算的能行方法，可以