《理论力学》课件-空间任意力系的平衡方程

1、理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 空间任意力系 的 平 衡 方 程9/7/20221理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 一、空间任意力系的平衡方程 二、空间约束的类型 三、空间力系平衡问题举例 9/7/20222理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 一、空间任意力系的 平衡方程 9/7/20223理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 1平衡的必要和充分条件 空间任意力系处于平衡的必要和 充分条件是：力系的主矢和对于任一 点的主矩都等于零，即9/7/20224理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 根据式（4-21）和（4-22），可 将上述条件写成空间任意力系的平衡 方

2、程 （4-25）9/7/20225理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的必要和充分 条件是：所有各力在三个坐标轴中每 一个轴上的投影的代数和等于零，以 及这些力对于每一个坐标轴的矩的代 数和也等于零（为便于书写方，下标 i 已略去）。9/7/20226理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 2特殊情况的平衡规律 可以从空间任意力系的普遍规律 中导出特殊情况的平衡规律，例如空 间平行力系、空间汇交力系和平面任 意力系等平衡方程。现以空间平行力 系为例，其余情况读者可自行推导。9/7/20227理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 如图4-17 所示的空间平行力系，其

3、z 轴与这些力平行，则各力对于 z 轴的 矩等于零。又由于 x 和 y 轴都与这些 力垂直，所以各力在这两轴上的投影 也等于零。因而在平衡方程组（4-25） 中，第一、第二和第六个方程成了恒 等式。 9/7/20228理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 图 4-17 9/7/20229理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 空间力系只有三个平衡方程，即 （4-26） 9/7/202210理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 二、空间约束的类型9/7/202211理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 1常见约束及其相应的约束力 一般情况下，当刚体受到空间任 意力系作用时，在每个约

4、束处，其约 束力的未知量可能有1个到6个。 9/7/202212理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 决定每种约束的约束力未知量个 数的基本方法是：观察被约束物体在 空间可能的 6 种独立的位移中（沿 x， y，z 三轴的移动和绕此三轴的转动）， 有哪几种位移被约束所阻碍。 9/7/202213理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 阻碍移动的是约束力；阻碍转动 的是约束力偶。 现将几种常见的约束及其相应的 约束力综合列表，如表 4-1 所示。 表 4-1 ：空间约束的类型及其约 束力举例。9/7/202214理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 （1）具有一个约束力的类型 9/7/

5、202215理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 表 4-1 9/7/202216理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 表 4-1 9/7/202217理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 表 4-1 9/7/202218理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 （2）具有二个约束力的类型 9/7/202219理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 表 4-1 9/7/202220理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 表 4-1 9/7/202221理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 表 4-1 9/7/202222理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 （3）具有三

6、个约束力的类型9/7/202223理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 表 4-1 9/7/202224理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 表 4-1 9/7/202225理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 表 4-1 9/7/202226理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 （4）具有四个约束力的类型9/7/202227理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 a. 导向轴承： 具有二个约束力和二个约束力偶。 b. 万向接头： 具有三个约束力和一个约束力偶。 9/7/202228理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 表 4-1 9/7/202229理论力学 4-5 空

7、间任意力系的平衡方程 表 4-1 9/7/202230理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 （5）具有五个约束力的类型9/7/202231理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 a. 销钉夹板： 具有三个约束力和二个约束力偶。 b. 非圆导轨： 具有二个约束力和三个约束力偶。 9/7/202232理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 表 4-1 具有五个约束力的类型（a）9/7/202233理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 表 4-1 具有五个约束力的类型（b）9/7/202234理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 （6）具有六个约束力的类型9/7/202235理论力学

8、 4-5 空间任意力系的平衡方程 空间固定端支座： 具有三个约束力和三个约束力偶。 9/7/202236理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 表 4-1 9/7/202237理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 2关于实际约束的分析 （1）合理的简化 分析实际的约束时，有时要忽略 一些次要因素，抓住主要因素，作一 些合理的简化。 9/7/202238理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 导向轴承能阻碍轴沿 y 和 z 轴移 动，并能阻碍绕 y 轴和 z 轴的转动， 所以有 4 个约束作用力FAy，FAz，MAy， MAz；而径向轴承限制绕 y 轴和 z 轴 的转动作用很小，故 MA

9、y 和MAz可忽 略不计，所以只有两个约束力 Fay 和 FAz。 9/7/202239理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程又如，一般柜门都装有两个合页，形如表4-1中的蝶铰链，它主要限制物体沿y，z方向的移动，因而有两个约束力FAy和FAz。 9/7/202240理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程合页不限制物体绕轴的转动，单个合页的限制作用也很小，因而没有约束力偶。而当物体受到沿合页轴向力作用时，则两个合页中的一个将限制物体沿轴向移动，应视为止推轴承。 9/7/202241理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程（2）平面固定端的约束力 如果刚体只受到平面力系的作用， 则垂直与该平

10、面的约束力和绕平面内 两轴的约束力偶都应为零，相应减少 了约束力的数目。 9/7/202242理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程例如，在空间任意力系作用下，固定端的约束力共有6个，即FAx，FAy，FAz，MAx，MAy，MAz；而在Oxy平面内受平面任意力系作用时，固定端的约束力就只有3个，即FAx，FAy，MAx。 9/7/202243理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 3空间约束类型及其约束力举例 （1）具有一个约束力的类型 光滑表面；滚动支座；绳索； 二力杆9/7/202244理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 （2）具有二个约束力的类型 径向轴承；圆柱铰链；铁轨；

11、蝶形铰链 （3）具有三个约束力的类型 球型铰链；止推轴承9/7/202245理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 （4）具有四个约束的类型 导向轴承：具有二个约束力 和二个约束力偶。 万向接头：具有三个约束力 和一个约束力偶。9/7/202246理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 （5）具有五个约束的类型 销钉夹板：具有三个约束力和 二个约束力偶。 非圆导轨：具有二个约束力和 三个约束力偶）9/7/202247理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 （6）具有六个约束的类型 空间的固定端支座。9/7/202248理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 三、空间力系平衡问题 举例

12、9/7/202249理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 例 4-7 图 4 -18 所示的三轮小车，自重 P = 8 kN，作用于点C。 求小车静止时地面对车轮的约束 力。 9/7/202250理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 图 4-18 9/7/202251理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 解： （1）以小车为研究对象 小车受力如图4-18 所示。其中 P 和P1是主动力， FA，FB，FD 为地面 的约束力，此 5 个力相互平衡，组成 空间平行力系。9/7/202252理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 （2）列出三个平衡方程 取坐标系 Oxyz 如图所示，列

13、出 三个平衡方程：9/7/202253理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程9/7/202254理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 （3）解方程 解得9/7/202255理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 例 4-8 在图4-19中，胶带的拉力 F2= 2F1， 曲柄上作用有铅垂力F =2000 N。已 知胶带轮的直径 D = 400 mm，曲柄 长 R = 300 mm。9/7/202256理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 胶带 1 和胶带 2 与铅垂线间的夹 角分别为 和 ， ， （图4-19b），其他尺寸如图所示。 求胶带的拉力和轴承约束力。 9/7/202257理

14、论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 图 4-19a9/7/202258理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 图 4-19b9/7/2022599/7/2022609/7/202261理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 解： （1）以整个轴为研究对象 受力分析如图所示，其上有力F1， F2，F 及轴承约束力 FAx，FAz，FBx， FBz。 轴受空间任意力系作用，选坐 标轴如图所示。9/7/202262理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 （2）列出平衡方程9/7/202263理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程9/7/202264理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程

15、9/7/202265理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 又有9/7/202266理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 （3）解方程 联立上述方程，解得9/7/202267理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 例 4-9 车床主轴如图4-20所示。已知车 刀对工件的切削力为：径向切削力 Fx ，纵向切削力 Fy= 6.8 kN， 主切削力（切向）Fz =17kN，方向如 图所示。 9/7/202268理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 在直齿轮 C上有切向力Ft 和径向 力 Fr，且 FrFt 。 齿轮 C 的节圆 半径为R=50mm ，被切削工件的半径 为r =30mm 。

16、卡盘及工件等自重不计， 其余尺寸如图所示。 9/7/202269理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 当主轴匀速转动时，求： （1）齿轮啮合力Ft及Fr； （2）径向轴承A 和止推轴承B 的约 束力； （3）三爪卡盘E 在O 处对工件的约 束力。 9/7/202270理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 图 4-209/7/2022719/7/202272理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 图 4-20a 9/7/2022739/7/202274理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程9/7/202275理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程9/7/2022769/7/2022

17、77理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 解： （1）先取主轴、卡盘、齿轮以及 工件系统为研究对象 受力如图4-20（a）所示，为一 空间任意力系。9/7/202278理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 取坐标系Axyz如图所示，列平衡方程：9/7/202279理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程9/7/202280理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程9/7/202281理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 按题意有 由以上 7 个方程，可以解出全部 7个 未知量，即9/7/202282理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 Ft = 10.2 kN， Fr = 3.7

18、6 kN； FAx = 15.64 kN， FAy = 31.87 kN；9/7/202283理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 FBx = 1.19 kN， FBy = 6.8 kN， FBz = 11.2 kN。9/7/202284理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 （2）再取杆件为研究对象 工件上除受 3 个切削力外，还 受到卡盘 （空间插入端约束） 对工 件的 6个约束力FOx，FOy，FOz，Mx， My，Mz，如图4-21所示。9/7/202285理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 图 4-21 9/7/2022869/7/202287理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 取坐标系Oxyz如图，列平衡方程：9/7/202288理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程9/7/202289理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程9/7/202290理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程9/7/202291理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程 求解上述方程，得 FOx = 4.25 kN， FOy= 6.8 kN FOz = 17 kN； Mx =1.7 kNm My = 0.51 kNm，Mz =0.22 kNm 9/7/202292理论力学 4-5 空间任意力系的平衡方程