2023届新教材新高考一轮复习北师大版 5.1 任意角和弧度制及三角函数的概念 学案

1、第一节任意角和弧度制及三角函数的概念课程标准考情分析核心素养1.了解任意角的概念和弧度制的概念2能进行弧度与角度的互化3理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义近两年的新高考试卷中都没有单独考查三角函数的定义数学抽象直观想象数学运算教材回扣夯实“四基”基础知识1.任意角(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着_从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)角的分类：按旋转方向分为_角、_角、_角(3)与角终边相同的角的集合：S|_2弧度制(1)角度制和弧度制角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1360弧度制长度等于_长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单

2、位用符号rad表示，读作弧度以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制(2)角度制和弧度制的互化：180_rad，1_rad，1 rad180.(3)扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为n(为其圆心角的弧度数)，则：扇形的弧长lnR180l_扇形的面积SnR2360S12lR_【微点拨】角度与弧度的换算的关键是180，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用3三角函数的概念(1)定义：设是一个任意角，R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin _；cos _，tan yx(x0)(2)三角函数定义的推广：设点P(x，y)是角终边上任意一点且不与原点重合，r

3、|OP|，则sin _，cos _，tan yx(x0)【微点拨】三角函数就是以角为自变量，以比值为函数值的函数，它的函数值不会随着点P在的终边上的位置的改变而改变常用结论1三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦2象限角3轴线角4若0，2，则sin tan .基本技能、思想、活动经验题组一思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)1.锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角()2角的三角函数值与其终边上点P的位置无关()3不相等的角终边一定不相同()4三角形的内角必是第一、第二象限角()题组二教材改编5角870的终边所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象

4、限6已知扇形的圆心角为60，其弧长为2，则此扇形的面积为_题组三易错自纠7下列与94的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ) Bk36094(kZ)C.k360315(kZ) Dk54(kZ)8已知角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(1，y)是角终边上的一点，且sin 31010，则y_题型突破提高“四能”题型一象限角与终边相同的角例1(1)(多选)下列命题正确的是()A34是第二象限角B43是第三象限角C400是第四象限角D315是第一象限角(2)若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y3x上，则角的取值集合是()Aaa=2k-3，kZBaa=2

5、k+23，kZCaa=k-23，kZDaa=k-3，kZ(3)若角是第二象限角，则2是()A第一象限角 B第二象限角C第一或第三象限角 D第二或第四象限角类题通法1.判断象限角的两种常用方法2确定k，k(kN*)的终边位置的一般步骤巩固训练1(1)2022山东济南月考若3k，kZ，则角的终边在()A第一或第三象限 B第二或第三象限C第三或第四象限 D第二或第四象限(2)与2 010终边相同的最小正角是_题型二扇形的弧长、面积公式例2已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

6、(3)若3，R2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积听课记录类题通法解有关扇形弧长、面积公式问题的三种策略巩固训练2(1)2022河北邢台月考已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是()A2 B2sin1C2sin 1 Dsin 2(2)2022北京11中月考若扇形的周长是8 cm，面积是4 cm2，则扇形的圆心角为_rad.题型三三角函数定义的应用角度1 利用三角函数定义求值例3(1)2022湖南师大附中月考已知角的终边经过点P(3，4)，则sin 2cos ()A2 B3C4 D5(2)已知角的终边在直线yx上，且cos 0，则tan _听课记录类题通法利用三角函数定

7、义求值的三种类型及策略巩固训练3(1)2022福建福州模拟已知角的终边经过点(m，2)，且cos 32，则实数m()A3 B23C23 D23(2)2022山东淄博实验中学月考在平面直角坐标系中，若角的终边经过点P(3，1)，则sin ()A32 B12C12 D32角度2 三角函数值的符号判断例4(1)(多选)若sinxsinx+cosxcosx+tanxtanx1，则x可能在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)sin 2cos 3tan 4的值()A小于0 B大于0C等于0 D大于等于0听课记录类题通法判断三角函数值符号的关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角

8、函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况巩固训练4(1)若sin tan 0，且costan0，则角是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角(2)已知角是第二象限角，且cos2cos 2，则角2是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角第一节任意角和弧度制及三角函数的概念教材回扣夯实“四基”基础知识1(1)端点(2)正负零(3)k360，kZ2(1)半径(2)180(3)R12R23(1)yx(2)yrxr基本技能、思想、活动经验12.3.4.5解析：8702360150，870和150的终边相同，所以870的终边在第

9、三象限故选C.答案：C6解析：设此扇形的半径为r.由题意得3r2，所以r6.所以此扇形的面积为12266.答案：67解析：由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为42k或k36045(kZ)故选C.答案：C8解析：由三角函数定义知：sin y-12+y2310100，故y0，解得y3.答案：3题型突破提高“四能”例1解析：(1)34是第三象限角，故A错误；433，从而43是第三象限角，故B正确；40036040，从而400是第四象限角，故C正确；31536045，从而315是第一象限角，故D正确故选BCD.(2)根据题意，角的终边在直线y3x上，为第二象限角时，2k23(2k

10、1)3，kZ.为第四象限角时，2k53(2k2)3，kZ.综上，角的取值集合是aa=k-3，kZ.故选D.(3)是第二象限角，22k2k，kZ，4k22k，kZ.当k为偶数时，2是第一象限角；当k为奇数时，2是第三象限角所以2是第一或第三象限角故选C.答案：(1)BCD(2)D(3)C巩固训练1解析：(1)当k2n，nZ时，32n，nZ在第一象限；当k2n1，nZ时，432n，nZ在第三象限故选A.(2)因为2 010(6)360150，所以150与2 010终边相同，又终边相同的两个角相差360的整数倍，所以在0360中只有150与2 010终边相同，故与2 010终边相同的最小正角是150

11、.答案：(1)A(2)150例2解析：(1)603，l103103(cm)(2)由已知得，l2R20，所以S12lR12(202R)R10RR2(R5)225.所以当R5时，S取得最大值25 cm2，此时l10，2.(3)设弓形面积为S弓由题知l23(cm)S弓S扇形S三角形122321222sin 323-3(cm)2.巩固训练2解析：(1)设扇形的半径为R，由弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，可得R1sin1，由弧长公式可得：这个圆心角所对的弧长是2R2sin1，故选B.(2)设扇形的圆心角为，半径为R，则2R+R=812R2=4=2R=2.答案：(1)B(2)2例3解析：(1)因为角的

12、终边经过点P(3，4)，所以sin 432+4245，cos 332+4235，所以sin 2cos 452352.故选A.(2)由题意可知，角的终边在第二象限，在其终边上任意一点P(x，x)，由三角函数的定义可知tan -xx1.答案：(1)A(2)1巩固训练3解析：(1)由题意得mm2+2232，且m0，解得m23(舍去)，或m23，故选D.(2)由三角函数的定义可得sin 1-32+1212.故选B.答案：(1)D(2)B例4解析：(1)当x是第一象限角时，sinxsinx+cosxcosx+tanxtanx31，故x一定不是第一象限角；当x是第二象限角时，sinxsinx+cosxco

13、sx+tanxtanx1111，即x可以是第二象限角；当x是第三象限角时，sinxsinx+cosxcosx+tanxtanx1111，即x可以是第三象限角；当x是第四象限角时，sinxsinx+cosxcosx+tanxtanx1111，即x可以是第四象限角故选BCD.(2)因为223432，所以sin 20，cos 30，tan 40.所以sin 2cos 3tan 40.故选A.答案：(1)BCD(2)A巩固训练4解析：(1)由sin tan 0可知sin ，tan 异号，则为第二或第三象限角由costan0可知cos ，tan 异号，则为第三或第四象限角综上可知，为第三象限角故选C.(2)因为角是第