矩阵理论试题参考答案

1、 /4y.0IIyII可逆，BeC-aa、302丿-a(010丿3、设AeCnxn4、设A=a3a2矩阵设A为mxn矩阵,5、6、P为m阶酉矩阵，则PA与A有相同的奇异值.设AeCnxn，且A的所有列和都相等，则r(A)=|A|.v)矩阵理论2007年考试参考答案一、判断题(40分)(对者打v，错者打x)1、设A,BeCnxn的奇异值分别为oaa0,baa0,TOC o 1-5 h z12n12n如果oo(i=1,2,n)，则IIA+II11B+II.-(x)ii222、设AeCnxn为正规矩阵，则矩阵的谱半径r(A)=11AII.(v)2nxn，若对算子范数有IIA-ill-IIBll1，则

2、A+B可逆.(v为一非零实矩阵，则-(af+a2+a2)TA为A的一个广义逆1i1,其中I为单位矩阵.(v)二、计算与证明(60分)1.(10分)设矩阵AeCnxn可逆，矩阵范数II-II是Cn上的向量范数II-II诱导出的算子范数,v令L(x)=Ax,证明:maxIIL(x)IIJ!xiiv=1v=IIAIIIIA-1II.minIIL(y)IIIIyIIv=1v证明：根据算子范数的定义，有maxIIL(x)II=IIAII,IIxII=1IIA-1II=maxx工0IIA-1xIIIIxIIy=A-1x=maxy工0IIyIIIIAyIImin空1=1minIIAyIIminIIL(y)I

3、IIIyII=1IIyII=1结论成立.f1101f32.（10分）已知矩阵A=0110,b=111211J14J求矩阵A的最大秩分解;(2)求A+;(1)(3)(4)用广义逆矩阵方法判断方程组Ax=b是否有解？求方程组Ax=b的最小范数解或最佳逼近解?（要求指出所求的是哪种解）(2)B+=(BtB)-1Bt=-f231-12,D+=Dt(DDt)-1=1厂21-1A+=D+B+=15f50-5.5-437-41321丿(3)AA+b=b=f31,方程组Ax=b有解;14J(5)最小范数解:x=A+b=(1101.03.（10分）设矩阵A&Cnxn为单纯矩阵，证明：A的特征值都是实数的充分必要

4、条件是存在正定矩阵HgE,使得HA为Hermite矩阵.证明：(充分性)Ax=九x(x丰0),xhHAx二九xhHxgR,(xhHx0,xhHAxgR),（必要性）A为单纯矩阵，所以A=P-1DP,D=diag（九,，九）,九gR,1ni令H=PhP,则HA=PhPP-iDP=PhDP为Hermite矩阵.4.（10分）设矩阵AgCnxn为行严格对角占优矩阵，用Gerschgorin圆盘定理证明:（1）矩阵A为可逆矩阵;f110f1101011、0110J11JBD,解:(1)A=(2)如果矩阵A的所有主对角元均为负数，证明A的所有特征值都有负实部.证明：(1)A行严格对角占优亠Ri=工Iaj

5、I1a詁j幻njiGUSii=1n(S.=zGC:Iz-a.IIa.I)n0电S.n01IS.IHHIJIi=1a.0,1九-a.IIa.Ina的特征值都有负实部5.(10分)设矩阵AgCmxn(m0;ijaiji，jIIkAII=n-maxIkaI=IkIn-maxIaI=IkIIIAII；aijijai，ji，jIIA+BII=n-maxIa+bIn-maxIaI+n-maxIbI=IIAII+IIBIIaijijijijaai，ji，ji，j(2)A=xpH+yqH,其中x丄y,p丄qnAHA=(xpH+yqH)H(xpH+yqH)=IIxII2ppH+IIyII2qqHn22IIxIl2|p|2+IIxIl2|q|2p,q为矩阵AhA对应于|xIbllpII2,222222|x|2|q|2的特征向量.22又因为rank(AhA)=rank(A)2nrank(AhA)=rank(A)=2n|x|2|p|2,|x|2|q|2为AHA全部非零特征值2222所以