2021-2022学年安徽省淮北市濉溪中学高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1在中，为边上的中点，且，则（ ）ABCD2函数图像可能是（ ）ABCD3已知f(x)，g(x)

2、都是偶函数，且在0,+)上单调递增，设函数F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|，若a0，则（ ）AF(-a)F(a)且F(1+a)F(1-a)BF(-a)F(a)且F(1+a)F(1-a)CF(-a)F(a)且F(1+a)F(1-a)DF(-a)F(a)且F(1+a)F(1-a)4已知复数，为的共轭复数，则（ ）ABCD5根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y进行回归分析，设u= lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为=0.5v+2，则变量y的最大值的估计值是（ ）AeBe2Cln2D2ln26已知复数(1+i)(a+i)为纯虚数(i为虚

3、数单位)，则实数a=（ ）A-1B1C0D27设函数（，为自然对数的底数）,定义在上的函数满足，且当时，若存在，且为函数的一个零点，则实数的取值范围为（ ）ABCD8设是虚数单位，则（ ）ABC1D29已知纯虚数满足，其中为虚数单位，则实数等于（ ）AB1CD210在平面直角坐标系中，锐角顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴，终边与单位圆交于点，则（ ）ABCD11已知，则下列关系正确的是（ ）ABCD12定义，已知函数，则函数的最小值为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13某公园划船收费标准如表：某班16名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，每只租船必须

4、坐满，租船最低总费用为_元，租船的总费用共有_种可能.14已知数列的前项和为且满足，则数列的通项_15如图，在矩形中，为边的中点，分别以、为圆心，为半径作圆弧、（在线段上）.由两圆弧、及边所围成的平面图形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .16已知三棱锥，是边长为4的正三角形，分别是、的中点，为棱上一动点（点除外），若异面直线与所成的角为，且，则_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知等差数列满足，.（l）求等差数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18（12分）已知函数当时，求函数的极值；若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范

5、围19（12分）已知函数，（1）若，求实数的值（2）若，求正实数的取值范围20（12分）如图所示，四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，PCCD2，E为AB的中点，底面四边形ABCD满足ADCDCB90，AD1，BC1（）求证：平面PDE平面PAC；（）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值；（）求二面角DPEB的余弦值21（12分）设，其中（1）当时，求的值；（2）对，证明：恒为定值22（10分）年，山东省高考将全面实行“选”的模式（即：语文、数学、外语为必考科目，剩下的物理、化学、历史、地理、生物、政治六科任选三科进行考试）.为了了解学生对物理学科的喜好程度，某高中从高一年级学生中随机抽取人

6、做调查.统计显示，男生喜欢物理的有人，不喜欢物理的有人；女生喜欢物理的有人，不喜欢物理的有人.（1）据此资料判断是否有的把握认为“喜欢物理与性别有关”；（2）为了了解学生对选科的认识，年级决定召开学生座谈会.现从名男同学和名女同学（其中男女喜欢物理）中，选取名男同学和名女同学参加座谈会，记参加座谈会的人中喜欢物理的人数为，求的分布列及期望.，其中.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解析】由为边上的中点，表示出，然后用向量模的计算公式求模.【详解】解：为边上的中点，故选：A【点睛】在三角形中，考查中点向量公式和向量

7、模的求法，是基础题.2D【解析】先判断函数的奇偶性可排除选项A,C，当时，可分析函数值为正，即可判断选项.【详解】,即函数为偶函数，故排除选项A,C，当正数越来越小，趋近于0时，所以函数，故排除选项B,故选：D【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数的图象，属于中档题.3A【解析】试题分析：由题意得，F(x)=2g(1-x),f(x)g(1-x)2f(x),f(x)g(1-x)，F(-a)=2g(1+a),f(a)=f(-a)g(1+a)2f(-a),f(a)=f(-a)g(1+a)，F(a)=2g(1-a),f(a)g(1-a)2f(a),f(a)0，(a+1)2-(a-1)2=4a0，

8、|1+a|a-1|g(1+a)g(1-a)，若f(a)g(1+a)：F(-a)=2g(1+a)，F(a)=2g(1-a)，F(-a)F(a)，若g(1-a)f(a)g(1+a)：F(-a)=2f(-a)=2f(a)，F(a)=2g(1-a)，F(-a)F(a)，若f(a)g(1-a)：F(-a)=2f(-a)=2f(a)，F(a)=2f(a)，F(-a)=F(a)，综上可知F(-a)F(a)，同理可知F(1+a)F(1-a)，故选A.考点：1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致1-a与1+a大小不明确的讨论，从而使解题过

9、程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上.4C【解析】求出，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.【详解】.故选：C【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.5B【解析】将u= lny，v=(x-4)2代入线性回归方程=-0.5v+2，利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值.【详解】解：将u= lny，v=(x4)2代入线性回归方程=0.5v+2得：，即，当时，取到最大值2，因为在上单调递增，则取到最大值.故选：B.【

10、点睛】本题考查了非线性相关的二次拟合问题，考查复合型指数函数的最值，是基础题,.6B【解析】化简得到z=a-1+a+1i，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】z=1+ia+i=a-1+a+1i为纯虚数，故a-1=0且a+10，即a=1.故选：B.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.7D【解析】先构造函数，由题意判断出函数的奇偶性，再对函数求导，判断其单调性，进而可求出结果.【详解】构造函数，因为，所以，所以为奇函数，当时，所以在上单调递减，所以在R上单调递减.因为存在，所以，所以，化简得，所以，即令，因为为函数的一个零点，所以在时有一个零点因为当时，所以函数在时单调递

11、减，由选项知，又因为，所以要使在时有一个零点，只需使，解得，所以a的取值范围为，故选D.【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.8C【解析】由，可得，通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出的值.【详解】解：， ，解得：.故选:C.【点睛】本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把 当成进行运算.9B【解析】先根据复数的除法表示出，然后根据是纯虚数求解出对应的的值即可.【详解】因为，所以，又因为是纯虚数，所以，所以.故选：B.【点睛】本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，难度较易.若复数为纯虚数，则有.10A【解析】根据单位圆以及角度

12、范围，可得，然后根据三角函数定义，可得，最后根据两角和的正弦公式，二倍角公式，简单计算，可得结果.【详解】由题可知：，又为锐角所以，根据三角函数的定义：所以由所以故选：A【点睛】本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式，还考查二倍角的正弦、余弦公式，难点在于公式的计算，识记公式，简单计算，属基础题.11A【解析】首先判断和1的大小关系，再由换底公式和对数函数的单调性判断的大小即可.【详解】因为，所以，综上可得.故选：A【点睛】本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12A【解析】根据分段函数的定义得，则,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小

13、值.【详解】依题意得，则,(当且仅当，即时“”成立.此时,，的最小值为，故选：A.【点睛】本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出，再由基本不等式求得最值，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13360 10 【解析】列出所有租船的情况，分别计算出租金，由此能求出结果.【详解】当租两人船时，租金为：元，当租四人船时，租金为：元，当租1条四人船6条两人船时，租金为：元，当租2条四人船4条两人船时，租金为：元，当租3条四人船2条两人船时，租金为：元，当租1条六人船5条2人船时，租金为：元，当租2条六人船2条2人船时，租金为：元，当租1条六人船1条四人船3条2

14、人船时，租金为：元，当租1条六人船2条四人船1条2人船时，租金为：元，当租2条六人船1条四人船时，租金为：元，综上，租船最低总费用为360元，租船的总费用共有10种可能.故答案为：360，10.【点睛】本小题主要考查分类讨论的数学思想方法，考查实际应用问题，属于基础题.14【解析】先求得时；再由可得时,两式作差可得,进而求解.【详解】当时,解得；由,可知当时,两式相减,得,即,所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以,故答案为:【点睛】本题考查由与的关系求通项公式,考查等比数列的通项公式的应用.15【解析】由题意，可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中，圆柱的底面半径为1，母线长

15、为2；体积为；两个半球的半径都为1，则两个半球的体积为；则所求几何体的体积为.考点：旋转体的组合体.16【解析】取的中点，连接，取的中点，连接，直线与所成的角为，计算，根据余弦定理计算得到答案。【详解】取的中点，连接，依题意可得，所以平面，所以，因为，分别、的中点，所以，因为，所以，所以平面，故，故，故两两垂直。取的中点，连接，因为，所以直线与所成的角为，设，则，所以，化简得，解得，即.故答案为：.【点睛】本题考查了根据异面直线夹角求长度，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 (1)；(2).【解析】试题分析：（1）设等差数列

16、满的首项为，公差为，代入两等式可解。（2）由（1），代入得，所以通过裂项求和可求得。试题解析：（1）设等差数列的公差为，则由题意可得，解得.所以.（2）因为，所以.所以 .18（1）当时，函数取得极小值为，无极大值；（2）【解析】试题分析：（1），通过求导分析，得函数取得极小值为，无极大值；（2），所以，通过求导讨论，得到的取值范围是试题解析：（1）函数的定义域为当时，所以 所以当时，当时，所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，所以当时，函数取得极小值为，无极大值； （2）设函数上点与函数上点处切线相同，则 所以 所以，代入得： 设，则不妨设则当时，当时，所以在区间上单调递减，在区间上单调递

17、增， 代入可得：设，则对恒成立，所以在区间上单调递增，又所以当时，即当时, 又当时 因此当时，函数必有零点；即当时，必存在使得成立；即存在使得函数上点与函数上点处切线相同又由得：所以单调递减，因此所以实数的取值范围是19（1）1（2）【解析】（1）求得和，由，得，令，令导数求得函数的单调性，利用，即可求解（2）解法一：令，利用导数求得的单调性，转化为，令（），利用导数得到的单调性，分类讨论，即可求解解法二：可利用导数，先证明不等式，令（），利用导数，分类讨论得出函数的单调性与最值，即可求解【详解】（1）由题意，得， 由，得，令，则，因为，所以在单调递增， 又，所以当时，单调递增； 当时，单调递

18、减；所以，当且仅当时等号成立 故方程有且仅有唯一解，实数的值为1 （2）解法一：令（），则，所以当时，单调递增; 当时，单调递减;故 令（），则（i）若时，在单调递增，所以，满足题意 （ii）若时，满足题意（iii）若时，在单调递减，所以不满足题意 综上述： 解法二：先证明不等式，（*）令，则当时，单调递增，当时，单调递减，所以，即变形得，所以时，所以当时，.又由上式得，当时，.因此不等式（*）均成立 令（），则，（i）若时，当时，单调递增; 当时，单调递减;故 （ii）若时，在单调递增，所以 因此，当时，此时，则需由（*）知，（当且仅当时等号成立），所以 当时，此时，则当时， （由（*）知）

19、；当时，（由（*）知）故对于任意，综上述：【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题20（）证明见解析（）（）【解析】（）由题知，如图以点为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，计算，证明，从而平面PAC，即可得证；（）求解平面PDE的一个法向量，计算，即可得直线PC与平面PDE所成角的正弦值；（）求解平面PBE的一个法向量，计算，即可得二面角DPEB的余弦值【详解】（）PC底面ABCD， 如图以点为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系