-静电场及其边值问题的解法-

1、麦克斯韦方程组时变场静态场缓变场迅变场电磁场(EM)准静电场(EQS)准静磁场(MQS)静磁场(MS)小结： 麦克斯韦方程适用范围：一切宏观电磁现象。静电场(ES)恒定电场(SS)静态场基本概念静态场是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化的场，是时变电磁场的特例。静态场与时变场的最本质区别： 静态场中的电场和磁场是彼此独立存在的。静态场包括静电场、恒定电场及恒定磁场;静态场静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的电场。恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场。恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静磁场。第3章 静电场及其边值问题解法The Electrosta

2、tic Field and Solution Techniques for Boundary Value Problems 静态场的工程应用一、静电场基本方程与电位方程二、静电场中的介质三、 静电场中的导体和电容六、镜像法七、分离变量法静电场的边界条件静电场边值问题，惟一性定理喷墨打印机工作原理选矿器硫酸盐矿石英含石英硫酸盐矿静态场的工程应用均匀电场中带电粒子的轨迹阴极射线示波器原理磁分离器回旋加速器磁悬浮列车磁录音原理：3.1 静电场基本方程与电位方程一、静电场的麦克斯韦方程组积分形式:本构关系:线形、各向同性媒质静电场:无旋有散场微分形式：二、静电场的无旋性与电位一 、静电场的无旋性(2

3、- 19)试验电荷q0位移dl时，电场力作功：从A点移到B点：定义： A、B点间电压：图 2 - 7 电场力作功与路径无关 所以 结论：静电场中电场力作的功与路径无关, 只取决于始点和终点的位置； 静电场是保守场, 也称位场； 利用斯托克斯公式, 可得其微分形式为 上式说明任何静电荷产生的电场, 其电场强度矢量 的旋度恒等于零, 静电场是无旋场。把单位正电荷从A点移至B点电场力所作的功, 也可称为从A点到B点的电位差 若设B点为 参考点 P, 则 三、电位1. 电位参考点 静电位不惟一，可以相差一个常数，即选参考点令参考点电位为零电位确定值(电位差)两点间电位差有定值 为使空间各点电位具有确定

4、值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即选择电位参考点的原则点电荷及电荷分布于有限区域时，一般选取无限远处；电荷分布于无限区域时，一般选取有限处；实际工程中，选取大地表面为参考点； 应使电位表达式有意义。 应使电位表达式最简单。 同一个问题只能有一个参考点。常见电位参考点的选取2. 电位的表达式对于连续的体分布电荷：面电荷的电位： 点电荷的电位：线电荷的电位：3. 电位差 UP、Q 两点间的电位差电场力做的功关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q 点 所做的功; 电位差也称

5、为电压，可用U 表示。 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。三、电位方程电位 满足的泊松方程当 场中无电荷分布 (即 )的区域:拉普拉斯方程拉普拉斯算子拉普拉斯算子在不同坐标系中的计算公式直角坐标系中:圆柱坐标系中:球坐标系中: (1) 单个点电荷q的电场中任一点的电位: 若令RP, 则 四、电位的计算A. 应用叠加原理 (2) n个点电荷电场中的电位: ; 应用叠加原理, 对每个点电荷计算电位, 且均取无穷远处为参考点, 则可得 (3) 体、 面、 线电荷场中的电位:同样利用叠加原理, 可得 ;面电荷:线电荷: 体电荷:C. 解电位所满足的方程；B.首先由电荷分布计算电场强

6、度，再由线积分求电位；例1 已知均匀带电球体在球内外的电场分布，求电位分布。 解： (ra) (ra时， 当r2l, 故将r1、r2用二项式定理展开, 并略去高阶小项, 得 所以 取矢量 , 其大小等于乘积q2l, 方向由-q指向+q, 该矢量称为电偶极子的电矩, 单位Cm, 简称偶极矩, 即 于是得到 偶极子的电场强度可在球坐标系中对上式求梯度得到 等位线电场线电偶极子的场图xyzL-L 解： 采用圆柱坐标系，令线电荷与 z 轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与 无关。在带电线上位于 处的线元 ，它到点 的距离 ，则 例.3 求长度为2L、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。 在上

7、式中若令 ，则可得到无限长直线电荷的电位。当 时，上式可写为 当 时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有并选择有限远处为电位参考点。例如，选择= a 的点为电位参考点，则有 例 4 设有两条电荷均匀分布的无限长直线电荷, 线电荷密度分别为l(C/m), 二者相距d(m), 如图2 - B所示。试求空间任意点P(x, y)的电位。 图 两无限长平行直线的电位 先求+l在P点产生的电位 同理可求得-l在P点产生的电位-, 积分路径如图中虚线所示, 故 应用叠加原理, P点的电位应是 上式中的+和-分别表示观察点到+

8、l和-l的垂直距离。当参考点选在两线电荷连线的中点, 即 处, 则得 如果用直角坐标, 并以原点O为参考点, 则P点的电位可表示为 一维电位方程的求解在均匀介质中，有电位的微分方程在无源区域，标量泊松方程拉普拉斯方程 例 1 设有一个半径为a的球体, 其中均匀充满体电荷密度为v(C/m3)的电荷, 球内外的介电常数均为0,试用电位微分方程, 求解球内、外的电位和电场强度。 解：设球内、外的电位分别为1和2, 1满足泊松方程, 2满足拉普拉斯方程, 由于电荷均匀分布, 场球对称, 所以1、 2均是球坐标r的函数。 ;(1) 分别列出球内、外的电位方程: 当ra时, 当ra时, 将上述两个方程分别

9、积分两次可得1、2的通解: (2) 根据边界条件, 求出积分常数A、B、C、D: 边界条件是: ; r=a, 1=2; ; r=a, r, 2=0(以无限远处为参考点); ; r=0, (因为电荷分布球对称, 球心处场强E1=0, 即Er=0)。 由上述条件, 确定通解中的常数: 例 2 如图所示三个区域, 它们的介电常数均为0, 区域2中的厚度为d(m), 其中充满体电荷密度为v(C/m3)的均匀体电荷, 分界面为无限大。试分别求解、区域的位函数与电场强度。 平板形体电荷的几何关系 解设、 、 区域的电位函数分别为1(y)、2(y)、 3(y)。 (1) 分别列出三个区域的电位方程。 在、 两个区域内电位满足拉普拉斯方程, 而第区域的电位满足泊松方程: 将上面三个方程分别分两次可得 由场分布的y=0平面对称性，可知3(y)= 1(-y)，所以我们只需求解1和2，也就是只要根据边界条件确定常数C1、 C2 、 C3 、 C4