复变函数教案第四章

1、章节名称 ：第四章学时支配 ：6 学时教学要求 ：使同学把握复数列、复变函数项级数、幂级数等概念,以及复数列和幂级数的收敛和发散的判定方法；教学内容 ：复数列、复变函数项级数、幂级数等概念,以及复数列和幂级数的收敛和发散的判定教学重点 ：幂级数的争论教学难点 ：幂级数收敛圆教学手段 ：课堂讲授教学过程 ：第四章 级数1、复数项级数1,复数列的极限 ：1）定义：设 n n 2,1 , 为一复数列, 其中 n a n ib n,又设 a ib 为一确定的复数；假如任意给定 0 ,相应地能找到一个正数 N ,使 n在 n N 时成立,那么 称为复数列 n n ,2,1 在 n 时的极限；记作nlim

2、 n；也称复数列 n n ,1 ,2 收敛于 a ib；2）定理 1：复数列 n n 2,1 , 收敛于 a ib 的充要条件是nlim a n a,nlim bn b2,级数的概念 ：1）设na nibnn,1 2 ,为一复数列,表达式称为无穷级数,其最前面n12nn1n 项的和ns12n称为级数的部分和；2）假如部分和数列s n收敛,那么级数n称为收敛；并且极限nlimsns称为级数的和；假如数列n1n称为发散；s n不收敛,那么级数n1名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 1 页,共 8 页3）定理 2：级数 n收敛的充要条件是级数 a n 和级数 b 都收敛；n 1 n 1

3、 n 1留意：定理 2 将复数项级数的收敛问题转化为实数项级数的收敛问题,而由实数项级数 a n 和 b 收敛的必要条件n 1 n 1lim n a n 0,lim n b n 0可得 lim n 0,从而推出复数项级数 n收敛的必要条件是 lim n 0n nn 14）定理 3：假如 n收敛,那么 n也收敛,且不等式 n n成立；n 1 n 1 n 1 n 1留意：a）假如n1n收敛,那么称n1n为肯定收敛； 非肯定收敛的收敛级数为条件收敛；b）n1n肯定收敛的充要条件是级数n1a 和级数n1b 都肯定收敛5）正项级数的判别法举例（由于 性可用正项级数判别法） ：n 1例 1,以下数列是否收

4、敛？假如收敛,求出其极限；1）n11i en；2）nncos inn例 2,以下级数是否收敛？是否肯定收敛？1）n111i；2）n0 8 in；3）n11n1i（练习）nnn .n2n2、幂级数 1,幂级数概念：1）复变函数项级数 ：设f nz n,1,2为一复变函数序列,其中各项在区域D 内有定义,表达式n1fnzf1z f2zfnz 称为 复变函数项级数 ,其最前面 n 项的和名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 2 页,共 8 页s nz f1z f2z fnz 称为级数的部分和；2）假如对于 D 内的某一点 0z ,极限lim n sn z 0 s z 0 存在,那么我们称

5、复变函数项级数 f n z f 1 z f 2 z f n z 在 0z 收n 1敛；而 s 0z 称为它的和；假如级数在 D 内到处收敛,那么它的和肯定是 z 的一个函数 s z ：s z f 1 z f 2 z f n z s z 称为级数 f n z f 1 z f 2 z f n z 的和函数；n 13）幂级数： 当 f n z c n 1 z a n 1 或者 f n z c n 1 z n 1 时,就得到函数项级数的特别情形：n0cnzanc0c 1zac2za2cnzan或n0cnznc 0c1zc2z2c nzn这种级数称为幂级数；4）阿贝尔定理 （收敛定理）：假如级数cnzn

6、c0c 1zc2z2cnzn在n0z0z0 收敛,那么对满意zz 0的 z ,级数级数必肯定收敛；假如在z0z0 发散,那么对满意z0z的 z ,级数必发散；2,收敛圆与收敛半径利用阿贝尔定理,可以得到一个幂级数的收敛情形：1）假如一个幂级数对全部的正实数是收敛的,就级数在复平面内到处肯定收敛；2）假如一个幂级数对全部的正实数除 z 0 外都是发散的,就级数在复平面内除原点外到处发散；3）既存在使级数收敛的正实数, 也存在使级数发散的正实数, 设 z（正实数）时,级数收敛； z（正实数）时,级数发散,名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 3 页,共 8 页那么在以原点为中心,为半径

7、的圆周内,级数肯定收敛；在以原点为中心,为半径的圆周外,级数发散；4）收敛圆与收敛半径 例,求幂级数n0zn1zz2zn的收敛范畴与和函数 3,收敛半径的求法1）定理 2（比值法）假如lim ncn1c 1z0,那么级数znc ncnznc0c2z2cnn0limn ncnc 1z0,那么级数zn的收敛半径为R1；2）定理 3（根值法）假如cc2z2cnnznc0n0的收敛半径为R1；3）应用举例 例,求以下幂级数的收敛半径：n1zn（并争论在收敛圆上的情形） ；n3n1z1n（并争论在z0 ,2时的情形）；n练习：求以下幂级数的收敛半径：n0cosinzn.4,幂级数的运算和性质 1）绽开成

8、幂级数：例,把函数z1b表成形如n0cnzan的幂级数,其中a, 是不相等的复常数；2）复变幂级数的性质：名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 4 页,共 8 页复变幂级数也象实变幂级数一样,在其收敛圆内具有以下性质：定理 4：设幂级数cnzan的收敛半径为 R ,那么aR内的解析函数；n01）它的和函数fz,即f z =c nzan是收敛圆：zn0R2）f z在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到,即f z =ncnzan1n13）f z在收敛圆内可以逐项积分,即fz dz=cnza ndz,CzaCn0C或zfd=n0cn1zan1an3、泰勒级数1,泰勒绽开定理：设 f z

9、 在区域 D 内解析,z 为 D 内一点, d 为 z 到 D 的边界上各点的最短距离,那么当 z z 0 d 时,nf z = c n z z 0 n 0成立,其中 c n 1 f n z 0 , n 0 , ,1 2 , .n .留意： 1）泰勒绽开式 f z = c n z z 0 n 的右边即 f z 得泰勒级数；n 02）泰勒级数收敛半径为 z 到 f z 的最近奇点的距离；3）任何解析函数绽开成幂级数的结果就是泰勒级数,而且是唯独的；2,应用举例：例 1,把 e z, sin z , cos z 绽开成 z 的幂级数；例 2,把函数 12 绽开成 z的幂级数； 1 z 例 3,求对

10、数函数的主值 ln 1 z 在 z 0 处的泰勒绽开式；名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 5 页,共 8 页练习题： P.143,12 题（ 1,3,4,5,6）4、洛朗级数1,一类特别级数：其中z 0,c n nc1nzcnzz 0ncnzz 0n+ z 0nz 01c 0c 1zz 0+c nz0 ,1,2都是常数；1）正幂项部分c n z z 0 n 是一个通常的幂级数,它的收敛范畴是一个圆域,设它的收敛半n 0径为 R ,那么当 z z 0 R 2 时,级数收敛；当 z z 0 R 2 时,级数发散；2）负幂项部分对cnzz 0n,令zz 01,就cnzz0ncnn,设

11、它的收n1n1n1敛半径为 R ,那么当R时,级数收敛；当R 时,级数发散；令1R 1,R就当zz 0R 1时,级数收敛；当zz 0R 1时,级数发散；3）级数cnzz0ncnzz 0n+c1zz 01c 0c 1zz 0n+ c n z z 0 n 当正幂项部分和负幂项部分同时收敛时为收敛；否就为发散；明显,当 R 1 R 2 时,R 1 z z 0 R 2 为正幂项部分和负幂项部分的公共收敛区域,此时,圆环域 R 1 z z 0 R 2 为上述级数的收敛域；当 R 1 R 2 时,没有公共收敛区域,级数发散；4）幂级数在收敛圆内所具有的很多性质,级数ncncnzz0ncnzz 0n+c1z

12、z 01c 0c 1zz 0+zz 0n在收敛圆环域内也具有；例如,级数在收敛圆环域内其和函数是解析的,而且可以逐项求导和逐项求积分；2,定理：设f z在圆环域R 1zz 0R 2内到处解析,那么名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 6 页,共 8 页f z=cnzz0nfcn1iCfn1d,n0,12,.n成立,其中2z0留意： 1）洛朗绽开式 z=cnzz0n的右边即洛朗级数；n2）任何解析函数在收敛圆环域内绽开成级数的结果就是洛朗级数,而且 是唯独的；3,应用举例：例 1,函数fzz1z2在圆环域：1 1）0z12）1z23）2z内是到处解析的,试把它在这些区域内绽开成洛朗级

13、数；1例 2,把函数fz z3ez在1z内绽开成洛朗级数；4,利用洛朗级数绽开式运算相关积分；公式：fz dz2ic1C例 3,求以下各积分的值1）z3zz1z4dz1 12）z2zezdz1z练习题： P.144,16 题（ 5）教学小结：1,复数列和复数项级数的收敛定义与实数域内数列和级数的收敛定义完全一样；2,函数项级数 3,泰勒绽开定理：设f z在区域 D 内解析,z 为 D 内一点, d 为z 到 D 的边界上各点的最短距离,那么当zz 0d时,名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 7 页,共 8 页f z=cnzz 0ncnzcn1fnz 0,n0, ,12,.n0成立,其中n .留意： 1）f z =0z 0n右边即f z 得泰勒级数；n2）任何解析函数绽开成幂级数的结果就是泰勒级数,而且是唯独的；4,设f z在圆环域R 1zz 0R 2内到处解析,那么f z=cnzz0nn成立,其