2021-2022学年辽宁省抚顺市高二年级上册学期入学考试数学试题【含答案】

1、2021-2022学年辽宁省抚顺市高二上学期入学数学试题一、单选题1已知（2，1，2），（x，y，6），与共线，则x+y（）A5B6C3D9C【分析】利用向量共线求得，由此求得.【详解】由于与共线，所以.故选：C2已知点和点，且，则实数的值是（）A或B或C或D或B【分析】利用空间两点间的距离公式求解.【详解】点和点，且，化简得，解得或，实数的值是或故选：B3已知向量，若共面，则x等于（）AB1C1或D1或0A【分析】由共面，设，根据坐标运算列出方程求解即可.【详解】因为共面，设所以解得：，即故选：A4用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列若,则；若ab，bc，则ac；若，则；若a，

2、ab，则其中真命题的个数是（）A0B1C2D3A【分析】根据线线平面，线面平行等知识对四个命题逐一分析，由此确定正确选项.【详解】A选项，可能在平面内，所以A错误.B选项，可能平行，所以B错误.C选项，可能异面，所以C错误.D选项，可能在平面内，所以D错误.所以真命题的个数为.故选：A5已知平面内有一点A(2，1,2)，它的一个法向量为，则下列点P中，在平面内的是（）A(1，1,1)B(1,3，)C(1，3，)D(1,3，)B【分析】要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量是否垂直，即判断是否为0即可.【详解】对于选项A，则，故排除A；对于选项B，则对于选项C，则，故排除C；对于选项

3、D，则，故排除D；故选:B6在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=1，（）A1B0C1D不确定B【分析】先证明，然后利用向量运算求得所求表达式的值.【详解】设是中点，由于，所以，由于，所以平面，所以.故选：B7已知是长方体外接球的一条直径，点在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，则的取值范围为（）ABCDD【分析】先求得外接球的半径.【详解】设外接球的半径为，则.设是球心，则，.故选：D8已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，.对于结论：；是平面的法向量；.其中正确的是（）ABCDB【分析】求出判断不正确；根据 判断正确；由，判断正确；假设存在使得，由无解，判断不正确.【

4、详解】由，2，2，知：在中，故不正确；在中，故正确；在中， ，又因为，知是平面的法向量，故正确；在中，3，假设存在使得，则，无解，故不正确；综上可得：正确故选：B本题考查命题真假的判断，考查空间向量垂直、向量平行等基础知识，考查了平面的法向量以及空间向量的模，考查推理能力与计算能力，属于基础题二、多选题9已知直线的方向向量分别是，若且则x-y的值可以是（）AB7CD-5BD【分析】根据已知条件列方程，由此求得，进而求得.【详解】依题意可知或或.故选：BD10以下命题正确的是（）A直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则B直线l的方向向量，平面的法向量，则C两个不同平面，的法向量分别为，则D平面

5、经过三点，向量是平面的法向量，则CD根据空间直线的方向向量数量积的值是否为零判定两直线是否垂直，即可判断A；根据空间直线的方向向量与平面的法向量是否共线判定B；根据两平面法向量是否平行可判断C；，利用法向量与上面两向量的数量积为零，即可求得的值，可判断D.【详解】A:，则不垂直，直线与不垂直，故A不正确；B:若，则，存在实数，使得,无解，故B错误；C:，与共线，故C正确；D:点，.向量是平面的法向量，即，解得，故D正确.故选：CD.本题考查了空间向量的数量积运算，考查了基本运算能力，属于基础题.必须熟练掌握的知识和技能：（1）空间两直线垂直的充分必要条件是其方向向量垂直；（2）线面垂直的充分必

6、要条件是直线的方向向量与平面的法向量平行；（3）两个不同平面平行的充分必要条件是其法向量共线.11在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设，则下列等式成立的是（）ABCDABCD【分析】根据三角形内中点的结论及向量加法、减法的三角形法则逐个分析选项即可得出答案.【详解】如图，因为为的中点，所以，故选项A正确；，故选项B正确；，故选项C正确；，故选项D正确.故选：ABCD12如图，菱形边长为2，E为边AB的中点.将沿DE折起，使A到，且平面平面，连接，.则下列结论中正确的是（）AB四面体的外接球表面积为CBC与所成角的余弦值为D直线与平面所成角的正弦值为BCD【分析】将沿折起，使到，且

7、平面平面，连接，则，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果【详解】解：将沿折起，使到，且平面平面，连接，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，对于，0，0， 2，与不垂直，故错误；对于，取中点，连接，过作平面，四面体的外接球球心在直线上，设，由，得，解得，四面体的外接球表面积为：，故正确；对于，设与所成角的为，则，与所成角的余弦值为，故正确；对于，0，设平面的法向量，则，取，得，1，直线与平面所成角的正弦值为：，故正确故选：三、填空题13已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是_【分析】根据投影向量概念求解即可.【详解】因为空间向量，所以，所以向量在向量上

8、的投影向量为：，故答案为.14正方体的棱长为，点和分别是和的中点，则异面直线和所成角的余弦值为_【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出，利用空间向量夹角余弦公式可得答案.【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，设异面直线和所成角为，则异面直线和所成角的余弦值为故15正方体棱长为2，N是棱AD的中点，M是棱的中点，则直线BM与之间的距离为_.【分析】如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系求出，求出直线BM与的公垂线的方向向量即得解.【详解】如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系 则(2，2，2，0，2，,设为直

9、线BM与的公垂线的方向向量，所以,所以直线BM与之间的距离为.故16如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为_4以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系, 设，求出平面的一个法向量，则，则可以得到答案.【详解】解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，故，设平面的一个法向量为，则，可取，故，又直线与平面所成角的正弦值为，解得故4本题考查根据线面角，利用向量法求柱体的高，属于中档题.四、解答题17已知向量，.（1）求（2）若，求m，n.（3）求（1）（2），（3）【分析】（1）利用向量减法的坐标运算求得.

10、（2）根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得.（3）利用，结合向量数量积和模的坐标运算，求得.【详解】（1），（2），若，则，解之得，（3），本小题主要考查空间向量减法、数量积和模的坐标运算，考查空间向量平行的坐标表示，属于基础题.18如图，四边形为正方形，点，分别为，的中点（1）证明：平面；（2）若平面，求点到平面的距离（1）证明见解析；（2）【分析】（1）取点是的中点，连接，证明后可得线面平行；（2）用等体积法求点面距【详解】（1）证明：取点是的中点，连接，则，且，且，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面（2）解：由（1）知平面，所以点到平面的距离与到平面的距离是相等的，故转化为求

11、点到平面的距离，设为，即，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，而平面，所以，所以，19如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，.(1)证明：平面平面PAC；(2)求平面PCD与平面PAB夹角的余弦值.(1)证明见解析(2)【分析】（1）过点C作于点H，由平面几何知识证明，然后由线面垂直的性质得线线垂直，从而得线面垂直，然后可得面面垂直；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角【详解】(1)在梯形ABCD中，过点C作于点H.由，可知，.所以，即，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，由及，平面PAC，得平面PAC.又由平面PCD，所以平面平面PAC.(2)因为AB，AD，A

12、P两两垂直，所以以A为原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，3），.设平面PCD的法向量为，则，取，则，则.平面PAB的一个法向量为，所以，所以平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值为.20在边长为2的菱形中，点是边的中点（如图1），将沿折起到的位置，连接，得到四棱锥（如图2）（1）证明：平面平面；（2）若，连接，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明见解析，（2）.【分析】（1）连接图1中的，证明，然后证明平面即可；（2）证明平面，然后以为原点建立如图空间直角坐标系

13、，然后利用向量求解即可.【详解】（1）连接图1中的，因为四边形为菱形，且所以为等边三角形，所以所以在图2中有，因为所以平面，因为，所以平面平面（2）因为平面平面，平面平面，所以平面以为原点建立如图空间直角坐标系所以所以设平面的法向量为，则，令，则，所以所以直线与平面所成角的正弦值21如图所示，底面为菱形的直四棱柱被过三点的平面截去一个三棱锥(图一)得几何体(图二)，E为的中点.(1)点F为棱上的动点，试问平面与平面是否垂直?请说明理由；(2)设，当点F为中点时，求锐二面角的余弦值.(1)是，理由见解析(2)【分析】（1）判断出平面平面，利用面面垂直的判定定理即可证明.（2）连接OE，以为轴的正

14、方向，建立空间直角坐标系，用向量法计算即可.【详解】(1)平面平面，证明如下：连接AC，BD相交于点O，因为底面ABCD为菱形，所以ACBD，又因为直四棱柱上下底面全等，所以由ACBD得，又因为CB=CD，所以CB1=CD1.因为E为B1D1的中点，所以，又，所以B1D1平面CEA1，又因为平面，所以平面平面CEA1.(2)连接OE，所以OE平面ABCD，所以OB，OC，OE两两互相垂直.所以分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则O（0，0，0），.设平面的一个法向量为，则，令,所以.同理可得平面F的一个法向量. 所以，所以所求的锐二面角的余弦值为22如图，在五棱锥中，底面，在底面的同侧.在五边形中，是外接圆的直径.（1）证明：平面.（2）若二面角的余弦值为，求.（1）证明见解析；（2）1.【分析】（1）证明 ，得平面平面，进而由面面平行的性质定理证明线面平行.（2）利用待定系数法，通过向量法求二面角的余弦值，得到关于未