数学培优竞赛新方法(九年级)-第21讲-圆与圆

1、l第20讲圆与圆知识纵横圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有如下二种方法：1.通过两圆交点的个数确定；2.通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定。为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、公切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线。例题求解【例1】如图，相距2cm的两点A、B在直线1上，它们分别以2cm/s,1cm/S的速度在1上同时向右平移，当点A、B分别平移到点A、B的位置时,半径为lcm的0A与半径为BB的相切，则点A平移到点A所用的时间为s.（2011年嵊州市中考题）42】思路点拨两个动圆，

2、岂移动圆心，0B的半径大小改变，两动圆内切或外切，故应全面讨论。 【例2】如图，圆心为A、B、C的三圆彼此相切，且均与直线l相切。若A,B,的）。半径分别为a,b,c（0YcYaYb），则a,b,c定满足的关系式为（天津市竞赛题）A.2b二a+cB.2.6=、：a+cC.1=1+1cab思路点拨从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径和分切线的关系，解题的关键是作圆的基本辅助线。【例3】如图，在矩形ABCD中，AB=20cm,BC=4cm，点P从A开始沿折线ATBTCTD以4cm/s的速度移动，点M从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动。如果点P、M分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另

3、一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）。（1）t为何值时，四边形APMD为矩形？（2）如图，P,M的半径都是2cm，那么t为何值时，P,M相外切？（南京市中考题）思路点拨对于（1）,把相关线段用t的式子表示，利用图形性质建立方程；对于（2）,解题的关键是分情况讨论。【例4】已知0O与0O相交于A,B，且0O的半径为3cm,0O的半径为5cm.1212（1）过点B作CD丄AB分别交O1和0O2于C,D两点，连接AD,AC，如图，试求AC的值；ADAE（2）过点B任画一条直线分别交0O与0O于E,F，连接AE和AF，如图，试求12AF的值。（巴中市中考题）AE思路点拨对于（2），丝应与两圆半径相

4、关，需构造相似三角形，利用图或构造直径AF或联想相交两圆的性质。【例5】如图,AOB是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O在OA上并与弧AB内切于点A，半圆O的圆心在OB上，并与弧AB内切于B，半圆O与半圆O相切，设两半圆212的半径之和为x，面积之和为y。（1）试建立以x为自变量的函数y的解析式；（2）求函数y的最小值。太原市竞赛题）分析设两圆OisO2半径分别为R、r，对于（1）y=尸（R2+r2），通过变性把R2+r2用x二R+r的代数式表示，作出辅助线；对于（2）,因X二R+r，故是在约束条件下求y的最小值，解题的关键是求出R+r的取值范围。化繁为简【例6】如图，圆A、B的半径都为1,且

5、相互外切。圆P,Q,R,S的半径都为r，且圆P与圆/、B、0、S都分别外切，圆。与圆P,B,R都分别外切，圆R与圆P,A,R都分别外切，求厂的值。（2011年青少年数学国际城市邀请赛试题）分析与解连接圆心、连接切点与圆心，关注由此生成的三角形。如图，连接卩S,以,S4,设、05相切于7,则PA2-AT2=PT2=PS2-ST2,即(r+l)2-l2=(r+r)2-(r+2)2,解得r=(负值已舍去)。学力训练基础夯实1、）0的半径为3c加，点M是）0夕点，OM=4cm,则以M为圆心且与OO相切的圆的半径是cm.（长春市中考题）2、如图，两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为4和1,则它们与墙的切

6、点/、3间的巨离为O（绍兴市中考题）1、如图，大圆0的半径0C是小圆O的直径，且有OC垂直于圆O的直径AB,的切线AD交0C的延长线于点E，切点为D，已知o的半径为r，则AO=；DE二杭州市中考题）2、如图00,O,O为四个等圆的圆心，A,B,C,D为切点，请你在图中画出一条线，1234将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是；如图，O,O2,O3,O4,O5为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点. 3、如图，施工工地的水平面上，有三根外径都是1m的水泥管两两摞在一起，则其最高点到地面的

7、距离是A.2B.1C.13D.1+週2224、如图，叫叫外切于A点，半径分别为3r、rP为O1O2延长线上一点，作直线分别于叫、叫相切于D、E两点，则ZP的度数为（）A.15。B.30。C.45。D.60。（武汉市高考题）5、如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心、AB为半径的圆弧外切，则sinZEAB的值为（）（湖州市中考题）4343A.B.C.D.34556、两圆的半径分式R和r（Rr）,圆心距为d，若关于x的方程x2-2以+（R-d）2二0有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是（）A.定内切B.定外切C.相交D.内切或外切9、如图，P与O相交于

8、A、B两点，0P经过圆心O，点C是0P的优弧AB上任意点,（不与A、B点重合），连接AB、AC、BC、oc。（1）指出图中与ZACO相等的一个角；（2）当点C在P上什么位置时，直线CA与O相切？请说明理由；南宁市中考题）10、已知A为O上一点启为A与OA的交点QA与O的半径分别为r、R且rR。（1）如图，过点B作0A的切线与O交于M、N两点。求证：AMAN=2Rr；（2）如图，若A与O的交点为E、F,C是弧ebf上任意一点，过点C作0A的切线与O交于P、Q两点，试问APAQ=2Rr是否成立，并说明你的结论。（天津市中考题）11、如图，点A、B在直线MN上，AB=11cm,0A、0B的半径均为1

9、cm。以每秒2cm的速度自左向右运动，B的半径也不断增大，且半径r（cm）与时间t之间的关系为r=1+1（t0）。（1）试写出A、B之间的距离d（cm）与时间t（秒）之间的函数关系式；（2）问点A出发后多少秒两圆相切？威海市中考题）能力拓展12、已知半径分别为1和2的两圆外切于点P贝0点P到两圆外公切线的距离为全国初中数学联赛试题）13、如图，扇形OAB,ZAOB=90。,0P与OA、OB分别相切于点E、F，并且与弧AB切于点C，则扇形OAB的面积与P的面积之比是。（兰州市中考题）14、如图，五个圆顺次相外切，且又都与直线a、b相切，如果其中最小圆与最大圆的直径分别为18和32，那么0O3的直

10、径为,天津市中考题）915、如图，0O的半径为1,正方形ABCD的边长为6，点O为正方形ABCD的中心，12OO垂直AB于P点，OO=8，若将0O绕点P按顺时针方向旋转360。，在旋转过程12121中，0O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（）。A.3次B.5次C.6次D.7次2011年宁波市中考题）16、如图，已知三个半圆依次相外切，它们的圆心都在并由的正半轴上并与直线y三x相切，设半圆、半圆c2、半圆c3的半径分别是）、；、气，则当r=1,丫3=（）A.6B.7C.8D.92011年南通市中考题）17、已知0O、0O相交于A、B公共弦AB与连心线OO交于点G。若AB=48Q

11、O、12121O2的半径分别为30、40，那么AAOg的面积是（）A.600B.300或168C.168D.600或168广东省竞赛题）18、如图，fq、po、OQ分别以O、O1112O为圆心的半圆C,C,C的直径，圆O31234内切于半圆C1及外切于半圆C2,C3。若PQ=24，求圆O4的面积。第19届香港中学竞赛题）19、在AABC中，分别以AB、BC为直径作0O、0O，交于另一点D。12（1）证明：交点D必在AC上；（2）如图，当0O与0O半径之比为4:3时，且DO与0O相切时，判断AABC的形1221状，并求tanZODB的值；2（3）如图，当0O经过点O,AB,DO的延长线交于E，且BE=BD，求ZA的度数。122（黄石市中考题）CDO.ASE曰乙20、如图，点H为AABC的垂心，以AB为直径的0O与ABCH的外接圆0O相交于点12P。求证：P为CH的中点。（2011年“数学周报杯”全国初中数学竞赛题）综合创新D的切线，叫交OiO2于点C,连接21、如图