(整理)微分形式及其应用

1、微分形式及其应用引子两个函数，如何检验它们是否互为函数呢？比如f二X2 + y , g二x4 + 2x2y + y2 + 60，它们之间就有关系g二f2 + 60，这很 明显。但是对于复杂的函数就未必一眼看得出。另一个老实的办法是，计算它们的雅克比行列式2 x 4 x 2 + 4 xy12 x 2 + 2 y=0，因此它们相关，互为函数关系。对于多元的就要麻烦些，要计算多个雅克比。比如f (x,y,z),g(x,y,z)，要想判定他们是否互为函数，就要判定有没有更好的表达方式呢？有利用外微分(过一会再解释)df a dg = d (x2 + y) a d (x4 + 2x2 y + y2 +

2、60)=dx2 a d (x4 + 2x2 y + y2 + 60) + dy a d (x4 + 2x2 y + y 2 + 60)=dx2 a d(2x2y + y2) + dy a d(x4 + 2x2y)=2xdx a (2dx2y + 2x2dy + dy2) + dy a (dx4 + 2dx2y + 2x2dy)=2xdx a (2x2dy + 2ydy) + dy a (4x3dx + 4xydx)=4x3dx a dy + 4xydx a dy + 4x3dy a dx + 4xydy a dx=4 x3dx a dy + 4 xydx a dy - 4 x3dx a dy

3、- 4 xydx a dy=0好奇怪的运算规则：任何两个函数微分的外积，互换次序得负；任何相同表达式微分的外积 为 0。 da a db = - db a da ， da a da = 0 这让我们想起了面积的定义。对了！外积的意义就是面积。我们重新理解一下(见图)如果将(f,g)作为两个变量，则组成空间。(f,g)作为(x,y)的函数，当(x,y)改变时，(f,g)也随之改变。当函数f,g互不关联(不互为函数时)，由于各自独立改变，当(x,y) 遍历一个非常小的方形区域(dx a dy)时，(f,g)也形成一个小面积。但是当函数f,g互为 关联(互为函数时)，由于各自改变不独立，当(x,y)

4、遍历一个非常小的方形区域(dxady) 时，(f,g)仅在一个小线段上(或者在一个点，总之在低维的空间上)运动。由于f a dg 就代表面积元，因此为0.yyg車可见，在高维空间中，微分形式非常有用啊！2 微分形式我们看在二维空间上的一个线积分J (2xdy + 3dx)ll是e : R T R2,t T (cos(t),sin(t),t g (0,兀)定义的一段曲线(在这里是半圆弧线)。可以很容易积分出来t五J (2cos(t)dsin(t) + 3dcos(t)t=0t 4k=J (2cos2(t) - 3sin(t)dtt40=k -6如果换一条曲线，会得到另一个值。比如，如果l是e :

5、 R T R 2, t T (t, 12), t g (-1,1)定义的 一段抛物线，可得积分J (2tdt 2 + 3dt)t=-1=4 + 63如果不定义曲线l，这个积分则不能得到具体的数值。因此，可以认为这个积分J (2xdy + 3dx)l是曲线l的函数，也就是说，给定一条曲线，它就能给出一个值。我们称它为积分形式。(只有形式，等待内容曲线)如果去掉积分号2 xdy + 3dx我们则称其为微分形式(只有形式，等待内容曲线或1 维的映射)。给定一个映射，如0 : R T R2, t T (cos(t),sin(t)，我们就能计算这个微分0 *(2 xdy + 3dx) = 2cos(t

6、)d sin(t) + 3d cos(t) = -(2cos(t )2 + 3sin(t )dt我们称映射将二维空间上的微分形式2xdy + 3dx ,拉回到1维空间上-(2cos(t)2 + 3 sin(t)dt。微分形式是与坐标无关的。也就是说，一个积分形式，不论如何改变坐标系，只要定义的曲 线不变，其积分值是不变的。同样，一个微分形式，不论如何改变坐标系，只要定义的曲线 不变，其微分是不变的。这个性质，满足了物理学描述客观性的愿望，因此物理规律(物理 方程)用微分形式表达非常简单漂亮。3 微分形式的外积我们看面积分JJ(3x + 4y)dxdy，给定一个面，就可以计算这个积分。但是这个表

7、达式有一个缺憾，就是对于复杂表达，如JJ(3x + 4y)d(x + 2y)dy定义模糊。我们看变换变量0 : M T N,(u, v) T (x = u + v, y = uv)时，这个表达式变为JJ(3(u + v) + 4uv )d (u + v)d (uv)=JJ(3(u + v) + 4uv)d (u + v, uv)d (u, v)dudv ，d (u + v, uv)其中宀爲是变换的JacObi行列式。因此我们将其表达为 JJ(3x+ 4 y)dx a dys规定对于任何表达式f,g，都要满足df adg =-dg adf，df adf = 0则变量改变就可以名正言顺地写为J!

8、(3(=JJ (3(u + v) + 4uv)(du+ dv) a (duv + udv)u + v) + 4uv)d (u + v) a d (uv)JJ(3(u + v) + 4uv)(du a duv + du a udv + dv a duv + dv a udv)JJ(3(u + v) + 4uv)(du a udv - vdu a dv)du a dv=JJ (3(u + v) + 4uv) (u + v，uv) d (u, v)X刚好满足变量变换的关系。这样我们类推地定义外积：我们知道一个微分形式（1-形式）=dxi描述了一个线形式。可以推理，两个1-微分形i式0=0dxi, 0

9、 =0 dxi可以构造出面形式（2-微分形式）。iit = oa0 = 00 dxi a dxj =1 （o0 - o 0 ）dxi a dxj i j2 i j j i如果两个1-微分形式外积为0，o a0 = 0这两个微分形式相关，即存在某个函数f使得0 = f04 外微分给定一个1-微分形式能否得到一个2-微分形式？可以通过外微分。我们定义一个微分形式o的外微分0 ,与这个微分形式的闭合回路积分有关。对于无穷小面元X，有其边界组成的闭合回路近JJ do = Jodo = d(odxi) = do adxi =6 odxj adxiiix j i5 微分形式的应用1 函数是常函数df三02

10、函数极值点df = 0表明自变量改变时，函数值不变。比如 f = x2 + x + 30 , df = （2x + 1）dx = 0，得到 x = 1/2。如果将函数看成映射，在这一点的映射出现奇异，即这一点附近无穷小的邻域映射为 点。3两个函数相关（这在引子中给出了）df a dg 三 0如果将函数看成映射，将自变量整个空间映射成一条线或点（低于2 维的空间）。3 个函数相关df a dg a dh 三 0 其他以此类推。4条件极值即在g = 0情况下计算f的极值。通常用Lagrange乘子法，这里可以用微分形式表达式。df a dg = 0比如在约束g = X + y - 3 = 0，情况

11、下计算f二x2 + y2的极值点。因为df a dg = (2xdx + 2 ydy) a (dx + dy) = 2(x - y)dx a dy所以2(x- y)=0 x + y 一 3 = 0得到x_ ：，与Lagrange乘子法计算的一致，但是方程简单。I y = 3/2多个约束以此类推，如两个约束极值问题，在g = 0,h = 0情况下计算f的极值，就可以按照下面方程给。 g=0h=0 df a dg a dh = 05计算偏导数问题 在热力学中经常需要计算各种偏导数问题。采用微分形式可以方便地计算。 热力学中只有两个自由参数。利用dE = TdS - PdV等关系定义变量间关系。将其

12、外微分，得到dT a dS = dP a dV 那么热力学可以方便地给出热力学公式，比如dT a dS = dP a dV ，两边除以 dT a dV 可以得到dT a dS = dP a dVdT a dV dT a dV可以得到(QS =(QP乔丿莎丿TV对任意一个等式，都可以改变自变量如1PdE _ dS -dVTT1P外微分后d亍a dE _ -d a dV除以dE a dP可以得到 fa P、 aPd a dVT _ dE a dPTra i)aTSPSE v 丿仃P 丫a T aF三对换关系dT a dP dP a dV dV a dT_ 1 dP a dV dV a dT dT

13、a dP就是(ST1求导换自变量比如G e ) - dS a dE _ (dS a dE)/(dP a dV) s t _ dS a dT _ (dS a dT)/(dP a dV)(a s ) (a e )(aps )V (ape)V GsJ GtF (aps )V (apt )VV PV P方便得很6 正交曲线坐标系的求导公式d r _ 工 e o _ 工 e h d gi ii i iii_ e dokk工 o a deiii形式地写作a k ， j ij jkijdodg hi _hj工o a de _工iiiike d okk可以特解dei=工doe；koi-k，其齐次方程工0 a

14、de _ 0的解de _ 2iii i i满足e - de + e - de _ 0的解为i j j iido、-)eokk根据微分关系记忆很容易工 o a deiii工e dokk ikdei =（營-答k，系数反对称化是kike - de + e - de 二 0 的要求i j j i例如 球坐标系dr = rdr + 0 rd0 + (pr sin 0do = drro = rd0oo = r sin Odppdr = rdr + 0 rdO + pr sin Odp d (rdO) d (dr)合dr =drrdO 丿总 /ddrd (rdO)、 zd0 = (一)r + (小rdOd

15、rrdOddrd(rsinOdp)dp = (-)r +r sinOdpX /d (r sin Odp)d (dr)0 + (drr sinOdpd(r sinOdp)d(rdO)旳r sin Odpd(rdO)d(r sinOdp)&n 0 r sin Odp)pdrrdO丿dr = 0 dO +cp sin Odp d0 = -FdO + p cosOdp dp = -r sin Odp - 0 cosOdp根据这个公式可以写出在球面坐标系下的各种梯度、旋度、散度等。方法是方向矢量的偏微分直接计算。记住这个公式，需要借助立体图。图中画出了点r及经过其点曲面坐标的三个 单位矢量；O改变形行成

16、的大圆弧，P改变形成的小圆，r改变形成通过坐标原点的射线。 r 改变不会影响这些方向。每个单位矢量在这些变化中，形成的图形：大圆，小圆，上椎体， 下椎体。（1）当0改变时，r是大圆的径向，变化量为大圆半径为1时对应的弧长，大 圆切线方向0dO ;当p改变时，r是下椎体母线方向，改变量为母线长度为1时对应椎体边弧长，方向小圆切线方向sin側;当改变时，是大圆切线方向，改变向心方向rd0 ；当改变时， 是上椎体母线方向，改变量为母线为1时的体边弧长，方向小圆切线方向COS0d ；当0改变时，平行移动；当改变时，是小圆切线，按照小圆转动,改变向心方向(-r sin 0 - cos 0 )d ；在柱面坐标系中，完全通过直观可以给出dp = d0d = -pd0dz = 078 包络几何(包络线，包络面等)理论 含有参数的方程组代表空间几何曲线或几何面簇，当参数改变时，几何曲线或几何面会随之 改变。这些几何簇的包络就是他们共切的曲线。f(x,s) = 0定义了一簇低维面