三角函数最值问题的十种常见解法

1、 -三角函数最值问题的十种常见解法*高级中学 陈锦平三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的根本内容，对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.解决三角函数最值这类问题的根本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性如有界性等，另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数二次函数等最值问题.下面介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一转化一次函数在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最根本也是最重要的特征有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最根本方法.例 1求函数 y 2cos x 1的值域分析 此为 y acos x b型的三

2、角函数求最值问题， 设t cosx，由三角函数的有界性得t 1,1，则 y 2t 13,1二. 转化 y Asin(x ) b(辅助角法)观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一.(x) 2cos x sin x例 22017 年全国 II 卷求函数 f的最大值为. asin x bcos x分析 此为 y型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三角的形式，再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观 Asin(x ) B函数化为 y察 角 、 函 数 名 、 构 造 等 特 征 一 般 可 利 用求 最2| asin x bcos x | a b2值.f (x) 2 1 52三.转

3、化二次函数(配方法)假设函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是 2 时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理.例 3求函数 y sin3 cos3x 2 x 的最小值.z. -分析利用sin cos 1 cos 3 cos 2，令t ， cosx将原函数转化为2x2xy2 xx3 2 1y t11,3 2, 则 t1 1,配方，得,当 t=1 时,即ty t2t240cos*=1 时，ymin四. 引入参数转化换元法对 于 表 达 式 中 同 时 含 有 sin*+cos* ， 与 sin*cos* 的 函 数 ， 运 用 关 系 式sin x cos

4、 x 2 1 2 sin xcos x,一般都可采用换元法转化为 t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围.例 4.求函数 sin x cos x sin x.cos x的最大值.ysincos1 2 sin cos . 分 析 解 ： 令2 t x x sin cos .， 设则xxxx t21t12sin xcos x t 2, 2 , y t ，其中 2, 2t221 1, y max 2 2.当t 2, sin x 4五. 利用根本不等式法利用根本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区. 1 0,例 5. ，求函数 sin

5、 x的最小值.xy2sin xa分析 此题为sin 型三角函数求最值问题，当 sin*0,a1，不能用均值不等式求最xsin x值，适合用函数在区间内的单调性来求解.x t y t112设sin , 0 1 , 2 t. 2，当且仅当t 时等号成立.t2t2t2六利用函数在区间内的单调性 2 0,例 6. ，求函数 sin的最小值.xyxsin x.z. -a分析 此题为sin 型三角函数求最值问题，当 sin*0,a1，不能用均值不等式求最xsin x值，适合用函数在区间内的单调性来求解.1设sin , 0 1 , 3，在0，1上为减函数，当 t=1 时，.x tty tymint七转化局部

6、分式2 cos x 12 cos x 1例 7求函数 的值域yacos x b分析 此为 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、yccos x d同角，这类三角函数一般先化为局部分式，再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解.21 3或 .3, cos1解法一：原函数变形为 1x，可直接得到：yyy2 cos x 1y 1y 11解法一：原函数变形为cos , cos 1, 1, 3 .或x x yy2 y 12 y 13八 数形结合由于sincos21x，所以从图形考虑，点(cos*,sin*)在单位圆上，这样对一类既含2x有正弦函数，又含有余弦函

7、数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得. sin x0 x 的最小值.0 sin x例 8求函数 y2 cos x,y 可看成连接两点 A(2,0)与点(cos*,sin*)的分析 法一：将表达式改写成 y2 cos x直线的斜率.由于点(cos*,sin*)的轨迹是单位圆的上半圆如图，所以求 y 的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小. y 0.设过点 A 的切线与半圆相切与点 B,则 kAB563.可求得 k tanAB 33所以 y 的最小值为此时 x .33 b sin x 法二：该题也可利用关系式asin*+bcos*= a 即引入辅助角法和有22.z. -界性来

8、求解.九 判别式法tan x tan x 12例 9求函数 y 的最值.tan x tan x 12分析 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数别离法.tan x tan x 12y tan x tan x 12 解： 1 tan 1 tan 1 0y2x yx y y 1,tan x 0, x k k y 1时此时一元二次方程总有实数解 4由 y=3，tan*=-1， x k,k z y3max11由 , tan 1, ,.yxx ky343min十 分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进展讨论. 1a 例 10.设 f x cos2 x asin x 0 x ，用

9、a 表示 f(*)的最大值 M(a).4 22 1a.令 sin*=t,则解：x a x sin sin t0 1,f x24 2 a 2, g t 3a 1a1;（1） 当 ，即在0，1上递增， M a g 1 24 2 g ta1,0 a 2（2） 当 0 即时 ，在 0 ， 1 上 先 增 后 减 ，2 a a21aM a g ;24 4 2 1 aa0, a 0, g t.（3） 当 即在0，1上递减， 0 M a g22 4以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见.解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在.挑战自我：1.求函数

10、y=5sin*+cos2*的最值.z. -13 sin x cos x 1 x R2.函数 y cos x 当函数 y 取得最大值时，求自变量*的222集合. 3.函数 f x 2 sin x(sin x cos x)，求函数 f(*)的最小正周期和最大值.参考答案：1.分 析 ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角到达统一.2.分析 此类问题为 y asin x bsin x cos x c cos x的三角函数求最值问题，它可通22过降次化简整理为 y asin x bcos x型求解.解：1 1 cos 2x3 sin 2x135 1 1354y 1 cos 2x sin 2x cos 2x sin 2x4 2 2222244215 7 sin2x ,2x 2k x k k z y ,.2646 26m