2007年上海高考数学真题（理科）试卷（解析版）

1、绝密启用前 2007年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1函数的定义域是 2若直线与直线平行，则 3函数的反

2、函数 4方程 的解是 5已知，且，则的最大值是 6函数的最小正周期 7在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示） 8以双曲线的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 9对于非零实数，以下四个命题都成立： ； ； 若，则； 若，则 那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是 10在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种 已知是两个 相交平面，空间两条直线在上的射影是直线，在上的射影是直线用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异 面直线的充分条件： 11已知为圆上任意 一点（原点除外），直线 的倾斜角为弧度，记 在右侧的坐标系

3、中，画出以 为坐标的点的轨迹的大致图形为 二选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分12已知，且（是虚数单位）是实系数一元二次方程 的两个根，那么的值分别是（） 13设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（） 14直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量在直角三角形中，若，则的可能值个数是（）1 2 3 4 15设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”那么，下列命题总成立的

4、是（） 若成立，则当时，均有成立 若成立，则当时，均有成立 若成立，则当时，均有成立 若成立，则当时，均有成立 三解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤16（本题满分12分）如图，在体积为1的直三棱柱中， 求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 17（本题满分14分） 在中，分别是三个内角的对边若，求的面积 18（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年

5、生产量的增长率为36%） （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）； （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？ 19（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 已知函数，常数 （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）若函数在上为增函数，求的取值范围 20（本题满分18分）

6、本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分 如果有穷数列（为正整数）满足条件，即（），我们称其为“对称数列”例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”（1）设是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且，依次写出的每一项；（2）设是项数为(正整数)的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列记各项的和为当为何值时，取得最大值？并求出的最大值；（3）对于确定的正整数，写出所有项数不超过的“对称数列”，使得依次是该数列中连续的项；当时，求其中一个“对称数列”前项的和 21（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分我们把由半椭

7、圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，如图，点，是相应椭圆的焦点，和，分别是“果圆”yO.x.与，轴的交点若是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程； （2）当时，求的取值范围；（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由绝密启用前 2007年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写

8、姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1函数的定义域是 【答案】 【解析】 2若直线与直线平行，则 【答案】 【解析】 3函数的反函数 【答案】 【解析】由4方程 的解是 【答案】 【解析】 （舍去），。5已知，且，则的最大值是 【答案】 【解析】 ，当且仅当x=4y=时取等号.6函数的最小正周期 【答案】 【解析】 。7在五个数字中

9、，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示） 【答案】 【解析】 8以双曲线的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 【答案】 【解析】双曲线的中心为O（0,0），该双曲线的左焦点为F（3,0），则抛物线的顶点为（3,0），焦点为（0,0），所以p=6，所以抛物线方程是)9对于非零实数，以下四个命题都成立： ； ； 若，则； 若，则 那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是 【答案】 【解析】 对于：解方程得 a i，所以非零复数 a i使得，不成立；显然成立；对于：在复数集C中，|1|=|i|，则，所以不成立；显然成立。则对于任意非零复数，上述

10、命题仍然成立的所有序号是 10在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种 已知是两个 相交平面，空间两条直线在上的射影是直线，在上的射影是直线用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异 面直线的充分条件： 【答案】 ，并且与相交（，并且与相交）【解析】 作图易得“能成为是异面直线的充分条件”的是“，并且与相交”或“，并且与相交”。11已知为圆上任意 一点（原点除外），直线 的倾斜角为弧度，记 在右侧的坐标系中，画出以 为坐标的点的轨迹的大致图形为【答案】 【解析】 二选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须

11、把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分12已知，且（是虚数单位）是实系数一元二次方程 的两个根，那么的值分别是（） 【答案】A 【解析】 因为2 ai，bi（ i 是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，所以a=1，b=2，所以实系数一元二次方程的两个根是所以。13设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（） 【答案】C 【解析】若aba2b2，A不成立；若B不成立；若a=1，b=2，则,所以D不成立 ,故选C。14直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量在直角三角形 中，若，则的可能值个数是（）1 2 3 4

12、【答案】B 【解析】解法一：（1） 若A为直角，则； （2） 若B为直角，则；（3） 若C为直角，则。所以 k 的可能值个数是2，选B 解法二：数形结合如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角所以 k 的可能值个数是2，选B15设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”那么，下列命题总成立的是（） 若成立，则当时，均有成立 若成立，则当时，均有成立 若成立，则当时，均有成立 若成立，则当时，均有成立 【答案】D 【解析】 对A，当k=1或2时，不一定有成立；对B，应有成立；对C，

13、只能得出：对于任意的，均有成立，不能得出：任意的，均有成立；对D，对于任意的，均有成立。故选D。三解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤16（本题满分12分）如图，在体积为1的直三棱柱中， 求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）【解析】法一： 由题意，可得体积，连接 ，平面，是直线与平面所成的角 ，则 即直线与平面所成角的大小为法二： 由题意，可得 体积， ， 如图，建立空间直角坐标系 得点， 则，平面的法向量为 设直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则， ， 即直线与平面所成角的大小为 17（本题满分14分） 在中，分别是三个内角的对边若，求的面

14、积【解析】 由题意，得为锐角， ， 由正弦定理得 ， 18（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%） （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）； （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装

15、量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？【解析】（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 ，则2006年全球太阳电池的年生产量为 (兆瓦) （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则解得 因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到19（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 已知函数，常数 （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）若函数在上为增函数，求的取值范围【解析】（1）当时， 对任意， 为偶函数 当时， 取，得 ， ， 函数既不是奇

16、函数，也不是偶函数 （2）解法一：设， ， 要使函数在上为增函数，必须恒成立 ，即恒成立 又， 的取值范围是 解法二：当时，显然在为增函数 当时，反比例函数在为增函数，在为增函数 当时，同解法一 20（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分 如果有穷数列（为正整数）满足条件，即（），我们称其为“对称数列”例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”（1）设是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且，依次写出的每一项；（2）设是项数为(正整数)的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列记各项的和为当为何值时，取得最大值？并求出的最大值；（3）对于

17、确定的正整数，写出所有项数不超过的“对称数列”，使得依次是该数列中连续的项；当时，求其中一个“对称数列”前项的和【解析】（1）设的公差为，则，解得 ， 数列为 （2）， ， 当时，取得最大值的最大值为626 （3）所有可能的“对称数列”是： ； ； ； 对于，当时， 当时， 对于，当时， 当时， 对于，当时， 当时， 对于，当时， 当时，21（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，如图，点，是相应椭圆的焦点，和，分别是“果圆”yO.x.与，轴的交点若是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

18、 （2）当时，求的取值范围；（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由yO.Mx【解析】（1） ， 于是，所求“果圆”方程为 ， （2）由题意，得 ，即 ，得 又 （3）设“果圆”的方程为， 记平行弦的斜率为当时，直线与半椭圆的交点是，与半椭圆的交点是 的中点满足 得 ， 综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上 当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是 由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上 当时，可类似讨论得到平行弦

19、中点轨迹不都在某一椭圆上一.集合与函数1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况3.你会用补集的思想解决有关问题吗?4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域.9.原函数在区间-a,a上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但

20、一个函数存在反函数，此函数不一定单调.例如：.10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示.12.求函数的值域必须先求函数的定义域。13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?比较函数值的大小;解抽象函数不等式;求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗?14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?16.用换元法解

21、题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?二.不等式18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”.19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么?21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”.22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其

22、结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示.23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即ab0，a0.三.数列24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗?25.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。26.你知道存在的条件吗?(你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗?你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗?什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在?27.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题?(数列是特殊函数，但其定义域中的值不是连续的。)28.应

23、用数学归纳法一要注意步骤齐全，二要注意从到过程中，先假设时成立，再结合一些数学方法用来证明时也成立。四. HYPERLINK /search.aspx t /content/19/1226/14/_blank 三角函数29.正角、负角、零角、象限角的概念你清楚吗?，若角的终边在坐标轴上，那它归哪个象限呢?你知道锐角与第一象限的角;终边相同的角和相等的角的区别吗?30.三角函数的定义及单位圆内的三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的定义你知道吗?31.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗?32.你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降

24、幂公式、用三角公式转化出现特殊角.异角化同角，异名化同名，高次化低次)33.反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是34.你还记得某些特殊角的三角函数值吗?35.掌握正弦函数、余弦函数及正切函数的图象和性质.你会写三角函数的单调区间吗?会写简单的三角不等式的解集吗?(要注意数形结合与书写规范,可别忘了)，你是否清楚函数的图象可以由函数经过怎样的变换得到吗?36.函数的图象的平移，方程的平移以及点的平移公式易混：(1)函数的图象的平移为“左+右-，上+下-”;如函数的图象左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为，即.(2)方程表示的图形的平移为“左+右-，上-下+”;如直线左移2个个单位

25、且下移3个单位得到的图象的解析式为，即.(3)点的平移公式：点按向量平移到点，则.37.在三角函数中求一个角时，注意考虑两方面了吗?(先求出某一个三角函数值，再判定角的范围)38.形如的周期都是，但的周期为。39.正弦定理时易忘比值还等于2R.五.平面向量40.数0有区别，的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定。可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直。41.数量积与两个实数乘积的区别：在实数中：若，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若，且，不能推出.已知实数，且，则a=c,但在向量的数量积中没有.在实数中有，但是在向量的数量积中，这是因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量

26、.42.是向量与平行的充分而不必要条件，是向量和向量夹角为钝角的必要而不充分条件。六.解析几何43.在用点斜式、斜截式求直线的方程时，你是否注意到不存在的情况?44.用到角公式时，易将直线l1、l2的斜率k1、k2的顺序弄颠倒。45.直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是。46.定比分点的坐标公式是什么?(起点，中点，分点以及值可要搞清)，在利用定比分点解题时，你注意到了吗?47.对不重合的两条直线(建议在解题时，讨论后利用斜率和截距)48.直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为，但不要忘记当时，直线在两坐标轴上的截距都是0，亦为截距相等。49.解决线性规划问题的基本步骤是什么

27、?请你注意解题格式和完整的文字表达.(设出变量，写出目标函数写出线性约束条件画出可行域作出目标函数对应的系列平行线，找到并求出最优解应用题一定要有答。)50.三种圆锥曲线的定义、图形、标准方程、几何性质，椭圆与双曲线中的两个特征三角形你掌握了吗?51.圆、和椭圆的参数方程是怎样的?常用参数方程的方法解决哪一些问题?52.利用圆锥曲线第二定义解题时，你是否注意到定义中的定比前后项的顺序?如何利用第二定义推出圆锥曲线的焦半径公式?如何应用焦半径公式?53.通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.(想一想在双曲线中的结论?)54.在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为

28、零?椭圆，双曲线二次项系数为零时直线与其只有一个交点，判别式的限制.(求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行).55.解析几何问题的求解中，平面几何知识利用了吗?题目中是否已经有坐标系了，是否需要建立直角坐标系?七.立体几何56.你掌握了空间图形在平面上的直观画法吗?(斜二测画法)。57.线面平行和面面平行的定义、判定和性质定理你掌握了吗?线线平行、线面平行、面面平行这三者之间的联系和转化在解决立几问题中的应用是怎样的?每种平行之间转换的条件是什么?58.三垂线定理及其逆定理你记住了吗?你知道三垂线定理的关键是什么吗?(一面、四线、三垂直、立柱即面的垂线是关键)一面四直线，立柱是

29、关键，垂直三处见59.线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈;面面平行的判定定理易把条件错误地记为”一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行”而导致证明过程跨步太大.60.求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，如果所求的角为90，那么就不要忘了还有一种求角的方法即用证明它们垂直的方法.61.异面直线所成角利用“平移法”求解时，一定要注意平移后所得角等于所求角(或其补角)，特别是题目告诉异面直线所成角，应用时一定要从题意出发，是用锐角还是其补角，还是两种情况都有可能。62.你知道公式：和中每一字母的意思吗?能够熟练地应用它们解题吗?63.两条异面直线所成的角的范围：090直