2021-2022学年吉林省长春市第五中学高二年级下册学期期末数学试题【含答案】

1、2021-2022学年吉林省长春市高二下学期期末数学试题一、单选题1，则（）ABCDC【分析】解一元二次不等式确定集合，解分式不等式确定集合，然后由交集定义求解【详解】或，因此，.故选：C本题考查集合的交集运算，解题关键是确定集合的元素2设，给出下列四个结论：；.其中正确的结论的序号为（）ABCDB【分析】根据数的性质以及不等式性质可判断；举反例可判断，根据不等式性质可判断，即可判断答案.【详解】因为，故，故正确；不妨取 ，满足，但，故错误；由，可得，故错误；由于，则，而，故，即，故正确，故选：B3已知，则（）ABCDC【分析】由指数函数与对数函数的单调性求解即可【详解】因为，所以，故选：C4

2、已知函数，则“对任意实数，恒成立”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件B【分析】结合一元二次不等式恒成立、充分和必要条件等知识确定正确选项.【详解】恒成立，则，解得或，所以“对任意实数，恒成立”是“”的必要而不充分条件.故选：B5函数的图象大致为（）ABCDB【分析】先判断函数的奇偶性排除选项C,D，再根据f(2)0，排除选项A，即得解.【详解】解：由题意可知，sinx，则f(x)f(x)，所以函数是偶函数，图象关于y轴对称，排除选项C,D.又f(2)0，则排除选项A.故选：B6若函数在上可导，且，则（）ABCD以上答案都不对C【分析】求出函数的

3、导函数，令，即可求出，从而得到的解析式，再根据二次函数的性质判断可得；【详解】解：因为，所以，所以，解得，所以，函数开口向上，对称轴为，因为，所以；故选：C72021年元旦期间，某高速公路收费站的四个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设四个收费口均能正常工作，则这四个收费口每天至少有一个不低于700辆小汽车通过的概率为（）ABCDD【分析】根据正态曲线的对称性结合题意求出每个收费口有不低于700辆小汽车通过的概率，再利用对立事件的概率公式可求得答案【详解】根据正态曲线的对称性，每个收费口有不低于700辆小汽车通过的概率，所以这四个收费口每天至少有一个不低于700辆小

4、汽车通过的概率故选：D8已知函数，函数有四个不同的零点，且满足：，则下列结论中不正确的是（）ABCDB【分析】作出函数图象，根据函数图象得出4个零点的关系及范围，进而得出结论.【详解】函数的四个不同的零点，就是函数与两个图象四个交点的横坐标，作出函数的图象，由图象可知，故A正确；由，可得或，结合图象可知，故B错误；根据二次函数的性质和图象得出，所以，故C正确；又，且，所以，即，所以，故D正确.故选：B.二、多选题9下列说法正确的是（）AB是的充分不必要条件C已知函数的零点为1D若的定义域为0，2，则的定义域为1，1BC【分析】由配方法判断的符号进而判断A，根据充分不必要条件的定义即可判断B，求

5、出函数的零点即可判断C，根据题意求出中x+1的范围，进而得到的定义域，最后判断D.【详解】对A，因为，所以A错误；对B，由可以得到，但由得不到，所以B正确；对C，令，所以C正确；对D，因为的定义域为0，2，即，所以的定义域为1,2，所以D错误.故选：BC.10定义在上的函数满足在上单调递增，且图象关于点对称，则下列选项正确的是（）ABC在上单调D函数在上可能有2023个零点AC【分析】由，且图象关于点对称，得到的周期为4，结合满足在上单调递增，结合周期性与对称性得到在单调递减，分别判定选项即可.【详解】所以的对称轴为，且，又图象关于点对称，则，所以，所以，所以，所以的周期为4，所以为的对称中心

6、，所以奇函数，且定义域为，所以，所以A正确；根据周期性，且,又对称轴为，所以，且函数满足在上单调递增，所以，所以，所以B错误；函数满足在上单调递增，且周期为4，所以函数满足在上单调递增，又图象关于点对称，所以在单调递增，又对称轴为，所以在单调递减，且在单调递减，且，所以在单调递减，所以C正确；对于D，在上有且仅有2个零点，且周期为4，在上有且仅有1010个零点，在上有且仅有2个零点，函数在上可能有1012个零点，所以D错误.故选：AC.11已知函数，下列说法正确的是（）A在上单调递减，在上单调递增B在上仅有一个零点C若关于x的方程有两个实数解，则D在上有最大值，无最小值BD【分析】求出导函数，

7、即可得到函数的单调性与极值、最值，再根据零点存在性定理判断函数的零点，结合函数值的变化趋势判断C.【详解】解：因为定义域为，所以，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，函数在处取得极大值即最大值，所以，又，所以在上有一个零点，当时，所以，当时，所以，且当时，当时；所以在上仅有一个零点，在上有最大值，无最小值，故A错误，B正确，D正确；对于C：若关于x的方程有两个实数解，则，故C错误；故选：BD12设函数，则下列说法正确的是（）A若有实根，则方程有实根B若无实根，则方程无实根C若，则函数与都恰有个零点D若，则函数与都恰有零点ABD【分析】直接利用代入法可判断A选项的正误；推导出对任意的

8、恒成立，结合该不等式可判断B选项的正误；取，结合方程思想可判断C选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，设有实根，则，A选项正确；对于B选项，因为，若方程无实根，则对任意的恒成立，故，从而方程无实根，B选项正确；对于C选项，取，则，函数有两个零点，则，可得或，即或.解方程可得或，解方程，解得.此时，函数有个零点，C选项错误；对于D选项，因为，设，则，因为且，所以，函数必有两个零点，设为、且，则，所以，方程无解，方程有两解，因此，若，则函数与都恰有零点，D选项正确.故选：ABD.思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数和外层函数；（

9、2）确定外层函数的零点；（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、，则函数的零点个数为.三、填空题13含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为_.【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解.【详解】解：由题意，若，则或，检验可知不满足集合中元素的互异性，所以，则，所以，则，故.故答案为.14已知，求的最小值_.【分析】利用基本不等式求得最小值.【详解】，当且仅当时等号成立.故15给出下列由变量和的数据得到其回归直线方程，则一定经过点；在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱；在回归直线方程

10、中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量增加0.5个单位.其中真命题的序号是_【分析】利用回归直线方程的特征以及两个变量之间的关系逐一判断四个选项的正误即可.【详解】回归直线一定过样本中心点，故正确；残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故正确；线性相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，故错误；在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量减少0.5个单位，故错误.故.16设点在直线上，点在曲线上，线段的中点为为坐标原点，则的取小值为_.【分析】通过转化可得的最小值为到距离平方的最小值，利用导数求出切线即可得出.【详解】由题可设，则则即，即的最小值为到

11、距离平方的最小值，其中点在曲线上，在直线上，的最小值为在曲线上与直线平行的切线的切点到直线的距离，设切点为，因为曲线导数，则，解得，所以切点为，所以，所以.故答案为.四、解答题17垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据，其中和分别表示第个县城的人口(单位：万人)和该县年垃圾产生总量(单位：吨)，并计算得，.（1）请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合；（2）求关于的线性回归方程，用所求回归方程预测该市10万人口的县城

12、年垃圾产生总量约为多少吨？参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.（1）答案见解析；（2）252.5吨.【分析】（1）利用相关系数，代入数据求出，相关系数绝对值越大，相关性越强即可判断. （2）由，代入系数即可求出回归直线方程，再将代入即可求解.【详解】（1）由题意知，相关系数.因为与的相关系数接近1，所以与之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合.（2）由题意可得，所以.当时，所以该市10万人口的县城年垃圾产生总量约为252.5吨.18自“新冠肺炎”爆发以来，中国科研团队一直在积极地研发“新冠疫苗”，在科研人员不懈努力下，

13、我国公民率先在2020年年末开始可以使用安全的新冠疫苗，使我国的“防疫”工作获得更大的主动权，研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为实验对象，进行了一些实验（1）实验一：选取10只健康白兔，编号1至10号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中，实验结果发现，除2号、3号和7号白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染，现从这10只白兔中随机抽取4只进行研究，将仍被感染的白兔只数记作，求的分布列和数学期望（2）科研人员在另一个实验中发现，疫苗可多次连续注射，白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响，相互独立，试问，若将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的

14、频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗能否保证有效率达到96%，如若可以请说明理由，若不可以，请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求（1）分布列见解析；期望为；（2）不可以；每支疫苗的有效率至少要达到80%才能满足以上要求【分析】（1）先分析出的可取值，然后根据超几何分布模型求解取不同值时的概率，由此可求得的分布列，并根据分布列可计算出数学期望；（2）根据已知条件先分析出注射一次疫苗的有效率，然后计算注射两次疫苗的有效率并与作比较，得到结果为无法保证后先假设疫苗的有效率，利用减去两次疫苗都无效的概率等于，由此求解出结果.【详解】解：（1）因为可取，所以所以，所以的分布列如下

15、：；（2）因为实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率为，所以注射一次疫苗的有效率为，又因为每次注射的疫苗对白兔是否有效相互独立，所以一只白兔注射两次疫苗的有效率为：，所以无法保证，设每支疫苗有效率至少达到才能满足要求，则，解得所以每支疫苗的有效率至少要达到才能满足以上要求.关键点点睛：超几何分布模型的理解：一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则，即：其中，且；如果随机变量的分布列具有上表的形式，则称随机变量服从超几何分布.19第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办，为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学

16、生作为样本，得到他们的分数统计如下：分数段30，40）40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100人数1228331我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀.（I）从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？（II）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X表示这2人中优秀人数，求X的分布列与期望.（1）；（2）分布列见详解；.【分析】（1）利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解.（2）由题意可得，再利用二项分布的概率计算公式列出分布列，从而求出数

17、学期望.【详解】（1）记恰好2名学生都是优秀的事件为， 则. （2）抽到一名优秀学生的概率为，X的取值为，,故X的分布列为： 20直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力贫困地区农民脱贫增收某贫困地区有统计数据显示，2020年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（岁岁）和“非年轻人”（岁及以下或者岁及以上）两类，将一周内使用的次数为次或次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为次或不足次的称为“不常使用直播销售

18、用户”，则“经常使用直播销售用户”中有是“年轻人”（1）现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本，请你根据图表中的数据，完成列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关？使用直播销售情况与年龄列联表年轻人非年轻人合计经常使用直播销售用户不常使用直播销售用户合计（2）某投资公司在2021年年初准备将万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择：方案一：线下销售根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为；方案二：线上直播销售根据市场

19、调研，利用线上直播销售，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由参考数据：独立性检验临界值表其中，（1）列联表见解析，有的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关；（2）选方案一，理由见解析.【分析】（1）由图1知，“年轻人”有人，“非年轻人”有人，由图2知，“经常使用直播销售用户”有人，“不常使用直播销售用户” 有人，即可补全的列联表，计算，判断是否有的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关.（2）按方案一，设获利万元，列的分布列，并计算期望和；按方案二，设获利万元列，列的分布列，

20、并计算期望和，比较两个方案的期望和方程，从而选取方案.【详解】（1）由图1知，“年轻人”占比为，即有（人），“非年轻人”有（人）由图2知，“经常使用直播销售用户”占比为，即有（人），“不常使用直播销售用户” 有（人）.“经常使用直播销售用户的年轻人”有中有（人），“经常使用直播销售用户的非年轻人”有（人）补全的列联表如下：年轻人非年轻人合计经常使用直播销售用户不常使用直播销售用户合计于是.，即有的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关.（2）若按方案一，设获利万元，则可取的值为行，的分布列为：（万元），若按方案二，设获利万元，则可取的值为，的分布列为：（万元），由方案二的方差要比方案一的方差大

21、得多，从稳定性方面看方案一线下销售更稳妥，故选方案一.方法点睛：本题考查列联表的应用以及离散型随机变量的分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.21已知函数.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x0时，f（x）x3+1，求a的取值范围.（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2）【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)方法一：首先讨

22、论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.【详解】(1)当时，由于，故单调递增，注意到，故：当时，单调递减，当时，单调递增.(2) 方法一【最优解】：分离参数由得，其中，.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；.当时，分离参数a得，记，令，则，故单调递增，故函数单调递增，由可得：恒成立，故当时，单调递增；当时，单调递减；因此，,综上可得，实数a的取值范围是.方法二：特值探路当时，恒成立只需证当时，恒成立当时，只需证明式成立式，令，则，所以当时，单调递减；当单调递增；当单调递减从而，即，式成立所以当时，恒成立综上方法三：指数集中

23、当时，恒成立，记，.当即时，则当时，单调递增，又，所以当时，不合题意；.若即时，则当时，单调递减，当时，单调递增，又，所以若满足，只需，即，所以当时，成立；当即时，又由可知时，成立，所以时，恒成立，所以时，满足题意.综上，.【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！22已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式恒成立，求a的取值范围（1）（2）【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最