均值不等式求最值技巧

1、学习好资料 欢迎下载 利用均值不等式求最值的九种技巧 不等式易错题剖解 利用均值 （基本） 不等式求最值是历年高考的热点内容之一 .利用均 值不等式所需的条件可概括为“一正,二定,三相等” .当这些条件不完全具备时,就需要 确定的技巧,特别是凑“定和”或“定积”的技巧,使其具备 .下面谈谈常见的凑“定和” 或“定积”的技巧,供同学们参考 .一, 添,减项（配常数项） 例 1求函数 y=3x2+162+x2 的最小值 .分析 3x2+162+x2 是二项 “和” 的形式, 但其“积” 的形式不为定值 .而 12+x2 可与 x2+2相约,即其积为定积 1,因此可以先添,减项 6,即 y=3x2+

2、6+162+x2-6 ,再用均值不等式 .解 x2+2 0,y=3x2+162+x2=3x2+2+162+x2-6 232+x2 162+x2-6=83-6,当且仅当 32+x2=162+x2 ,即 x2=433-2 时 ,等号成立 .所以 y 的最小值是 83-6.评注 为了制造条件利用均值不等式, 添项是常用的一种变形技巧 ;为了保证式子的值不 变,添项后确定要再减去同一项 .二, 配系数（乘,除项） 例 2已知 x 0, y0,且中意 3x+2y=12 ,求 lgx+lgy 的最大值 .分析 lgx+lgy=lgx+y,xy 是二项“积”的形式,但不知其“和”的形式 x+y 是否定值,

3、而已知是 3x 与 2y 的和为定值 12,故应先配系数,即将 xy 变形为 3x2y6,再用均值 不等式 .解 x,y0,lgx+lgy=lgxy=lg3x 2y6 lg163x+2y22=lg161222=lg6 , 当且仅当 3x=2y,即 x=2, y=3 时,等号成立 .所以 lgx+lgy 的最大值是 lg6.评注 此题是已知和为定值,要求积的最大值,可逆用均值不等式,即利用 ab a+b22来解决 .三, 裂项 第 1 页,共 4 页学习好资料 欢迎下载 例 3 已知 x -1,求函数 y=x+5x+2x+1 的最小值 .分析 在分子的各因式中分别凑出 x+1 ,借助于裂项解决问

4、题 .解 x+1 0,y=x+1+4x+1+1x+1 =x+1+4x+1+5 2x+14x+1+5=9 , 当且仅当 x+1=4x+1 ,即 x=1 时,取等号 . 所以 ymin=9.四, 取倒数 例 4已知 0 x 12,求函数 y=x+12x1-2x 的最小值 .分析 分母是 x 与 1-2x 的积,可通过配系数,使它们的和为定值；也可通过配系数, 使它们的和为（ 1+x ） 这是解此题时真正需要的 .于是通过取倒数即可解决问题 .解 由 0 x 12,得 1+x 0, 1-2x 0.取倒数,得 1y=x1-2x1+x2=13 3x1+x 1-2x1+x 133x1+x+1-2x1+x2

5、2=112 , 当且仅当 3x1+x=1-2x1+x ,即 x=15 时,取等号 . 故 y 的最小值是 12.五, 平方 例 5已知 x 0, y0,且 2x2+y23=8 ,求 x6+2y2 的最大值 .分析 条件式中的 x 与 y 都是平方式,而所求式中的 x 是一次式, y 是平方式但带根号 .初看似乎无从下手,但如把所求式 等式来解决 .解 x6+2y22=x26+2y2=3 2x21+y23x6+2y2 平方,就解题思路豁然开朗,即可利用均值不 第 2 页,共 4 页学习好资料 欢迎下载 32x2+1+y2322=3922 , 当且仅当 2x2=1+y23,即 x=32 , y=4

6、22 时,等号成立 . 故 x6+2y2 的最大值是 923.评注 此题也可将 x 纳入根号内,即将所求式化为 x26+2y2 ,先配系数,再运用均值 不等式的变式 .六, 换元（整体思想） 例 6求函数 y=x+22x+5 的最大值 .分析 可先令 x+2=t ,进行换元,再使分子常数化,然后运用均值不等式来解决 .解 令 x+2=t ,就 t 0, x=t2-2 , 就 y=t2t2+1t 0.当 t=0 时, y=0； 当 t 0 时, y=12t+1t 122t 1t=24.当且仅当 2t=1t ,即 t=22 时,取等号 .所以 x=-32 时, y 取最大值为 24.七, 逆用条件

7、 例 7已知 1x+9y=1x 0,y 0,就 x+y 的最小值是 .分析 直接利用均值不等式,只能求 xy 的最小值,而无法求 x+y 的最小值 .这时可逆用 条件,即由 1=1x+9y ,得 x+y=x+y1x+9y ,然后开放即可解决问题 .解 由 x 0, y 0,1x+9y=1, 得 x+y=x+y1x+9y=yx+9xy+10 2yx 9xy+10=16 , 当且仅当 yx=9xy,即 x=4, y=12 时,等号成立 .故 x+y 的最小值是 16.评注 如已知 x 0, y 0, x+y=1 或其他定值 ,要求 1x+9y的最大值,就同样可运用 第 3 页,共 4 页学习好资料

8、 欢迎下载 此法 .八, 巧组合 例 8如 a,b,c 0 且 aa+b+c+bc=4-23,求 2a+b+c 的最小值 .分析 初看,这是一个三元式的最值问题,无法利用 a+b 2ab 来解决 .换个思路,可 考虑将 2a+b+c 重新组合,变成 a+b+a+c ,而（ a+b ）b+c 等于定值 4-23,于是就可以利 用均值不等式了 .解 由 a,b,c 0,知 2a+b+c=a+b+a+c 2a+ba+c=2a2+ab+ac+bc=24-23=23-2 ,当且仅当 b=c,即 b=c= 3-1-a 时,等号成立 .故 2a+b+c 的最小值为 23-2.九, 消元 例 9（ 2022 年江苏卷）设 x, y, z 为正实数, x-2y+3z=0 ,就 y2xz 的最小值是 .分析 此题也是三元式的最值问题 .由题意得 y=x+3z2 ,就可对 y2xz 进行消元,用 x, z表示,即变为